Sujet n° 87 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2021Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 87

Solution IA2021

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 87 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) كتابة العددين $A$ و $B$ على أبسط شكل ممكن:

💡إضاءة وتنبيه:

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً تربيعية على أصلح وأبسط شكل $a\sqrt{b}$ ، نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذر إلى جداء عاملين أحدهما مربع تام لأكبر عدد ممكن.

تبسيط العدد $A$ :

A = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}

تبسيط العدد $B$ :

B = 3\sqrt{20} + 2\sqrt{27} - \sqrt{45}

B = 3\sqrt{4 \times 5} + 2\sqrt{9 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}

B = 3 \times 2\sqrt{5} + 2 \times 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}

B = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{5}

B = (6 - 3)\sqrt{5} + 6\sqrt{3} = 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

الشكل المبسط للعددين هو: $A = 4\sqrt{5}$ و $B = 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}$ .

2) تبسيط كل من $A \times B$ و $B^2$ :

تبسيط $A \times B$ :

A \times B = 4\sqrt{5} \times (3\sqrt{5} + 6\sqrt{3})

بتوزيع الضرب على الجمع:

A \times B = (4\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}) + (4\sqrt{5} \times 6\sqrt{3})

A \times B = (12 \times 5) + 24\sqrt{5 \times 3} = 60 + 24\sqrt{15}

تبسيط $B^2$ :

باستخدام المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

B^2 = (3\sqrt{5} + 6\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{5})^2 + 2(3\sqrt{5})(6\sqrt{3}) + (6\sqrt{3})^2

B^2 = (9 \times 5) + 36\sqrt{15} + (36 \times 3)

B^2 = 45 + 36\sqrt{15} + 108 = 153 + 36\sqrt{15}

✅الإجابة النموذجية:

$A \times B = 60 + 24\sqrt{15}$

$B^2 = 153 + 36\sqrt{15}$

3) جعل مقام النسبة $D$ عدداً ناطقاً حيث $D = \frac{B}{A}$ :

💡إضاءة وتنبيه:

لجعل مقام نسبة تتضمن جذراً عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الموجود بالمقام (في هذه الحالة نضرب في $\sqrt{5}$ ).

D = \frac{B}{A} = \frac{3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}}{4\sqrt{5}}

D = \frac{(3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{3 \times 5}}{4 \times 5}

D = \frac{3 \times 5 + 6\sqrt{15}}{20} = \frac{15 + 6\sqrt{15}}{20}

✅الإجابة النموذجية:

النسبة بمقام ناطق هي: $D = \frac{15 + 6\sqrt{15}}{20}$ .

4) إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ (أي $10^{-2}$ ) بالنقصان للعدد $D$ :

نحسب القيمة العشرية المضبوطة/المقربة للعدد $D$ :

\sqrt{15} \approx 3.872983...

D = \frac{15 + 6 \times 3.872983...}{20} = \frac{15 + 23.237900...}{20} = \frac{38.237900...}{20} \approx 1.911895...

القيمة المقربة إلى $10^{-2}$ بالنقصان تعني أخذ رقمين بعد الفاصلة دون زيادة:

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $D$ هي: $1.91$ .

📌

التمرين الثاني: (04 نقاط)

العبارة المعطاة: $E = (2x + 1)(x - 5) - (2x + 1)^2$

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

E = [(2x \times x) + (2x \times (-5)) + (1 \times x) + (1 \times (-5))] - [(2x)^2 + 2(2x)(1) + (1)^2]

E = (2x^2 - 10x + x - 5) - (4x^2 + 4x + 1)

E = 2x^2 - 9x - 5 - 4x^2 - 4x - 1

بجمع الحدود المتشابهة:

E = (2x^2 - 4x^2) + (-9x - 4x) + (-5 - 1) = -2x^2 - 13x - 6

✅الإجابة النموذجية:

العبارة المبسطة هي: $E = -2x^2 - 13x - 6$ .

2) حساب قيمة $E$ من أجل $x = 0$ و $x = \sqrt{3}$ :

من أجل $x = 0$ :

نعوض في العبارة المبسطة:

E = -2(0)^2 - 13(0) - 6 = 0 - 0 - 6 = -6

من أجل $x = \sqrt{3}$ :

E = -2(\sqrt{3})^2 - 13(\sqrt{3}) - 6

E = -2(3) - 13\sqrt{3} - 6 = -6 - 13\sqrt{3} - 6 = -12 - 13\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

قيمة

E

من أجل

x = 0

هي: $-6$ .

قيمة

E

من أجل

x = \sqrt{3}

هي: $-12 - 13\sqrt{3}$ .

3) تحليل العبارة $E$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم حل المعادلة $E = 0$ :

تحليل $E$ :

نلاحظ وجود العامل المشترك $(2x + 1)$ :

E = (2x + 1)(x - 5) - (2x + 1)^2

E = (2x + 1) \left[ (x - 5) - (2x + 1) \right]

E = (2x + 1) [ x - 5 - 2x - 1 ]

E = (2x + 1)(-x - 6)

حل المعادلة $E = 0$ :

(2x + 1)(-x - 6) = 0

معادلة الجداء المعدوم تعني:

إما $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$

أو $-x - 6 = 0 \implies -x = 6 \implies x = -6$

✅الإجابة النموذجية:

تحليـل العبـارة:

E = (2x + 1)(-x - 6)

حلول المعادلة

E = 0

هما العددين: $x = -\frac{1}{2}$ و $x = -6$ .

4) حل المتراجحة: $E \le -2x^2 + 20$ :

نعوض العبارة المبسطة لـ $E$ :

-2x^2 - 13x - 6 \le -2x^2 + 20

نضيف $2x^2$ إلى طرفي المتراجحة:

-13x - 6 \le 20

-13x \le 20 + 6 \implies -13x \le 26

بقسمة الطرفين على العدد السالب $-13$ نغير اتجاه الرمز:

x \ge \frac{26}{-13} \implies x \ge -2

✅الإجابة النموذجية:

حلول المتراجحة هي كل أعداد $x$ الأكبر من أو تساوي $-2$ (أي القيم الواقعة على يمين العدد $-2$ بما في ذلك العدد $-2$ ).

📌

التمرين الثالث: (04 نقاط)

المعطيات: $ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث $\cos \widehat{ABC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

1) حساب القيمة المضبوطة لـ $\sin \widehat{ABC}$ و $\tan \widehat{ABC}$ :

💡إضاءة وتنبيه:

تستخدم العلاقة المثلثية الأساسية $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ لحساب جيب الزاوية بدلالة جيب تمامها.

حساب $\sin \widehat{ABC}$ :

\cos^2 \widehat{ABC} + \sin^2 \widehat{ABC} = 1

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sin^2 \widehat{ABC} = 1

\frac{2}{4} + \sin^2 \widehat{ABC} = 1 \implies \frac{1}{2} + \sin^2 \widehat{ABC} = 1

\sin^2 \widehat{ABC} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

بما أن الزاوية حادة فإن $\sin \widehat{ABC} > 0$ :

\sin \widehat{ABC} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

حساب $\tan \widehat{ABC}$ :

\tan \widehat{ABC} = \frac{\sin \widehat{ABC}}{\cos \widehat{ABC}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1

✅الإجابة النموذجية:

$\sin \widehat{ABC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \widehat{ABC} = 1$

2) إيجاد قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ ، ثم قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ :

بما أن

\cos \widehat{ABC} = \frac{\sqrt{2}}{2}

، فإن قيس الزاوية الحادة هو:

\widehat{ABC} = 45^\circ

بما أن المثلث

ABC

قائم في

A

، فإن الزاويتين الحادتين متتامتان (مجموعهما

90^\circ

\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية $\widehat{ABC} = 45^\circ$ وقيس الزاوية $\widehat{ACB} = 45^\circ$ .

3) تحديد نوع المثلث $ABC$ ، وحساب مساحته علماً أن $AB = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ :

نوع المثلث $ABC$ :

بما أن المثلث قائمة في $A$ وفيه زاويتا القاعدة متساويتان ( $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45^\circ$ )، فإن المثلث قائم ومتساوي الساقين في $A$ .

ومنه: $AC = AB = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ .

حساب مساحة المثلث $ABC$ :

S = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{AB \times AC}{2}

S = \frac{2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \times 2}{2} = 4 \text{ cm}^2

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $ABC$ قائم ومتساوي الساقين في $A$ ، ومساحته هي $4 \text{ cm}^2$ .

📌

الجزء الثاني (الوضعية الإدماجية): (08 نقاط)

الشكل يتكون من:

قطعة أرض على شكل مستطيل

ABCM

(خصصت لبناء مدرسة) أبعاده:

AB = 60\text{ m}

BC = 40\text{ m}

وبالتالي: $MC = AB = 60\text{ m}$ و $AM = BC = 40\text{ m}$ .

حديقة على شكل مثلث قائم

AMD

قائم في

M

الجزء الأول: نضع $DM = 30\text{ m}$

1) تبيان أن $AD = 50\text{ m}$ :

المثلث $AMD$ قائم في $M$ . حسب خاصية فيثاغورس:

AD^2 = AM^2 + DM^2

نعلم أن $AM = BC = 40\text{ m}$ و $DM = 30\text{ m}$ :

AD^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500

AD = \sqrt{2500} = 50\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

قد تم إثبات أن طول الضلع $AD$ يساوي $50\text{ m}$ .

2) حساب $\tan \widehat{ADM}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ (بالتدوير إلى $0.1$ من الدرجة):

حساب ظل الزاوية $\tan \widehat{ADM}$ :

\tan \widehat{ADM} = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{AM}{DM} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3} \approx 1.333

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ :

باستعمال الآلة الحاسبة ( $\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ ):

\widehat{ADM} \approx 53.1301...^\circ

بالتدوير إلى $0.1$ (جزء من عشرة):

\widehat{ADM} \approx 53.1^\circ

✅الإجابة النموذجية:

$\tan \widehat{ADM} = \frac{4}{3}$ وقيس الزاوية $\widehat{ADM} \approx 53.1^\circ$ .

3) التحقق من أن $\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = 1$ :

في المثلث القائم $AMD$ :

\sin \widehat{ADM} = \frac{AM}{AD} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8

\cos \widehat{ADM} = \frac{DM}{AD} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6

بالتعويض في الطرف الأيسر:

\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = (0.8)^2 + (0.6)^2 = 0.64 + 0.36 = 1

✅الإجابة النموذجية:

العبارة المحققة صحيحة دائماً وتساوي 1.

الجزء الثاني: نضع $DM = x\text{ (m)}$

a) التعبير عن $S_1$ مساحة الحديقة بدلالة $x$ :

الحديقة هي المثلث القائم $AMD$ ذو الارتفاع $AM = 40\text{ m}$ والقاعدة $DM = x$ :

S_1 = \frac{AM \times DM}{2} = \frac{40 \times x}{2} = 20x

✅الإجابة النموذجية:

مساحة الحديقة بدلالة $x$ هي: $S_1 = 20x$ .

b) التعبير عن $S_2$ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة $x$ :

مساحة قطعة المدرسة المستطيلة

ABCM

S_{\text{المدرسة}} = AB \times BC = 60 \times 40 = 2400\text{ m}^2

المساحة الكلية لقطعة الأرض

S_2

S_2 = S_{\text{المدرسة}} + S_1 = 2400 + 20x

✅الإجابة النموذجية:

المساحة الكلية بدلالة $x$ هي: $S_2 = 2400 + 20x$ .

c) إيجاد قيمة $x$ حتى تكون $S_1 = \frac{1}{5} S_2$ :

نعوض بالعبارات المحصل عليها:

20x = \frac{1}{5} (2400 + 20x)

نضرب الطرفين في العدد 5 لتسهيل الحساب:

5 \times (20x) = 2400 + 20x

100x = 2400 + 20x

100x - 20x = 2400

80x = 2400 \implies x = \frac{2400}{80} = 30\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

تكون مساحة الحديقة خُمس مساحة الأرض الكلية إذا كان $x = 30\text{ m}$ .

الجزء الثالث: غرس الأشجار حول الحديقة

يراد غرس أشجار حول محيط الحديقة المثلثية الشكل $AMD$ بأطوال أضلاعها: $AM = 40\text{ m}$ ، $DM = 30\text{ m}$ ، $AD = 50\text{ m}$ .

على أن توجد شجرة في كل ركن وأن تكون المسافة متساوية وأكبر ما يمكن.

1) حساب أكبر مسافة يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين:

💡إضاءة وتنبيه:

المسافة المتساوية بين الأشجار $d$ يجب أن تقسم كل ضلع من أضلاع المثلث الثلاثة إلى عدد صحيح من الأجزاء. ولكي تكون هذه المسافة "أكبر ما يمكن"، فإن $d$ هي القاسم المشترك الأكبر لأطوال الأضلاع الثلاثة: $\text{PGCD}(30, 40, 50)$ .

نحسب القاسم المشترك الأكبر للأعداد $30$ ، $40$ ، و $50$ :

تحليل الأعداد إلى عوامل أوليّة:

30 = 2 \times 3 \times 5

40 = 2^3 \times 5

50 = 2 \times 5^2

العوامل المشتركة بأصغر أس هي $2 \times 5 = 10$ .

\text{PGCD}(30, 40, 50) = 10

✅الإجابة النموذجية:

أكبر مسافة تفصل بين شجرتين متجاورتين هي $10\text{ m}$ .

2) حساب عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول محيط الحديقة:

حساب محيط الحديقة المثلثية $P$ :

P = AM + DM + AD = 40 + 30 + 50 = 120\text{ m}

حساب عدد الأشجار $N$ :

N = \frac{\text{المحيط}}{\text{المسافة بين كل شجرتين}} = \frac{120}{10} = 12

✅الإجابة النموذجية:

عدد الأشجار الكلي التي يمكن غرسها هو $12$ شجرة.

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

Afficher

Télécharger le sujet PDF1.3 Mo

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2021)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 87 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 87 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) كتابة العددين AAA و BBB على أبسط شكل ممكن:

2) تبسيط كل من A×BA \times BA×B و B2B^2B2:

3) جعل مقام النسبة DDD عدداً ناطقاً حيث D=BAD = \frac{B}{A}D=AB​:

4) إعطاء القيمة المقربة إلى 1100\frac{1}{100}1001​ (أي 10−210^{-2}10−2) بالنقصان للعدد DDD:

التمرين الثاني: (04 نقاط)

1) نشر وتبسيط العبارة EEE:

2) حساب قيمة EEE من أجل x=0x = 0x=0 و x=3x = \sqrt{3}x=3​:

3) تحليل العبارة EEE إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم حل المعادلة E=0E = 0E=0:

4) حل المتراجحة: E≤−2x2+20E \le -2x^2 + 20E≤−2x2+20:

التمرين الثالث: (04 نقاط)

1) حساب القيمة المضبوطة لـ sin⁡ABC^\sin \widehat{ABC}sinABC و tan⁡ABC^\tan \widehat{ABC}tanABC:

2) إيجاد قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC}ABC، ثم قيس الزاوية ACB^\widehat{ACB}ACB:

3) تحديد نوع المثلث ABCABCABC، وحساب مساحته علماً أن AB=22 cmAB = 2\sqrt{2} \text{ cm}AB=22​ cm:

الجزء الثاني (الوضعية الإدماجية): (08 نقاط)

الجزء الأول: نضع DM=30 mDM = 30\text{ m}DM=30 m

1) تبيان أن AD=50 mAD = 50\text{ m}AD=50 m:

2) حساب tan⁡ADM^\tan \widehat{ADM}tanADM ثم استنتاج قيس الزاوية ADM^\widehat{ADM}ADM (بالتدوير إلى 0.10.10.1 من الدرجة):

3) التحقق من أن sin⁡2ADM^+cos⁡2ADM^=1\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = 1sin2ADM+cos2ADM=1:

الجزء الثاني: نضع DM=x (m)DM = x\text{ (m)}DM=x (m)

a) التعبير عن S1S_1S1​ مساحة الحديقة بدلالة xxx:

b) التعبير عن S2S_2S2​ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة xxx:

c) إيجاد قيمة xxx حتى تكون S1=15S2S_1 = \frac{1}{5} S_2S1​=51​S2​:

الجزء الثالث: غرس الأشجار حول الحديقة

1) حساب أكبر مسافة يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين:

2) حساب عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول محيط الحديقة:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1) كتابة العددين $A$ و $B$ على أبسط شكل ممكن:

2) تبسيط كل من $A \times B$ و $B^2$ :

3) جعل مقام النسبة $D$ عدداً ناطقاً حيث $D = \frac{B}{A}$ :

4) إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ (أي $10^{-2}$ ) بالنقصان للعدد $D$ :

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

2) حساب قيمة $E$ من أجل $x = 0$ و $x = \sqrt{3}$ :

3) تحليل العبارة $E$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم حل المعادلة $E = 0$ :

4) حل المتراجحة: $E \le -2x^2 + 20$ :

1) حساب القيمة المضبوطة لـ $\sin \widehat{ABC}$ و $\tan \widehat{ABC}$ :

2) إيجاد قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ ، ثم قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ :

3) تحديد نوع المثلث $ABC$ ، وحساب مساحته علماً أن $AB = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ :

الجزء الأول: نضع $DM = 30\text{ m}$

1) تبيان أن $AD = 50\text{ m}$ :

2) حساب $\tan \widehat{ADM}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ (بالتدوير إلى $0.1$ من الدرجة):

3) التحقق من أن $\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = 1$ :

الجزء الثاني: نضع $DM = x\text{ (m)}$

a) التعبير عن $S_1$ مساحة الحديقة بدلالة $x$ :

b) التعبير عن $S_2$ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة $x$ :

c) إيجاد قيمة $x$ حتى تكون $S_1 = \frac{1}{5} S_2$ :