📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 96 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول: (12 نقطة)

📌

التمرين الأول: (03 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1579 و 1517:

نستخدم خوارزمية قسمات أقليدس (القسمات المتتالية):

1579=1517×1+621579 = 1517 \times 1 + 62
1517=62×24+291517 = 62 \times 24 + 29
62=29×2+462 = 29 \times 2 + 4
29=4×7+129 = 4 \times 7 + 1
4=1×4+04 = 1 \times 4 + 0

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم، وعليه:

PGCD(1579,1517)=1\text{PGCD}(1579, 1517) = 1
✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 1579 و 1517 هو: 1.

2) هل العددان 1579 و 1517 أوليان فيما بينهما؟

💡إضاءة وتنبيه:
يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا وفقط إذا كان القاسم المشترك الأكبر لهما يساوي 1.
✅الإجابة النموذجية:

نعم، العددان 1579 و 1517 أوليان فيما بينهما لأن:

PGCD(1579,1517)=1\text{PGCD}(1579, 1517) = 1

3) كتابة العبارة A كتابة علمية:

العبارة المعطاة:

A=3×102×5×1041,2×(103)3A = \frac{3 \times 10^2 \times 5 \times 10^4}{1,2 \times (10^3)^3}

نقوم بتبسيط الأعداد مع بعضها وقوى العدد 10 مع بعضها:

A=3×51,2×102+4103×3A = \frac{3 \times 5}{1,2} \times \frac{10^{2+4}}{10^{3 \times 3}}
A=151,2×106109A = \frac{15}{1,2} \times \frac{10^6}{10^9}
A=12,5×106−9A = 12,5 \times 10^{6 - 9}
A=12,5×10−3A = 12,5 \times 10^{-3}

لكتابة العدد كتابة علمية، نكتبه على الشكل a×10na \times 10^n حيث 1≤a<101 \le a < 10:

A=1,25×101×10−3=1,25×10−2A = 1,25 \times 10^1 \times 10^{-3} = 1,25 \times 10^{-2}
✅الإجابة النموذجية:

الكتابة العلمية للعبارة AA هي:

A=1,25×10−2A = 1,25 \times 10^{-2}
📌

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1) كتابة العدد B على الشكل a+bca + b\sqrt{c}:

العبارة المعطاة:

B=49−18+162+32B = \sqrt{49} - \sqrt{18} + \sqrt{162} + 3\sqrt{2}

تبسيط كل حد على حدة:

49=7\sqrt{49} = 7
18=9×2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}
162=81×2=92\sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = 9\sqrt{2}

بالتعويض في العبارة BB:

B=7−32+92+32B = 7 - 3\sqrt{2} + 9\sqrt{2} + 3\sqrt{2}
B=7+(−3+9+3)2B = 7 + (-3 + 9 + 3)\sqrt{2}
B=7+92B = 7 + 9\sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:

الشكل المبسط للعدد BB هو:

B=7+92B = 7 + 9\sqrt{2}

حيث: a=7a = 7، b=9b = 9، c=2c = 2 (وهو أصغر عدد طبيعي ممكن).

2) تبيان أن العدد Z عدد طبيعي:

العبارة المعطاة:

Z=26×24Z = 2\sqrt{6} \times \sqrt{24}

نحسب بالتفصيل:

Z=2×6×24Z = 2 \times \sqrt{6 \times 24}
Z=2×144Z = 2 \times \sqrt{144}
Z=2×12=24Z = 2 \times 12 = 24
✅الإجابة النموذجية:

بما أن 24∈N24 \in \mathbb{N}، فإن العدد Z=24Z = 24 هو عدد طبيعي.

3) حل المعادلة: 7x2=167x^2 = 16

نقسم الطرفين على 7:

x2=167x^2 = \frac{16}{7}

بما أن 167>0\frac{16}{7} > 0، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x=167=167=47=477x = \sqrt{\frac{16}{7}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{7}}{7}

أو

x=−167=−167=−47=−477x = -\sqrt{\frac{16}{7}} = -\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{7}} = -\frac{4}{\sqrt{7}} = -\frac{4\sqrt{7}}{7}
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما:

x1=477وx2=−477x_1 = \frac{4\sqrt{7}}{7} \quad \text{و} \quad x_2 = -\frac{4\sqrt{7}}{7}
📌

التمرين الثالث: (03 نقاط)

1) حساب الطول EF:

من خلال الشكل:

المثلث EGHEGH قائم في HH وفيه: GH=6 cmGH = 6\text{ cm}، EH=3,5 cmEH = 3,5\text{ cm}.
المثلث FGHFGH قائم في HH وفيه: GH=6 cmGH = 6\text{ cm}، والزاوية FGH^=30∘\widehat{FGH} = 30^\circ.
الطول الكلي هو: EF=EH+HFEF = EH + HF.

لحساب الطول HFHF، نستخدم النسب المثلثية في المثلث القائم FGHFGH:

tan⁡(FGH^)=الضلع المقابلالضلع المجاور=HFGH\tan(\widehat{FGH}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{HF}{GH}
tan⁡(30∘)=HF6\tan(30^\circ) = \frac{HF}{6}
HF=6×tan⁡(30∘)≈6×0,57735≈3,46 cmHF = 6 \times \tan(30^\circ) \approx 6 \times 0,57735 \approx 3,46\text{ cm}

إذن:

EF=EH+HF=3,5+3,46=6,96 cmEF = EH + HF = 3,5 + 3,46 = 6,96\text{ cm}

بالتدوير إلى 110\frac{1}{10} (رقم واحد بعد الفاصلة):

EF≈7,0 cmEF \approx 7,0\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول EFEF بالتدوير إلى 110\frac{1}{10} هو: 7,0 cm7,0\text{ cm} (أو 7 cm7\text{ cm}).

2) استنتاج مساحة المثلث EFG:

قانون مساحة المثلث:

SEFG=القاعدة×الارتفاع المتعلق بها2=EF×GH2S_{EFG} = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع المتعلق بها}}{2} = \frac{EF \times GH}{2}

بالتعويض بالقيم:

SEFG=6,96×62=6,96×3=20,88 cm2S_{EFG} = \frac{6,96 \times 6}{2} = 6,96 \times 3 = 20,88\text{ cm}^2

بالتدوير إلى 110\frac{1}{10}:

SEFG≈20,9 cm2S_{EFG} \approx 20,9\text{ cm}^2
✅الإجابة النموذجية:

مساحة المثلث EFGEFG بالتدوير إلى 110\frac{1}{10} هي: 20,9 cm220,9\text{ cm}^2.

📌

التمرين الرابع: (03 نقاط)

1) طبيعة المثلث IJK مع التعليل:

💡إضاءة وتنبيه:
إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً لدائرة محيطة به، فإن هذا المثلث قائم في الرأس المقابل لهذا الضلع.

الضلع [IJ][IJ] هو قطر للدائرة (L)(L)، والنقطة KK تنتمي إلى الدائرة (L)(L).

✅الإجابة النموذجية:

المثلث IJKIJK قائم في النقطة KK لأن ضلعه [IJ][IJ] قطر للدائرة المحيطة به (L)(L).

2) تبيان أن: (JM)//(OK)(JM) // (OK)

أولاً: حساب الطول IKIK:

في المثلث القائم IJKIJK في KK، حسب خاصية فيثاغورس:

IJ2=IK2+KJ2IJ^2 = IK^2 + KJ^2

بما أن قطر الدائرة هو IJ=2×OJ=2×2,5=5 cmIJ = 2 \times OJ = 2 \times 2,5 = 5\text{ cm}، و KJ=3 cmKJ = 3\text{ cm}:

52=IK2+32  ⟹  25=IK2+95^2 = IK^2 + 3^2 \implies 25 = IK^2 + 9
IK2=25−9=16  ⟹  IK=16=4 cmIK^2 = 25 - 9 = 16 \implies IK = \sqrt{16} = 4\text{ cm}

ثانياً: إثبات التوازي:

النقطة OO هي منتصف قطعة المستقيم [IJ][IJ] (لأنها مركز الدائرة و[IJ][IJ] قطر لها).
من الشكل والإنشاء: النقطة KK هي منتصف قطعة المستقيم [IM][IM] لأن IK=4 cmIK = 4\text{ cm} و KM=4 cmKM = 4\text{ cm}.

في المثلث IJMIJM:

OO منتصف [IJ][IJ]
KK منتصف [IM][IM]

حسب خاصية منتصفي ضلعين في مثلث (خاصية المستقيم المار بمنتصفي ضلعين):

المستقيم (OK)(OK) يوازي المستقيم (JM)(JM).

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان (JM)(JM) و (OK)(OK) متوازيان حسب خاصية منتصفي ضلعين في المثلث IJMIJM.

📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

لمساعدة الخياط في اختيار العرض الأفضل، يجب حساب التكلفة الإجمالية لكل عرض ثم المقارنة بينهما.

أولاً: حساب تكلفة العرض الأول (العرض 1)

1. حساب طول سلك التوصيل RTRT:

في المثلث القائم RTZRTZ في ZZ:

المجاور للزاوية RTZ^\widehat{RTZ} هو TZ=16 mTZ = 16\text{ m}.
قيس الزاوية RTZ^=37∘\widehat{RTZ} = 37^\circ.
الوتر هو طول السلك RTRT.

نستخدم جيب تمام الزاوية (الظا / cos):

cos⁡(RTZ^)=الضلع المجاورالوتر=TZRT\cos(\widehat{RTZ}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{TZ}{RT}
cos⁡(37∘)=16RT\cos(37^\circ) = \frac{16}{RT}
RT=16cos⁡(37∘)≈160,7986≈20,035 m≈20 mRT = \frac{16}{\cos(37^\circ)} \approx \frac{16}{0,7986} \approx 20,035\text{ m} \approx 20\text{ m}

2. حساب التكلفة الإجمالية للعرض 1:

ثمن سلك التوصيل: 20×130=2600 DA20 \times 130 = 2600\text{ DA}
رسوم استخدام العمود الكهربائي لشركة الكهرباء: 12000 DA12000\text{ DA}
التكلفة الإجمالية (العرض 1)=2600+12000=14600 DA\text{التكلفة الإجمالية (العرض 1)} = 2600 + 12000 = 14600\text{ DA}

ثانياً: حساب تكلفة العرض الثاني (العرض 2)

1. حساب طول سلك التوصيل SPSP:

نعتبر المثلث القائم SPVSPV القائم في VV:

الارتفاع العمودي من النقطة PP إلى النقطة VV:
SV=ارتفاع العمارة−طول العمود الحديدي=10,8−7,5=3,3 mSV = \text{ارتفاع العمارة} - \text{طول العمود الحديدي} = 10,8 - 7,5 = 3,3\text{ m}
المسافة الأفقیة بين الورشة والعمارة:
PV=4,4 mPV = 4,4\text{ m}

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم SPVSPV:

SP2=SV2+PV2SP^2 = SV^2 + PV^2
SP2=(3,3)2+(4,4)2SP^2 = (3,3)^2 + (4,4)^2
SP2=10,89+19,36=30,25SP^2 = 10,89 + 19,36 = 30,25
SP=30,25=5,5 mSP = \sqrt{30,25} = 5,5\text{ m}

2. حساب ثمن الأغراض والتكلفة الإجمالية للعرض 2:

ثمن سلك التوصيل SPSP:
5,5×130=715 DA5,5 \times 130 = 715\text{ DA}
ثمن العمود الحديدي PQPQ الذي طوله 7,5 m7,5\text{ m}:
7,5×2000=15000 DA7,5 \times 2000 = 15000\text{ DA}
التكلفة الإجمالية (العرض 2)=715+15000=15715 DA\text{التكلفة الإجمالية (العرض 2)} = 715 + 15000 = 15715\text{ DA}

ثالثاً: المقارنة والاختيار الأفضل

تكلفة العرض الأول = 14600 DA14600\text{ DA}
تكلفة العرض الثاني = 15715 DA15715\text{ DA}

بما أن:

14600 DA<15715 DA14600\text{ DA} < 15715\text{ DA}
✅الإجابة النموذجية النصيحة الموجهة للخياط:

ننصح الخياط باختيار العرض الأول (العرض 1) لأنه العرض الأقل تكلفة والأوفر مالياً، حيث يوفر مبلغا قدره:

15715−14600=1115 DA15715 - 14600 = 1115\text{ DA}