لحساب $\text{PGCD}(110,105)\backslash text\{PGCD\}(110,\; 105)$، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم هو $55$، فإن:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 110 و 105 هو:

لدينا العلاقة:

ومنه نستنتج أن:

لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر الذي حسبناه سابقاً وهو $55$:

عند الانتقال من المساواة $ax=byax\; =\; by$ إلى الكسر، تذكر دائماً أن $\frac{x}{y}=\frac{b}{a}\backslash frac\{x\}\{y\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{a\}$ لتفادي الأخطاء الشائعة في عكس أطراف النسبة.

الكسر $\frac{x}{y}\backslash frac\{x\}\{y\}$ مكتوباً على شكل كسر غير قابل للاختزال هو:

لدينا العبارة:

نعوض الكسر $\frac{105}{110}\backslash frac\{105\}\{110\}$ بكسره المختزل $\frac{21}{22}\backslash frac\{21\}\{22\}$:

نعلم أن قسمة كسرين هي ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

بما أن المقامين موحدان، نجمع البسطين مباشرة:

بما أن $33$ عدد طبيعي، فإن $AA$ عدد طبيعي.

تبسيط العبارة $AA$ يعطي:

وهو عدد طبيعي فعلاً.

لدينا العبارة:

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو $33$:

نعوض هذه القيم في العبارة $SS$:

نأخذ $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ كعامل مشترك:

كتابة العدد $SS$ على الشكل $a\sqrt{3}a\backslash sqrt\{3\}$ هي:

حيث $a=15a\; =\; 15$ وهو عدد طبيعي.

لدينا العبارة:

نبسط كل حد على حدة:

نعوض هذه التبسيطات في العبارة $DD$:

كتابة العدد $DD$ على الشكل المطلوب هي:

حيث $a=84a\; =\; 84$ و $b=-6b\; =\; -6$.

لدينا العبارة:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{7}\backslash sqrt\{7\}$:

النسبة $KK$ بمقام ناطق هي:

لدينا من السؤال الأول: $S=15\sqrt{3}S\; =\; 15\backslash sqrt\{3\}$.

إذن:

ولدينا أيضاً الطرف الأول من المساواة:

بالتعويض في العبارة:

المساواة محققة.

بما أن الطرفين متساويان وقيمتهما $675675$، فإن:

باستعمال الجداء المتصالب (الوسطين في الطرفين):

بما أن $49>049\; >\; 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

حلول المعادلة الأولى هي:

ننقل المعلوم إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته:

بما أن قيمة $x^{2}x^2$ سالبة ()، فإنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب.

في مجموعة الأعداد الحقيقية، مربع أي عدد هو دائماً موجب أو معدوم، لذلك فإن المعادلة من الشكل $x^2=kx^2\; =\; k$ حيث لا تقبل حلولاً.

المعادلة $3x^2-25=-853x^2\; -\; 25\; =\; -85$ ليس لها حلول.

من معطيات التمرين والشكل المرفق:

نطبق نظرية طاليس في المثلث $AGDAGD$ حيث المستقيم $(EF)(EF)$ يوازي الضلع $(GD)(GD)$:

بما أن:

فإننا نكتب نسب طاليس كالتالي:

نعلم أن:

نعوض القيم المعلومة في النسبة:

باستعمال الرابع المتناسب:

الطول $ADAD$ هو:

نطبق نظرية طاليس على المستقيمين المتقاطعين في $AA$ والمستقيمين المتوازيين $(PR)(PR)$ و $(EF)(EF)$:

بما أن:

فإننا نكتب نسب طاليس كالتالي:

نعوض بالقيم المعلومة لدينا:

نأخذ النسبة المناسبة لحساب $PRPR$:

باستعمال الرابع المتناسب:

الطول $PRPR$ هو: