📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 110 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: الحساب على الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة

1. إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 696 و 406 مع كتابة مراحل الحساب

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر PGCD(696,406)\text{PGCD}(696, 406)، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأكثر فعالية وسرعة.

💡إضاءة وتنبيه:
تنص خوارزمية إقليدس على أن القاسم المشترك الأكبر لعددين هو آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية المتتالية.
A=B×q+RA = B \times q + R
المرحلة 1: نقسم العدد الأكبر 696696 على العدد الأصغر 406406:
696=406×1+290696 = 406 \times 1 + 290

(الباقي هو 290290)

المرحلة 2: نقسم المقسوم عليه السابق 406406 على الباقي السابق 290290:
406=290×1+116406 = 290 \times 1 + 116

(الباقي هو 116116)

المرحلة 3: نقسم 290290 على 116116:
290=116×2+58290 = 116 \times 2 + 58

(الباقي هو 5858)

المرحلة 4: نقسم 116116 على 5858:
116=58×2+0116 = 58 \times 2 + 0

(الباقي هو 00)

بما أن الباقي الأخير يساوي 00، فإن القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقٍ غير معدوم وهو 5858.

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(696,406)=58\text{PGCD}(696, 406) = 58

2. كتابة الكسر 406696\frac{406}{696} على شكل كسر غير قابل للاختزال

لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD(696,406)=58\text{PGCD}(696, 406) = 58.

💡إضاءة وتنبيه:
قسمة بسط ومقام كسر على قاسمهما المشترك الأكبر تضمن الحصول مباشرة على كسر غير قابل للاختزال (بسطه ومقامه عددان أوليان فيما بينهما).
406696=406÷58696÷58\frac{406}{696} = \frac{406 \div 58}{696 \div 58}

نحسب العمليات:

406÷58=7406 \div 58 = 7
696÷58=12696 \div 58 = 12
✅الإجابة النموذجية:
406696=712\frac{406}{696} = \frac{7}{12}

3. حساب العدد PP حيث: P=696406−37×52P = \frac{696}{406} - \frac{3}{7} \times \frac{5}{2}

نلاحظ أولاً أن الكسر الأول في العبارة PP هو مقلوب الكسر الذي قمنا باختزاله في السؤال السابق:

696406=127\frac{696}{406} = \frac{12}{7}

نعوض الكسر المختزل في العبارة لتسهيل الحساب وتجنب الأعداد الكبيرة:

P=127−37×52P = \frac{12}{7} - \frac{3}{7} \times \frac{5}{2}
💡إضاءة وتنبيه:
في الحساب على الأعداد الناطقة، تُعطى الأولوية دائماً لعملية الضرب قبل عملية الطرح.
🔹 الخطوة 1: حساب عملية الضرب:
37×52=3×57×2=1514\frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14}
🔹 الخطوة 2: تعويض النتيجة وإجراء عملية الطرح:
P=127−1514P = \frac{12}{7} - \frac{15}{14}
🔹 الخطوة 3: توحيد المقامات (المقام المشترك هو 1414):
P=12×27×2−1514P = \frac{12 \times 2}{7 \times 2} - \frac{15}{14}
P=2414−1514P = \frac{24}{14} - \frac{15}{14}
🔹 الخطوة 4: طرح البسطين والاحتفاظ بالمقام المشترك:
P=24−1514=914P = \frac{24 - 15}{14} = \frac{9}{14}
✅الإجابة النموذجية:
P=914P = \frac{9}{14}
📌

التمرين الثاني: الحساب على الجذور والنسب المقامة عدد ناطق

1. تبسيط العدد AA حيث: A=12+60A = \sqrt{12} + \sqrt{60}

لتبسيط المجموع، نكتب ما تحت الجذور على الشكل a2×ba^2 \times b لاستخراج المربعات التامة خارج الجذر:

بالنسبة لـ 12\sqrt{12}:
12=4×3=22×3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}
بالنسبة لـ 60\sqrt{60}:
60=4×15=22×15=215\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{2^2 \times 15} = 2\sqrt{15}

نعوض في العبارة AA:

A=23+215A = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{15}

يمكننا كتابتها باستخراج العامل المشترك 22:

A=2(3+15)A = 2(\sqrt{3} + \sqrt{15})
✅الإجابة النموذجية:
A=23+215أوA=2(3+15)A = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{15} \quad \text{أو} \quad A = 2(\sqrt{3} + \sqrt{15})

2. كتابة العدد BB على شكل كسر مقامه عدد ناطق حيث: B=1+53B = \frac{1 + \sqrt{5}}{\sqrt{3}}

لجعل مقام الكسر عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

💡إضاءة وتنبيه:
عند ضرب البسط المكون من حدين في جذر، يجب استخدام الأقواس لتوزيع الضرب على جميع الحدود.
B=(1+5)×33×3B = \frac{(1 + \sqrt{5}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}

نوزع الضرب في البسط:

B=1×3+5×33B = \frac{1 \times \sqrt{3} + \sqrt{5} \times \sqrt{3}}{3}
B=3+153B = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}
✅الإجابة النموذجية:
B=3+153B = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}

3. تبيين أن: A−3B=12AA - 3B = \frac{1}{2}A (أو A−3B=A2A - 3B = \frac{A}{2})

لإثبات صحة هذه المساواة، نحسب الطرف الأيسر والطرف الأيمن على حدة ونقارن بينهما:

أولاً: حساب الطرف الأيسر (A−3B)(A - 3B):

نعلم أن:

3B=3×(3+153)3B = 3 \times \left( \frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{3} \right)

باختزال العدد 33 من البسط والمقام نجد:

3B=3+153B = \sqrt{3} + \sqrt{15}

الآن نقوم بحساب الفرق A−3BA - 3B:

A−3B=(23+215)−(3+15)A - 3B = (2\sqrt{3} + 2\sqrt{15}) - (\sqrt{3} + \sqrt{15})

نحذف الأقواس مع تغيير إشارة الحدود داخل القوس الثاني المسبوق بإشارة ناقص:

A−3B=23+215−3−15A - 3B = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{15} - \sqrt{3} - \sqrt{15}

نجمع الحدود المتشابهة:

A−3B=(2−1)3+(2−1)15A - 3B = (2 - 1)\sqrt{3} + (2 - 1)\sqrt{15}
A−3B=3+15A - 3B = \sqrt{3} + \sqrt{15}
ثانياً: حساب الطرف الأيمن (12A)\left(\frac{1}{2}A\right):
12A=A2=23+2152\frac{1}{2}A = \frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{2}

نستخرج 22 كعامل مشترك في البسط:

12A=2(3+15)2\frac{1}{2}A = \frac{2(\sqrt{3} + \sqrt{15})}{2}

باختزال العدد 22 نجد:

12A=3+15\frac{1}{2}A = \sqrt{3} + \sqrt{15}

بمقارنة نتيجتي الطرفين، نلاحظ أنهما متساويان تماماً.

✅الإجابة النموذجية:

بما أن الطرف الأيسر يساوي 3+15\sqrt{3} + \sqrt{15} والطرف الأيمن يساوي 3+15\sqrt{3} + \sqrt{15}، فإن المساواة محققة:

A−3B=12AA - 3B = \frac{1}{2}A
📌

التمرين الثالث: الهندسة وتطبيقات خاصية طاليس

1. البرهان على أن: (BC)//(MN)(BC) // (MN)

من خلال الشكل الهندسي المرفق والمعطيات:

لدينا المستقيم (BC)(BC) عمودي على المستقيم (CM)(CM) في النقطة CC (وجود رمز الزاوية القائمة)، أي أن:
(BC)⊥(CM)(BC) \perp (CM)
لدينا المستقيم (MN)(MN) عمودي على المستقيم (CM)(CM) في النقطة MM (وجود رمز الزاوية القائمة)، أي أن:
(MN)⊥(CM)(MN) \perp (CM)
💡إضاءة وتنبيه:
تعتمد هذه البرهنة على النظرية الهندسية الأساسية: "المستقيمان العموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان".

بما أن المستقيمين (BC)(BC) و (MN)(MN) عموديان على نفس المستقيم (CM)(CM)، فإنهما متوازيان حتماً.

✅الإجابة النموذجية:
(BC)//(MN)(BC) // (MN)

2. تبيين أن: OBON=0.6\frac{OB}{ON} = 0.6

في المثلثين OBCOBC و ONMONM:

النقط CC، OO، MM على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.
النقط BB، OO، NN على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.
المستقيمان متوازيان: (BC)//(MN)(BC) // (MN).

بتطبيق خاصية طاليس على هذا الشكل (وضعية الفراشة)، نكتب نسب الطول المتساوية:

OBON=OCOM=BCMN\frac{OB}{ON} = \frac{OC}{OM} = \frac{BC}{MN}

لدينا من المعطيات العددية على الرسم:

OC=9 cmOC = 9 \text{ cm}
OM=15 cmOM = 15 \text{ cm}

نعوض هذه القيم في النسبة المناسبة:

OBON=OCOM=915\frac{OB}{ON} = \frac{OC}{OM} = \frac{9}{15}

نختزل الكسر 915\frac{9}{15} بقسمة البسط والمقام على 33:

9÷315÷3=35=0.6\frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5} = 0.6
✅الإجابة النموذجية:
OBON=0.6\frac{OB}{ON} = 0.6

3. حساب الطول OBOB إذا علمت أن: ON=17.5 cmON = 17.5 \text{ cm}

نعلم من السؤال السابق أن:

OBON=0.6\frac{OB}{ON} = 0.6

نعوض قيمة ON=17.5 cmON = 17.5 \text{ cm} في العلاقة:

OB17.5=0.6\frac{OB}{17.5} = 0.6

ومنه نستخرج الطول OBOB باستخدام عملية الضرب:

OB=0.6×17.5OB = 0.6 \times 17.5

نحسب النتيجة:

OB=10.5 cmOB = 10.5 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول OBOB هو:

OB=10.5 cmOB = 10.5 \text{ cm}