التصحيح النموذجي لفرض الفصل الأول في مادة الرياضيات (الموضوع رقم 114 - 4 متوسط)

التمرين الأول:

1- هل العددين 756 و 441 أوليين فيما بينهما؟ علل إجابتك.

لتحديد ما إذا كان العددين 756 و 441 أوليين فيما بينهما، نحتاج إلى حساب القاسم المشترك الأكبر (PGCD) بينهما.

PGCD(756,441)PGCD(756, 441)

نستخدم خوارزمية الإقليدس:

756=441×1+315441=315×1+126315=126×2+63126=63×2+0\begin{align*} 756 &= 441 \times 1 + 315 \\ 441 &= 315 \times 1 + 126 \\ 315 &= 126 \times 2 + 63 \\ 126 &= 63 \times 2 + 0 \\ \end{align*}

القاسم المشترك الأكبر هو 63، لذا فإن العددين 756 و 441 ليسا أوليين فيما بينهما.

الإجابة: العددين 756 و 441 ليسا أوليين فيما بينهما لأن PGCD(756, 441) = 63 ≠ 1.

2- هل الكسر 756441\frac{756}{441} غير قابل للاختزال؟ إذا كان لا، اكتب على شكل كسر غير قابل للاختزال مع توضيح مراحل الحساب.

لتحديد ما إذا كان الكسر 756441\frac{756}{441} قابل للاختزال، نقسم البسط والمقام على PGCD(756, 441) = 63:

756÷63441÷63=127\frac{756 \div 63}{441 \div 63} = \frac{12}{7}

الكسر 756441\frac{756}{441} قابل للاختزال، وشكله غير قابل للاختزال هو 127\frac{12}{7}.

3- احسب المجموع D، حيث D=756441+1921D=\frac{756}{441}+\frac{19}{21}.

باستخدام النتيجة السابقة، نعرف أن 756441=127\frac{756}{441} = \frac{12}{7}:

D=127+1921D = \frac{12}{7} + \frac{19}{21}

لجمع الكسور، نحتاج إلى المقام المشترك:

D=12×37×3+1921=3621+1921=36+1921=5521D = \frac{12 \times 3}{7 \times 3} + \frac{19}{21} = \frac{36}{21} + \frac{19}{21} = \frac{36 + 19}{21} = \frac{55}{21}

الإجابة: المجموع D=5521D = \frac{55}{21}.

التمرين الثاني:

1- اكتب العبارة A على شكل a3a\sqrt{3}، حيث A=512+3−327A=5\sqrt{12}+\sqrt{3}-3\sqrt{27}.

نبدأ بتقسيم الجذور التربيعية إلى أشكال أبسط:

512=54×3=5×23=103327=39×3=3×33=93\begin{align*} 5\sqrt{12} &= 5\sqrt{4 \times 3} = 5 \times 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \\ 3\sqrt{27} &= 3\sqrt{9 \times 3} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \\ \end{align*}

ثم نقوم بتبسيط العبارة A:

A=103+3−93=(10+1−9)3=23A = 10\sqrt{3} + \sqrt{3} - 9\sqrt{3} = (10 + 1 - 9)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}

الإجابة: العبارة A يمكن كتابتها على الشكل 232\sqrt{3}.

2- انشر ثم بسط العبارة B، حيث B=(3−6)(3+2)B=(\sqrt{3}-6)(\sqrt{3}+2).

نستخدم قاعدة الضرب في القوسين:

B=(3−6)(3+2)=3⋅3+3⋅2−6⋅3−6⋅2=3+23−63−12=3−12+(2−6)3=−9−43\begin{align*} B &= (\sqrt{3}-6)(\sqrt{3}+2) \\ &= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - 6 \cdot \sqrt{3} - 6 \cdot 2 \\ &= 3 + 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 12 \\ &= 3 - 12 + (2 - 6)\sqrt{3} \\ &= -9 - 4\sqrt{3} \end{align*}

الإجابة: العبارة B بعد التبسيط هي −9−43-9 - 4\sqrt{3}.

3- اجعل مقام النسبة BA\frac{B}{A} عددا ناطقا.

باستخدام النتائج السابقة، لدينا:

BA=−9−4323\frac{B}{A} = \frac{-9 - 4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}

لجعل المقام عددا ناطقا، نضرب البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

BA=(−9−43)⋅323⋅3=−93−4⋅32⋅3=−93−126\frac{B}{A} = \frac{(-9 - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-9\sqrt{3} - 4 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{-9\sqrt{3} - 12}{6}

الإجابة: النسبة BA\frac{B}{A} بعد جعل المقام عددا ناطقا هي −93−126\frac{-9\sqrt{3} - 12}{6}.

التمرين الثالث:

- بين أن (GF) || (BC).

لبيان أن (GF) || (BC)، نحتاج إلى إثبات أن المثلثين ABC و AGF متشابهان.

نعلم أن:

AB = 9.6 cm
AC = 8 cm
AF = 3 cm
AG = 3 cm

نحسب نسبة طول AF إلى AB و AG إلى AC:

AFAB=39.6=516\frac{AF}{AB} = \frac{3}{9.6} = \frac{5}{16}
AGAC=38=38\frac{AG}{AC} = \frac{3}{8} = \frac{3}{8}

نلاحظ أن AFAB=AGAC\frac{AF}{AB} = \frac{AG}{AC}.

بما أن المثلثين ABC و AGF متشابهان، فإن (GF) || (BC).

الإجابة: (GF) || (BC).

- إذا علمت أن محيط المثلث ABC هو 29.6 cm، احسب GF و BC.

نعلم أن محيط المثلث ABC هو 29.6 cm:

AB+BC+AC=29.6AB + BC + AC = 29.6
9.6+BC+8=29.69.6 + BC + 8 = 29.6
BC=29.6−9.6−8=12BC = 29.6 - 9.6 - 8 = 12

لحساب طول GF، نستخدم نسبة المتشابهية:

GFBC=AFAB=516\frac{GF}{BC} = \frac{AF}{AB} = \frac{5}{16}
GF=516×12=6016=3.75GF = \frac{5}{16} \times 12 = \frac{60}{16} = 3.75

الإجابة: طول BC هو 12 cm وطول GF هو 3.75 cm.

جدول سلم التنقيط (20/20):

السؤال/التمرينالنقاط
التمرين الأول6
التمرين الثاني6
التمرين الثالث8
المجموع20

ملاحظة: يمكن توزيع النقاط بشكل مرن حسب مستوى تفصيل الإجابات وصحة الحلول.