لدينا العبارة:

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو $3$:

نعوض هذه القيم في العبارة $A$:

بتطبيق خاصية جذر جذاء $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$:

نأخذ $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

قيمة العدد $A$ مكتوبة على الشكل $a\sqrt{3}$ هي:

حيث $a = 8$ وهو عدد طبيعي.

لدينا العبارة:

نلاحظ أن العبارة مكتوبة على شكل المتطابقة الشهيرة الثالثة (فرق مربعين) من الشكل $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$، حيث:

بتطبيق القاعدة:

العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته بإشارة موجبة أو سالبة ولا يحتوي على جزء عشري غير منتهٍ أو جذر أصم. بما أن النتيجة هي عدد صحيح سالب، فإن الشرط محقق.

وبما أن $-13$ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ($\mathbb{Z}$)، فإن العدد $B$ هو عدد نسبي.

نعوض قيمتي $A$ و $B$ المحسوبتين سابقاً:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

النسبة بمقام ناطق هي:

نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس (Thalès) في المثلثين المتشكلين من تقاطع المستقيمين المتناصفين في النقطة $M$.

لدينا النسب التالية:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $A, M, C$ والنقط $B, M, D$ مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتمايزين، فإنه وحسب الخاصية العكسية لطاليس نستنتج أن:

المستقيمان $(AB)$ و $(DC)$ متوازيان لأن نسب أطوال الأضلاع متساوية والنقاط تقع على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.

أولاً، يجب إثبات أن المثلث $DMC$ قائم في $M$. نطبق الخاصية العكسية لفيثاغورس على المثلث $DMC$:

بما أن $DC^2 = MD^2 + MC^2$، فإنه وحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $DMC$ قائم في النقطة $M$.

وبالتالي فإن الزاوية $\widehat{DMC} = 90^\circ$.

بما أن المستقيمين $(AC)$ و $(BD)$ يتقاطعان في النقطة $M$، فإن الزاويتين $\widehat{AMB}$ و $\widehat{DMC}$ متقابلتان بالرأس، ومنه:

إذن، المثلث $AMB$ قائم في النقطة $M$.

في المثلث القائم $AMB$ في $M$، نستخدم النسبة المثلثية ظل الزاوية ($\tan$):

باستخدام الآلة الحاسبة (اللمسة $\tan^{-1}$ أو $\text{Shift} + \tan$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

قيس الزاوية $\widehat{BAM}$ بالتدوير إلى الوحدة هو $53^\circ$.

بما أن المثلث $AMB$ قائم في $M$، نطبق نظرية فيثاغورس:

بما أن المستقيمين $(AB)$ و $(DC)$ متوازيان، نطبق خاصية طاليس:

في المثلث القائم $AMB$:

نعلم أن القيمة الدقيقة لـ $\sin(\widehat{BAM})$ حيث $\tan(\widehat{BAM}) = \frac{4}{3}$ هي $\frac{4}{5} = 0.8$:

الطول $AB$ يساوي $5 \text{ cm}$.

يمثل الجدار $AB$ خطاً شاقولياً عمودياً على الأرض $BC$، وبالتالي فإن المثلث $ABC$ قائم في $B$.

السلم يمثل الوتر $AC = 4\text{ m}$.

الزاوية التي يصنعها السلم مع الجدار هي الزاوية عند الرأس $A$، وقيسها $\widehat{BAC} = 30^\circ$.

في المثلث القائم $ABC$ في $B$، نستخدم جيب الزاوية $\widehat{BAC}$:

نعلم أن $\sin(30^\circ) = 0.5$:

المسافة $BC$ بين أسفل السلم والحائط هي $2\text{ m}$.

في المثلث القائم $ABC$ في $B$، نطبق نظرية فيثاغورس:

بالتدوير إلى $0.1$:

طول الجدار $AB$ بالتدوير إلى $0.1$ هو $3.5\text{ m}$.

عند سقوط المطرقة شاقولياً من النقطة $M$ على السلم لتصل إلى النقطة $N$ على الأرض، يتشكل لدينا مستقيم شاقولي $(MN)$ عمودي على الأرض $(BC)$.

بما أن:

فإن المستقيمين $(MN)$ و $(AB)$ متوازيان لأنهما عموديان على نفس المستقيم:

نطبق خاصية طاليس في المثلث $CAB$ حيث $M \in [AC]$ و $N \in [BC]$:

نعوض بالقيم المعلومة لدينا:

بالتدوير إلى $0.1$:

الطول $MN$ بالتدوير إلى $0.1$ هو $1.3\text{ m}$.

بما أن المستقيمين $(MN)$ و $(AB)$ متوازيان، والمستقيم $(AC)$ قاطع لهما، فإن الزاويتين $\widehat{CMN}$ و $\widehat{CAB}$ متماثلتان (Angles correspondantes).

وبالتالي:

يمكن التحقق من النتيجة باستخدام حساب المثلثات في المثلث القائم $CMN$ في $N$:

وبما أن $\cos^{-1}(0.866) \approx 30^\circ$، فإن الحساب صحيح تماماً ومتطابق هندسياً.

قيس الزاوية $\widehat{CMN}$ هو $30^\circ$.