Sujet n° 61 - devoir Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2021Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Devoir surveillé) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 61

Solution IA2021

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 61 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (5.5 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 108 و 135 واختزال الكسر $\frac{108}{135}$

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب القاسم المشترك الأكبر

PGCD

، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر أماناً لتفادي الأخطاء الحسابية.

135 = 108 \times 1 + 27

108 = 27 \times 4 + 0

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $27$ ، فإن:

PGCD(135, 108) = 27

✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين $108$ و $135$ هو:

PGCD(135, 108) = 27

اختزال الكسر $\frac{108}{135}$ :

نقسم كلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما:

$\frac{108}{135} = \frac{108 \div 27}{135 \div 27} = \frac{4}{5}$

2. تبيين أن $B$ عدد طبيعي حيث: $B = \frac{7}{2} \times \frac{4}{5} - \frac{108}{135}$

💡إضاءة وتنبيه:

لتسهيل الحساب وتجنب الأعداد الكبيرة، نعوض الكسر $\frac{108}{135}$ بكسره المختزل $\frac{4}{5}$ الذي وجدناه في السؤال السابق، مع مراعاة أولويات العمليات (الضرب قبل الطرح).

$B = \left( \frac{7}{2} \times \frac{4}{5} \right) - \frac{4}{5}$

$B = \frac{7 \times 4}{2 \times 5} - \frac{4}{5}$

$B = \frac{28}{10} - \frac{4}{5}$

نختزل الكسر $\frac{28}{10}$ بقسمة البسط والمقام على $2$ :

$\frac{28}{10} = \frac{14}{5}$

نعوض الآن في العبارة:

$B = \frac{14}{5} - \frac{4}{5}$

$B = \frac{14 - 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

✅الإجابة النموذجية:

بعد الحساب والتبسيط نجد:

$B = 2$

وبما أن $2$ عدد طبيعي، فقد تم إثبات أن $B$ عدد طبيعي.

3. كتابة العدد $C$ كتابة علمية حيث: $C = \frac{6.6 \times 10^2 \times 9 \times 10^{-3}}{0.2 \times (10^2)^3}$

💡إضاءة وتنبيه:

الكتابة العلمية لعدد عشري تكتب على الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة ( $1 \le a < 10$ ) و $n$ عدد نسبي صحيح.

نقوم أولاً بفصل الأعداد المعلومة عن قوى العدد 10:

$C = \frac{6.6 \times 9}{0.2} \times \frac{10^2 \times 10^{-3}}{(10^2)^3}$

نحسب الجزء العددي:

$6.6 \times 9 = 59.4$

$\frac{59.4}{0.2} = 297$

نحسب جزء القوى بتطبيق قواعد القوى العشريّة $(10^a)^b = 10^{a \times b}$ و $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ :

$\frac{10^2 \times 10^{-3}}{(10^2)^3} = \frac{10^{2 - 3}}{10^{2 \times 3}} = \frac{10^{-1}}{10^6} = 10^{-1 - 6} = 10^{-7}$

إذن:

$C = 297 \times 10^{-7}$

نكتب العدد $297$ كتابة علمية:

$297 = 2.97 \times 10^2$

نعوض في العبارة الإجمالية لـ $C$ :

$C = 2.97 \times 10^2 \times 10^{-7} = 2.97 \times 10^{2 - 7} = 2.97 \times 10^{-5}$

✅الإجابة النموذجية:

الكتابة العلمية للعدد $C$ هي:

$C = 2.97 \times 10^{-5}$

4. حل المعادلة: $X^2 - 4 = 0$

نكتب المعادلة على الشكل $X^2 = a$ :

$X^2 = 4$

بما أن العدد $4$ أكبر تماماً من الصفر ( $4 > 0$ )، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

$X = \sqrt{4} \quad \text{أو} \quad X = -\sqrt{4}$

أي:

$X = 2 \quad \text{أو} \quad X = -2$

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة $X^2 - 4 = 0$ حلان حقيقيان هما:

$X = 2 \quad \text{و} \quad X = -2$

📌

التمرين الثاني: (4.5 نقاط)

1. كتابة $A$ على شكل $a\sqrt{b}$ حيث $a$ عدد نسبي و $b$ عدد طبيعي أصغر ما يمكن

$A = \sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{50}$

💡إضاءة وتنبيه:

نبحث عن أكبر مربع تام يقسم الأعداد تحت الجذور. نلاحظ أن جميع الأعداد تقبل القسمة على $2$ :

$8 = 4 \times 2$

$32 = 16 \times 2$

$50 = 25 \times 2$

نعوض في العبارة:

$A = \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} - \sqrt{25 \times 2}$

$A = \sqrt{2^2 \times 2} + \sqrt{4^2 \times 2} - \sqrt{5^2 \times 2}$

$A = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$

نأخذ $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

$A = (2 + 4 - 5)\sqrt{2}$

$A = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$

✅الإجابة النموذجية:

كتابة العبارة $A$ على الشكل المطلوب هي:

$A = \sqrt{2}$

(حيث $a = 1$ و $b = 2$ ).

2. كتابة $B$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

$B = \frac{2}{\sqrt{2}}$

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في مرافق المقام وهو $\sqrt{2}$ :

$B = \frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$

$B = \frac{2\sqrt{2}}{2}$

نختزل العدد $2$ من البسط والمقام:

$B = \sqrt{2}$

✅الإجابة النموذجية:

النسبة $B$ بمقام ناطق بعد التبسيط هي:

$B = \sqrt{2}$

3. إثبات أن $A \times B$ عدد طبيعي

نعوض قيمتي $A$ و $B$ المبسطتين:

$A \times B = \sqrt{2} \times \sqrt{2}$

$A \times B = (\sqrt{2})^2 = 2$

وبما أن $2$ عدد طبيعي، فإن الجداء $A \times B$ هو عدد طبيعي فعلاً.

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

$A \times B = 2$

وهو عدد طبيعي.

📌

التمرين الثالث: (10 نقاط)

i. ما نوع المثلث $ABD$ ؟ مع التعليل

💡إضاءة وتنبيه:

نستخدم هنا النظرية العكسية للدائرة المحيطة بالمثلث. إذا كان أحد أضلاع مثلث مرسوم داخل دائرة قطراً لهذه الدائرة، فإن هذا المثلث قائم حتماً والقطر هو وتره.

التعليل:

1. لدينا المثلث $ABD$ مرسوم داخل الدائرة $(C)$ .

2. الضلع $[AB]$ هو قطر للدائرة $(C)$ .

3. النقطة $D$ نقطة من الدائرة $(C)$ وتختلف عن $A$ و $B$ .

إذن، حسب خاصية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم، فإن المثلث $ABD$ قائم في النقطة $D$ .

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $ABD$ قائم في $D$ .

ii. حساب كلا من $AD$ و $BD$

بما أن المثلث $ABD$ قائم في $D$ ، يمكننا استخدام النسب المثلثية (الجيب وجيب التمام) حيث لدينا الزاوية $\widehat{ABD} = 30^\circ$ والوتر $AB = 4\text{ cm}$ .

1. حساب الطول $AD$ (المقابل للزاوية $\widehat{ABD}$ ):

$\sin(\widehat{ABD}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{AD}{AB}$

$\sin(30^\circ) = \frac{AD}{4}$

نعلم أن $\sin(30^\circ) = 0.5$ ، إذن:

$AD = 4 \times 0.5 = 2\text{ cm}$

2. حساب الطول $BD$ (المجاور للزاوية $\widehat{ABD}$ ):

يمكننا حساب $BD$ بطريقتين:

الطريقة الأولى (باستخدام جيب التمام):

$\cos(\widehat{ABD}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{BD}{AB}$

$\cos(30^\circ) = \frac{BD}{4}$

نعلم أن $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ، إذن:

$BD = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm} \approx 3.46\text{ cm}$

الطريقة الثانية (بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $ABD$ ):

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

$4^2 = 2^2 + BD^2$

$16 = 4 + BD^2 \implies BD^2 = 16 - 4 = 12$

$BD = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$

✅الإجابة النموذجية:

الطول $AD = 2\text{ cm}$

الطول $BD = 2\sqrt{3}\text{ cm} \approx 3.46\text{ cm}$

iii. حساب مساحة المثلث $ABD$

مساحة المثلث القائم تساوي نصف جذاء طولي ضلعي القائمة:

$S = \frac{AD \times BD}{2}$

$S = \frac{2 \times 2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm}^2 \approx 3.46\text{ cm}^2$

✅الإجابة النموذجية:

مساحة المثلث $ABD$ هي:

$S = 2\sqrt{3}\text{ cm}^2 \quad (\text{أو } \approx 3.46\text{ cm}^2)$

iv. تبيين أن $(MN) // (AD)$

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات توازي مستقيمين، نبحث عن مستقيم ثالث يكون عمودياً عليهما معاً، حيث أن "المستقيمان العموديان على نفس المستقيم متوازيان".

1. لدينا المثلث $ABD$ قائم في $D$ ، مما يعني أن المستقيم $(AD)$ عمودي على المستقيم $(DB)$ :

$(AD) \perp (DB)$

2. من معطيات التمرين، المستقيم $(\Delta)$ الذي يشمل القطعة $[MN]$ عمودي على المستقيم $(DB)$ في النقطة $M$ ، مما يعني أن:

$(MN) \perp (DB)$

بما أن المستقيمين $(AD)$ و $(MN)$ عموديان على نفس المستقيم $(DB)$ ، فإنهما متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:

بما أن $(AD) \perp (DB)$ و $(MN) \perp (DB)$ ، فإن:

$(MN) // (AD)$

v. حساب الطول $MN$

بما أن المستقيمين متوازيان، يمكننا حساب الطول $MN$ بطريقتين هندسيتين مختلفتين:

الطريقة الأولى: باستخدام النسب المثلثية في المثلث القائم $BMN$

بما أن $(MN) \perp (DB)$ ، فإن المثلث $BMN$ قائم في $M$ .

الزاوية $\widehat{MBN}$ هي نفسها الزاوية $\widehat{ABD} = 30^\circ$ .

لدينا الطول $BM$ :

$BM = BD - MD$

نعوض بالقيم:

$BM = 2\sqrt{3} - 2\text{ cm}$

في المثلث القائم $BMN$ في $M$ :

$\tan(\widehat{MBN}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{MN}{BM}$

$\tan(30^\circ) = \frac{MN}{2\sqrt{3} - 2}$

نعلم أن $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ، إذن:

$MN = (2\sqrt{3} - 2) \times \frac{\sqrt{3}}{3}$

$MN = \frac{2(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \times 3 - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$

بالحساب التقريبي:

$MN \approx 2 - 1.15 = 0.85\text{ cm}$

الطريقة الثانية: بتطبيق نظرية طاليس

في المثلث $BDA$ ، لدينا النقطة $M$ تنتمي إلى $[BD]$ والنقطة $N$ تنتمي إلى $[BA]$ ، وبما أن $(MN) // (AD)$ ، فحسب خاصية طاليس نكتب:

$\frac{BM}{BD} = \frac{BN}{BA} = \frac{MN}{AD}$

نأخذ النسبة المناسبة لحساب $MN$ :

$\frac{MN}{AD} = \frac{BM}{BD} \implies MN = AD \times \frac{BM}{BD}$

نعوض بالأطوال المعلومة:

$MN = 2 \times \frac{2\sqrt{3} - 2}{2\sqrt{3}}$

نختزل العدد $2$ من البسط والمقام في الكسر:

$MN = 2 \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}$

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$ لتنطيق المقام:

$MN = 2 \times \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{3}}{3} = 2 \times \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$

✅الإجابة النموذجية:

الطول $MN$ هو:

$MN = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}\text{ cm} \quad (\text{أو بالتقريب } \approx 0.85\text{ cm})$

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Devoirs du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 121 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 120 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 119 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 118 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

AfficherMasquer

Télécharger le sujet PDF54 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentDevoir surveillé

Période1er Trimestre (2021)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Devoir surveillé en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 61 - devoir Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 61 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (5.5 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 108 و 135 واختزال الكسر 108135\frac{108}{135}135108​

2. تبيين أن BBB عدد طبيعي حيث: B=72×45−108135B = \frac{7}{2} \times \frac{4}{5} - \frac{108}{135}B=27​×54​−135108​

3. كتابة العدد CCC كتابة علمية حيث: C=6.6×102×9×10−30.2×(102)3C = \frac{6.6 \times 10^2 \times 9 \times 10^{-3}}{0.2 \times (10^2)^3}C=0.2×(102)36.6×102×9×10−3​

4. حل المعادلة: X2−4=0X^2 - 4 = 0X2−4=0

التمرين الثاني: (4.5 نقاط)

1. كتابة AAA على شكل aba\sqrt{b}ab​ حيث aaa عدد نسبي و bbb عدد طبيعي أصغر ما يمكن

2. كتابة BBB على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

3. إثبات أن A×BA \times BA×B عدد طبيعي

التمرين الثالث: (10 نقاط)

i. ما نوع المثلث ABDABDABD؟ مع التعليل

ii. حساب كلا من ADADAD و BDBDBD

1. حساب الطول ADADAD (المقابل للزاوية ABD^\widehat{ABD}ABD):

2. حساب الطول BDBDBD (المجاور للزاوية ABD^\widehat{ABD}ABD):

iii. حساب مساحة المثلث ABDABDABD

iv. تبيين أن (MN)//(AD)(MN) // (AD)(MN)//(AD)

v. حساب الطول MNMNMN

الطريقة الأولى: باستخدام النسب المثلثية في المثلث القائم BMNBMNBMN

الطريقة الثانية: بتطبيق نظرية طاليس

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 108 و 135 واختزال الكسر $\frac{108}{135}$

2. تبيين أن $B$ عدد طبيعي حيث: $B = \frac{7}{2} \times \frac{4}{5} - \frac{108}{135}$

3. كتابة العدد $C$ كتابة علمية حيث: $C = \frac{6.6 \times 10^2 \times 9 \times 10^{-3}}{0.2 \times (10^2)^3}$

4. حل المعادلة: $X^2 - 4 = 0$

1. كتابة $A$ على شكل $a\sqrt{b}$ حيث $a$ عدد نسبي و $b$ عدد طبيعي أصغر ما يمكن

2. كتابة $B$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

3. إثبات أن $A \times B$ عدد طبيعي

i. ما نوع المثلث $ABD$ ؟ مع التعليل

ii. حساب كلا من $AD$ و $BD$

1. حساب الطول $AD$ (المقابل للزاوية $\widehat{ABD}$ ):

2. حساب الطول $BD$ (المجاور للزاوية $\widehat{ABD}$ ):

iii. حساب مساحة المثلث $ABD$

iv. تبيين أن $(MN) // (AD)$

v. حساب الطول $MN$

الطريقة الأولى: باستخدام النسب المثلثية في المثلث القائم $BMN$