لإيجاد القاسم المشترك الأكبر $PGCD(1351, 579)$، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $193$، فإن:

لجعل الكسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر الذي وجدناه في السؤال السابق وهو $193$:

لدينا العبارة:

نعوض الكسر $\frac{579}{1351}$ بقيمته المختزلة $\frac{3}{7}$، ونبسط الكسر $\frac{6}{2}$ إلى $3$:

نطبق أولويات العمليات (الضرب قبل الجمع):

بما أن المقامين موحدان، نجمع البسطين:

بما أن $2$ عدد طبيعي، فإن $A$ عدد طبيعي بالفعل.

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاءات يظهر فيها المربع التام والعدد $5$:

نعوض في العبارة:

نستخرج $\sqrt{5}$ كعامل مشترك:

نحلل الجذور:

نعلم أن $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$:

لدينا:

نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{7}$:

نختزل الكسر:

لدينا:

نلاحظ أن هذه العبارة هي جداء شهير من الشكل $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

من معطيات الشكل الهندسي نلاحظ وجود تشفير الزاوية القائمة:

بالتالي، فإن:

بما أن المستقيمين $(BN)$ و $(CM)$ متقاطعان في النقطة $O$، وحيث أن $(BC) // (MN)$، فإنه بتطبيق نظرية طاليس نجد:

نعوض بالقيم المعلومة لدينا من الشكل ($OC = 9\text{ cm}$ و $OM = 15\text{ cm}$):

بقسمة البسط والمقام على $3$:

وهو المطلوب إثباته.

لدينا من السؤال السابق:

إذن:

في المثلث $ABC$ القائم في $B$، لدينا:

نستخدم جيب تمام الزاوية (Sinus):

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة $\sin^{-1}$ أو $\text{2ndF} + \sin$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

بما أن النقط $A$، $B$، و $D$ على استقامة واحدة، والمثلث $ABC$ قائم في $B$، فإن المثلث $CBD$ قائم أيضاً في $B$.

في المثلث القائم $CBD$ في $B$، لدينا:

نستخدم ظل الزاوية (Tangente):

نعلم أن $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$:

القيمة التقريبية للطول $BD$: