Sujet n° 72 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2020Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 72

Solution IA2020

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 72 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) تبيان هل الكسر $\frac{153}{99}$ قابل للاختزال (دون حساب $PGCD$ ):

💡إضاءة وتنبيه:

يكون الكسر قابلاً للاختزال إذا كان للبسط والمقام مصدق أو مجزء مشترك غير العدد 1. يمكننا الاعتماد على قواعد قابلية القسمة (مجموع أرقام العدد) دون الحاجة لحساب القاسم المشترك الأكبر.

✅الإجابة النموذجية:

نحسب مجموع أرقام كل من البسط والمقام:

مجموع أرقام البسط

153

1 + 5 + 3 = 9

، وهو مضاعف للعدد

3

(وكذلك للعدد

9

مجموع أرقام المقام

99

9 + 9 = 18

، وهو مضاعف للعدد

3

(وكذلك للعدد

9

بما أن كلا العددين $153$ و $99$ يقبلان القسمة على $3$ (أو $9$ )، فإنهما ليسا أوليين فيما بينهما.

إذن: الكسر $\frac{153}{99}$ قابل للاختزال.

2) كتابة الكسر $\frac{153}{99}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

✅الإجابة النموذجية:

لحساب الكسر غير القابل للاختزال، نحسب أولاً القاسم المشترك الأكبر للعددين $153$ و $99$ باستعمال خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

$153 = 99 \times 1 + 54$

$99 = 54 \times 1 + 45$

$54 = 45 \times 1 + 9$

$45 = 9 \times 5 + 0$

آخر باقي غير معدوم هو $9$ ، ومنه:

$PGCD(153, 99) = 9$

نقسم كلا من البسط والمقام على $9$ :

$\frac{153}{99} = \frac{153 \div 9}{99 \div 9} = \frac{17}{11}$

3) حساب عدد القطع المربعة ومساحة كل قطعة:

💡إضاءة وتنبيه:

للحصول على أكبر عدد ممكن من القطع المربعة دون أخذ أو ترك باقي، يجب أن يكون طول ضلع القطعة المربعة أطول ما يمكن، وهو يمثل القاسم المشترك الأكبر لأبعاد اللوحة الخشبية بعد تحويلها إلى نفس الوحدة (السنتيمتر).

✅الإجابة النموذجية:

تحويل الأبعاد إلى السنتيمتر ( $cm$ ):

الطول: $1.53 \text{ m} = 153 \text{ cm}$

العرض: $0.99 \text{ m} = 99 \text{ cm}$

طول ضلع القطعة المربعة الواحدة ( $a$ ):

طول ضلع المربع هو $PGCD(153, 99) = 9 \text{ cm}$ (أي $0.09 \text{ m}$ ).

مساحة القطعة الواحدة ( $S_{piece}$ ):

$S_{piece} = a \times a = 9 \times 9 = 81 \text{ cm}^2 = 0.0081 \text{ m}^2$

عدد القطع التي يمكن صنعها ( $N$ ):

عدد القطع في الطول: $153 \div 9 = 17$ قطعة.

عدد القطع في العرض: $99 \div 9 = 11$ قطعة.

العدد الإجمالي للقطع:

$N = 17 \times 11 = 187 \text{ قطعة}$

📌

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1) تبسيط العبارتين $R$ و $S$ :

✅الإجابة النموذجية:

تبسيط العبارة $R$ :

$R = 3\sqrt{54} - 2\sqrt{150} + \sqrt{24}$

نكتب الأعداد تحت الجذر على الشكل $a^2 \times 6$ :

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

بالتعويض في العبارة $R$ :

$R = 3(3\sqrt{6}) - 2(5\sqrt{6}) + 2\sqrt{6}$

$R = 9\sqrt{6} - 10\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = (9 - 10 + 2)\sqrt{6} = 1\sqrt{6} = \sqrt{6}$

تبسيط العبارة $S$ :

$S = (3 - 2\sqrt{6})(3 + 2\sqrt{6})$

نلاحظ أنها على شكل المتطابقة الشهيرة الثالثة $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :

$S = 3^2 - (2\sqrt{6})^2 = 9 - (4 \times 6) = 9 - 24 = -15$

2) إثبات أن: $S + 3R^2 = 3$ :

✅الإجابة النموذجية:

نعوض بقيمتي $R$ و $S$ المبسطتين:

$S + 3R^2 = -15 + 3(\sqrt{6})^2$

$S + 3R^2 = -15 + 3 \times 6 = -15 + 18 = 3$

وهو المطلوب إثباته.

3) جعل مقام النسبة $\frac{2\sqrt{6}}{3 - 2\sqrt{6}}$ عدداً ناطقاً:

💡إضاءة وتنبيه:

لجعل مقام نسبة تتضمن ثنائي حد ناطقاً، نضرب كلا من البسط والمقام في مرافق المقام. مرافق $(3 - 2\sqrt{6})$ هو $(3 + 2\sqrt{6})$ .

✅الإجابة النموذجية:

$\frac{2\sqrt{6}}{3 - 2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6} \times (3 + 2\sqrt{6})}{(3 - 2\sqrt{6})(3 + 2\sqrt{6})}$

نعلم من السؤال الأول أن $(3 - 2\sqrt{6})(3 + 2\sqrt{6}) = -15$ :

$\frac{2\sqrt{6}}{3 - 2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6} \times 3 + 2\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}}{-15} = \frac{6\sqrt{6} + 4 \times 6}{-15} = \frac{6\sqrt{6} + 24}{-15}$

بختزال البسط والمقام على $3$ :

$\frac{2\sqrt{6}}{3 - 2\sqrt{6}} = \frac{3(2\sqrt{6} + 8)}{-15} = -\frac{2\sqrt{6} + 8}{5}$

📌

التمرين الثالث: (2.5 نقطة)

1) نشر وتبيان العبارة $(5x + 2)^2$ :

✅الإجابة النموذجية:

باستعمال المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$(5x + 2)^2 = (5x)^2 + 2(5x)(2) + 2^2 = 25x^2 + 20x + 4$

2) كتابة العبارة $N$ على شكل جداء عاملين من الدرجة الأولى:

$N = (25x^2 + 4 + 20x) - (x - 1)^2$

✅الإجابة النموذجية:

نلاحظ أن العبارة بين القوسين الأولين هي نتيجة نشر $(5x + 2)^2$ :

$N = (5x + 2)^2 - (x - 1)^2$

العبارة على شكل المتطابقة الشهيرة الثالثة $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ حيث $A = 5x + 2$ و $B = x - 1$ :

$N = [(5x + 2) - (x - 1)] [(5x + 2) + (x - 1)]$

$N = (5x + 2 - x + 1) (5x + 2 + x - 1)$

$N = (4x + 3) (6x + 1)$

3) حساب $N$ من أجل $x = -\sqrt{3}$ :

✅الإجابة النموذجية:

نعوض قيمة $x$ في العبارة المحللة $N = (4x + 3)(6x + 1)$ :

$N = [4(-\sqrt{3}) + 3] [6(-\sqrt{3}) + 1] = (-4\sqrt{3} + 3)(-6\sqrt{3} + 1)$

نقوم بالنشر:

$N = (-4\sqrt{3})(-6\sqrt{3}) + (-4\sqrt{3})(1) + 3(-6\sqrt{3}) + 3(1)$

$N = 24 \times 3 - 4\sqrt{3} - 18\sqrt{3} + 3$

$N = 72 - 22\sqrt{3} + 3 = 75 - 22\sqrt{3}$

📌

التمرين الرابع: (2.5 نقطة)

إثبات أن: $AB^2 = HB \times BC$ :

💡إضاءة وتنبيه:

نعتمد على جيب تمام الزاوية $\widehat{ABC}$ (أي $\cos \widehat{ABC}$ ) في كل من المثلث القائم الكبير $ABC$ والمثلث القائم الصغير $ABH$ .

✅الإجابة النموذجية:

1. في المثلث $ABC$ القائم في $A$ :

$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AB}{BC} \quad \text{--- (المعادلة 1)}$

2. في المثلث $ABH$ القائم في $H$ (لأن $[AH]$ ارتفاع متعلق بالوتر $[BC]$ ):

الزاوية $\widehat{ABH}$ هي نفسها الزاوية $\widehat{ABC}$ .

$\cos(\widehat{ABH}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{HB}{AB} \quad \text{--- (المعادلة 2)}$

3. بالمساواة بين العبارتين (1) و (2):

$\frac{AB}{BC} = \frac{HB}{AB}$

وباستعمال الجداء التصالبي (الطرفين في الوسطين):

$AB \times AB = HB \times BC \implies AB^2 = HB \times BC$

وهو المطلوب إثباته.

📌

المسألة: (08 نقاط)

معطيات عامة للورشة:

الشكل $IEAB$ مستطيل، إذن: $IE = AB = 2.25 \text{ m}$ و $IB = EA$ .

الارتفاع الكلي من الأرض للسطح: $HB = 5 \text{ m}$ .

الاستقامية: النقط $H$ ، $I$ ، $B$ على استقامة واحدة، وبالتالي: $HB = HI + IB = HI + AE$ .

الجزء الأول:

في هذا الجزء نفرض أن: $AE = 2 \text{ m}$ .

1) تبرير أن $HI = 3 \text{ m}$ :

✅الإجابة النموذجية:

بما أن $IEAB$ مستطيل، فإن $IB = AE = 2 \text{ m}$ .

ولدينا $HB = HI + IB$ :

$5 = HI + 2 \implies HI = 5 - 2 = 3 \text{ m}$

2) إثبات أن $HE = 3.75 \text{ m}$ :

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $HIE$ قائم في $I$ . بتطبيق خاصية فيثاغورس:

$HE^2 = HI^2 + IE^2$

نعوض القيم المعلومة ( $HI = 3$ ، $IE = 2.25$ ):

$HE^2 = 3^2 + (2.25)^2 = 9 + 5.0625 = 14.0625$

$HE = \sqrt{14.0625} = 3.75 \text{ m}$

3) حساب قيس زاوية السقف $\widehat{IHE}$ بالتدوير إلى الدرجة:

✅الإجابة النموذجية:

في المثلث القائم $HIE$ :

$\cos(\widehat{IHE}) = \frac{HI}{HE} = \frac{3}{3.75} = 0.8$

باستعمال الحاسبة ( $\cos^{-1}(0.8)$ ):

$\widehat{IHE} \approx 36.869^\circ$

بالتدوير إلى الوحدة (الدرجة): $\widehat{IHE} \approx 37^\circ$ .

الجزء الثاني:

في هذا الجزء نفرض أن $\widehat{IHE} = 45^\circ$ .

1) نوع المثلث $HIE$ في هذه الحالة مع التبرير:

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $HIE$ هو مثلث قائم ومتساوي الساقين في $I$ .

التبرير:

المثلث $HIE$ قائم في $I$ ، إذن مجموع زاويتيه الحادتين هو $90^\circ$ :

$\widehat{HEI} = 90^\circ - \widehat{IHE} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

بما أن $\widehat{IHE} = \widehat{HEI} = 45^\circ$ ، فإن الضلعين القائمين متساويان: $HI = IE$ .

2) استنتاج الطول $HI$ ثم الطول $AE$ :

✅الإجابة النموذجية:

استنتاج $HI$ :

بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن: $HI = IE = 2.25 \text{ m}$ .

استنتاج $AE$ :

نعلم أن $HB = HI + AE$ ، إذن:

$AE = HB - HI = 5 - 2.25 = 2.75 \text{ m}$

الجزء الثالث:

في هذا الجزء نفرض أن $\widehat{IHE} = 60^\circ$ .

1) حساب القيمة المدورة إلى السنتيمتر ( $0.01 \text{ m}$ ) للطول $HI$ :

✅الإجابة النموذجية:

في المثلث القائم $HIE$ :

$\tan(\widehat{IHE}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{IE}{HI}$

$\tan(60^\circ) = \frac{2.25}{HI} \implies HI = \frac{2.25}{\tan(60^\circ)} = \frac{2.25}{\sqrt{3}} \approx 1.29903 \text{ m}$

بالتدوير إلى السنتيمتر (جزء من مئة من المتر): $HI \approx 1.30 \text{ m}$ .

2) استنتاج القيمة المدورة إلى السنتيمتر للطول $AE$ :

✅الإجابة النموذجية:

$AE = HB - HI = 5 - 1.30 = 3.70 \text{ m}$

3) حساب مساحة الباب الحديدي ذات الشكل الرباعي $HBAE$ :

💡إضاءة وتنبيه:

الشكل $HBAE$ يمثل شبه منحرف قائم، قاعدتاه المتوازيتان هما $[HB]$ و $[AE]$ ، وارتفاعه هو $[AB]$ لأن الضالعين القائمين يعامدان القاعدتين.

✅الإجابة النموذجية:

قانون مساحة شبه المنحرف:

$S_{HBAE} = \frac{(\text{القاعدة الكبرى} + \text{القاعدة الصغرى}) \times \text{الارتفاع}}{2}$

$S_{HBAE} = \frac{(HB + AE) \times AB}{2}$

بالتعويض العددي:

$S_{HBAE} = \frac{(5 + 3.70) \times 2.25}{2} = \frac{8.70 \times 2.25}{2} = \frac{19.575}{2} = 9.7875 \text{ m}^2$

مساحة الباب الحديدي هي: $9.7875 \text{ m}^2$ (أو بالتدوير إلى جزء من مئة $9.79 \text{ m}^2$ ).

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

AfficherMasquer

Télécharger le sujet PDF596 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2020)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 72 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 72 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) تبيان هل الكسر 15399\frac{153}{99}99153​ قابل للاختزال (دون حساب PGCDPGCDPGCD):

2) كتابة الكسر 15399\frac{153}{99}99153​ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3) حساب عدد القطع المربعة ومساحة كل قطعة:

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1) تبسيط العبارتين RRR و SSS:

2) إثبات أن: S+3R2=3S + 3R^2 = 3S+3R2=3:

3) جعل مقام النسبة 263−26\frac{2\sqrt{6}}{3 - 2\sqrt{6}}3−26​26​​ عدداً ناطقاً:

التمرين الثالث: (2.5 نقطة)

1) نشر وتبيان العبارة (5x+2)2(5x + 2)^2(5x+2)2:

2) كتابة العبارة NNN على شكل جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3) حساب NNN من أجل x=−3x = -\sqrt{3}x=−3​:

التمرين الرابع: (2.5 نقطة)

إثبات أن: AB2=HB×BCAB^2 = HB \times BCAB2=HB×BC:

المسألة: (08 نقاط)

الجزء الأول:

1) تبرير أن HI=3 mHI = 3 \text{ m}HI=3 m:

2) إثبات أن HE=3.75 mHE = 3.75 \text{ m}HE=3.75 m:

3) حساب قيس زاوية السقف IHE^\widehat{IHE}IHE بالتدوير إلى الدرجة:

الجزء الثاني:

1) نوع المثلث HIEHIEHIE في هذه الحالة مع التبرير:

2) استنتاج الطول HIHIHI ثم الطول AEAEAE:

الجزء الثالث:

1) حساب القيمة المدورة إلى السنتيمتر (0.01 m0.01 \text{ m}0.01 m) للطول HIHIHI:

2) استنتاج القيمة المدورة إلى السنتيمتر للطول AEAEAE:

3) حساب مساحة الباب الحديدي ذات الشكل الرباعي HBAEHBAEHBAE:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1) تبيان هل الكسر $\frac{153}{99}$ قابل للاختزال (دون حساب $PGCD$ ):

2) كتابة الكسر $\frac{153}{99}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

1) تبسيط العبارتين $R$ و $S$ :

2) إثبات أن: $S + 3R^2 = 3$ :

3) جعل مقام النسبة $\frac{2\sqrt{6}}{3 - 2\sqrt{6}}$ عدداً ناطقاً:

1) نشر وتبيان العبارة $(5x + 2)^2$ :

2) كتابة العبارة $N$ على شكل جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3) حساب $N$ من أجل $x = -\sqrt{3}$ :

إثبات أن: $AB^2 = HB \times BC$ :

1) تبرير أن $HI = 3 \text{ m}$ :

2) إثبات أن $HE = 3.75 \text{ m}$ :

3) حساب قيس زاوية السقف $\widehat{IHE}$ بالتدوير إلى الدرجة:

1) نوع المثلث $HIE$ في هذه الحالة مع التبرير:

2) استنتاج الطول $HI$ ثم الطول $AE$ :

1) حساب القيمة المدورة إلى السنتيمتر ( $0.01 \text{ m}$ ) للطول $HI$ :

2) استنتاج القيمة المدورة إلى السنتيمتر للطول $AE$ :

3) حساب مساحة الباب الحديدي ذات الشكل الرباعي $HBAE$ :