📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 71 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (02 نقطة)

أ) إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 2019 و 123: PGCD(2019,123)\text{PGCD}(2019, 123)

نعلم أن القاسم المشترك الأكبر يُحسب باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

2019=123×16+512019 = 123 \times 16 + 51
123=51×2+21123 = 51 \times 2 + 21
51=21×2+951 = 21 \times 2 + 9
21=9×2+321 = 9 \times 2 + 3
9=3×3+09 = 3 \times 3 + 0

آخر باقي غير معدوم هو العدد 33.

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(2019,123)=3\text{PGCD}(2019, 123) = 3

ب) كتابة الكسر 2019123\frac{2019}{123} على شكل كسر غير قابل للإختزال

لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للإختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD(2019,123)=3\text{PGCD}(2019, 123) = 3:

2019123=2019÷3123÷3=67341\frac{2019}{123} = \frac{2019 \div 3}{123 \div 3} = \frac{673}{41}
✅الإجابة النموذجية:
2019123=67341\frac{2019}{123} = \frac{673}{41}
📌

التمرين الثاني (05 نقاط)

1- إيجاد الرقم السري الأول (AA) من خلال تبسيط العدد:

A=1328+54÷73A = \frac{13}{28} + \frac{5}{4} \div \frac{7}{3}

نُطبق أولويات العمليات (أولية القسمة أولاً، حيث نحول القسمة إلى ضرب في المقلوب):

54÷73=54×37=1528\frac{5}{4} \div \frac{7}{3} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{28}

ثم ننجز عملية الجمع:

A=1328+1528=13+1528=2828=1A = \frac{13}{28} + \frac{15}{28} = \frac{13 + 15}{28} = \frac{28}{28} = 1
✅الإجابة النموذجية:
A=1A = 1

2- إيجاد الرقم السري الثاني (BB) من خلال تبسيط العدد:

B=232−50−32B = 2\sqrt{32} - \sqrt{50} - 3\sqrt{2}

نقوم بنشر وتحليل الجذور التربيعية إلى الجداء aba\sqrt{b}:

32=16×2=42\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}
50=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}

نعوض في العبارة BB:

B=2(42)−52−32B = 2(4\sqrt{2}) - 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2}
B=82−52−32B = 8\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2}
B=(8−5−3)2=02=0B = (8 - 5 - 3)\sqrt{2} = 0\sqrt{2} = 0
✅الإجابة النموذجية:
B=0B = 0

3- إيجاد الرقم السري الثالث (CC) من خلال كتابة العدد على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

C=322C = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}

باستعمال خواص الجذور التربيعية ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}:

C=322=16=4C = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4
✅الإجابة النموذجية:
C=4C = 4

4- إيجاد الرقم السري الرابع (DD) وهو الحل الموجب للمعادلة:

4+x2=854 + x^2 = 85

نعزل المجهول x2x^2:

x2=85−4x^2 = 85 - 4
x2=81x^2 = 81

المعادلة تقبل حلين هما:

x=81=9أوx=−81=−9x = \sqrt{81} = 9 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{81} = -9

بما أن الرقم السري DD هو الحل الموجب للمعادلة:

✅الإجابة النموذجية:
D=9D = 9
💡إضاءة وتنبيه:

الرقم السري الكامل لفتح شاشة الهاتف المتكون من الأرقام A,B,C,DA, B, C, D هو: 1049.

📌

التمرين الثالث (2.5 نقطة)

لتكن العبارة:

E=(2x+5)2+4(2x+5)E = (2x + 5)^2 + 4(2x + 5)

1) التحقق بالنشر والتبسيط أن: E=4x2+28x+45E = 4x^2 + 28x + 45

نقتنع بنشر الطرف الأول باستخدام المتطابقة الشهيرة الأولى (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 والنشر العادي:

نشر (2x+5)2(2x + 5)^2:
(2x+5)2=(2x)2+2(2x)(5)+52=4x2+20x+25(2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25
نشر 4(2x+5)4(2x + 5):
4(2x+5)=4×2x+4×5=8x+204(2x + 5) = 4 \times 2x + 4 \times 5 = 8x + 20

تجميع الأطراف وتبسيطها:

E=(4x2+20x+25)+(8x+20)E = (4x^2 + 20x + 25) + (8x + 20)
E=4x2+(20x+8x)+(25+20)E = 4x^2 + (20x + 8x) + (25 + 20)
E=4x2+28x+45E = 4x^2 + 28x + 45
✅الإجابة النموذجية:
وهو المطلوب إثباته.

2) تحليل العبارة EE إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى

لاحظ وجود عامل مشترك ظاهري وهو (2x+5)(2x + 5):

E=(2x+5)2+4(2x+5)E = (2x + 5)^2 + 4(2x + 5)
E=(2x+5)[(2x+5)+4]E = (2x + 5) \left[ (2x + 5) + 4 \right]
E=(2x+5)(2x+5+4)E = (2x + 5) (2x + 5 + 4)
E=(2x+5)(2x+9)E = (2x + 5)(2x + 9)
✅الإجابة النموذجية:
E=(2x+5)(2x+9)E = (2x + 5)(2x + 9)
📌

التمرين الرابع (2.5 نقطة)

أ) إثبات أن المستقيمين (CD)(CD) و (FG)(FG) متوازيان

النقط C,E,GC, E, G في استقامية وبنفس الترتيب مع النقط D,E,FD, E, F.

نحسب النسبتين القائمتين من التقاطع EE:

النسبة الأولى:
ECEG=108=1.25\frac{EC}{EG} = \frac{10}{8} = 1.25
النسبة الثانية:
EDEF=7.56=1.25\frac{ED}{EF} = \frac{7.5}{6} = 1.25

نلاحظ أن:

ECEG=EDEF=1.25\frac{EC}{EG} = \frac{ED}{EF} = 1.25

وبما أن النقط C,E,GC, E, G والنقط D,E,FD, E, F في استقامية وبنفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين (CD)(CD) و (FG)(FG) متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:
(CD)∥(FG)(CD) \parallel (FG)

ب) حساب cos⁡ABC^\cos \widehat{ABC} ثم استنتاج قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC}

في المثلث ABCABC القائم في AA:

cos⁡ABC^=الضلع المجاورالوتر=ABBC\cos \widehat{ABC} = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AB}{BC}

بالتعوض بالقيم العدادية:

cos⁡ABC^=1215=0.8\cos \widehat{ABC} = \frac{12}{15} = 0.8

استنتاج قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC} باستعمال الآلة الحاسبة (cos⁡−1(0.8)\cos^{-1}(0.8)):

ABC^≈36.87∘\widehat{ABC} \approx 36.87^\circ

بالتدوير إلى الوحدة:

ABC^≈37∘\widehat{ABC} \approx 37^\circ
✅الإجابة النموذجية:
cos⁡ABC^=0.8وABC^≈37∘\cos \widehat{ABC} = 0.8 \quad \text{و} \quad \widehat{ABC} \approx 37^\circ

ج) حساب الطول ACAC

تطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث ABCABC القائم في AA:

BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2
152=122+AC215^2 = 12^2 + AC^2
225=144+AC2225 = 144 + AC^2
AC2=225−144=81AC^2 = 225 - 144 = 81
AC=81=9 cmAC = \sqrt{81} = 9 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
AC=9 cmAC = 9 \text{ cm}
📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

الجزء الأول (I)

1/ حساب الطول BCBC:

ارتفاع سطح المنزل عن سطح الأرض = 4 m4 \text{ m}.
ارتفاع عيني أنيس عن سطح المنزل = 1.75 m1.75 \text{ m}.
إذن، الارتفاع الكلي لعيني أنيس عن سطح الأرض = 4+1.75=5.75 m4 + 1.75 = 5.75 \text{ m}.
ارتفاع العصفور عن سطح الأرض = 36 m36 \text{ m}.

الطول BCBC يمثل المسافة العمودية بين العصفور ومستوى عيني أنيس:

BC=36−5.75=30.25 mBC = 36 - 5.75 = 30.25 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:
BC=30.25 mBC = 30.25 \text{ m}

2/ حساب الطول ABAB (بعد العصفور عن أنيس):

في المثلث ABCABC القائم في CC، وبما أن زاوية النظر α=30∘\alpha = 30^\circ:

sin⁡(α)=الضلع المقابلالوتر=BCAB\sin(\alpha) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AB}
sin⁡(30∘)=30.25AB\sin(30^\circ) = \frac{30.25}{AB}

نعلم أن sin⁡(30∘)=0.5\sin(30^\circ) = 0.5:

0.5=30.25AB  ⟹  AB=30.250.5=60.5 m0.5 = \frac{30.25}{AB} \implies AB = \frac{30.25}{0.5} = 60.5 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

بعد العصفور عن أنيس هو

AB=60.5 mAB = 60.5 \text{ m}

الجزء الثاني (II)

دينا السلم SR=5 mSR = 5 \text{ m} والجدار العمودي SN=4 mSN = 4 \text{ m} والمثلث SNRSNR قائم في NN.

1/ حساب الطول RNRN (المسافة بين بداية السلم والجدار):

بتطبيق خاصية فيثاغورس على المثلث SNRSNR القائم في NN:

SR2=SN2+RN2SR^2 = SN^2 + RN^2
52=42+RN25^2 = 4^2 + RN^2
25=16+RN225 = 16 + RN^2
RN2=25−16=9RN^2 = 25 - 16 = 9
RN=9=3 mRN = \sqrt{9} = 3 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:
RN=3 mRN = 3 \text{ m}

2/ حساب قيس الزاوية NRS^\widehat{NRS} (بالتدوير إلى الوحدة):

في المثلث SNRSNR القائم في NN:

cos⁡NRS^=الضلع المجاورالوتر=RNSR=35=0.6\cos \widehat{NRS} = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{RN}{SR} = \frac{3}{5} = 0.6

باستعمال الآلة الحاسبة (cos⁡−1(0.6)\cos^{-1}(0.6)):

NRS^≈53.13∘\widehat{NRS} \approx 53.13^\circ

بالتدوير إلى الوحدة:

NRS^≈53∘\widehat{NRS} \approx 53^\circ
✅الإجابة النموذجية:
NRS^≈53∘\widehat{NRS} \approx 53^\circ

الجزء الثالث (III)

نعلم أن KK نقطة من القطعة [SR][SR] و TT نقطة من القطعة [NR][NR].

بما أن الجدار وقطعة الخشب عموديان على الأرض، فإن (KT)∥(SN)(KT) \parallel (SN).

معطى:

KSSR=35\frac{KS}{SR} = \frac{3}{5}

نعلم أن النقط S,K,RS, K, R في استقامية، وبالتالي:

RK=SR−KSRK = SR - KS

بقسمة الطرفين على SRSR:

RKSR=SR−KSSR=1−KSSR=1−35=25\frac{RK}{SR} = \frac{SR - KS}{SR} = 1 - \frac{KS}{SR} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث SNRSNR حيث (KT)∥(SN)(KT) \parallel (SN):

RKRS=KTSN\frac{RK}{RS} = \frac{KT}{SN}

بالتعويض العددي:

25=KT4\frac{2}{5} = \frac{KT}{4}
KT=2×45=85=1.6 mKT = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

ارتفاع القطعة الخشبية KK عن سطح الأرض هو

KT=1.6 mKT = 1.6 \text{ m}