📚
الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 71 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الحل النموذجي المعتمد والشامل
المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
أ) إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 2019 و 123: PGCD ( 2019 , 123 ) \text{PGCD}(2019, 123) PGCD ( 2019 , 123 )
نعلم أن القاسم المشترك الأكبر يُحسب باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):
2019 = 123 × 16 + 51 2019 = 123 \times 16 + 51 2019 = 123 × 16 + 51
123 = 51 × 2 + 21 123 = 51 \times 2 + 21 123 = 51 × 2 + 21
51 = 21 × 2 + 9 51 = 21 \times 2 + 9 51 = 21 × 2 + 9
21 = 9 × 2 + 3 21 = 9 \times 2 + 3 21 = 9 × 2 + 3
9 = 3 × 3 + 0 9 = 3 \times 3 + 0 9 = 3 × 3 + 0
آخر باقي غير معدوم هو العدد 3 3 3
PGCD ( 2019 , 123 ) = 3 \text{PGCD}(2019, 123) = 3 PGCD ( 2019 , 123 ) = 3
ب) كتابة الكسر 2019 123 \frac{2019}{123} 123 2019
لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للإختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD ( 2019 , 123 ) = 3 \text{PGCD}(2019, 123) = 3 PGCD ( 2019 , 123 ) = 3
2019 123 = 2019 ÷ 3 123 ÷ 3 = 673 41 \frac{2019}{123} = \frac{2019 \div 3}{123 \div 3} = \frac{673}{41} 123 2019 = 123 ÷ 3 2019 ÷ 3 = 41 673
2019 123 = 673 41 \frac{2019}{123} = \frac{673}{41} 123 2019 = 41 673
1- إيجاد الرقم السري الأول (A A A
A = 13 28 + 5 4 ÷ 7 3 A = \frac{13}{28} + \frac{5}{4} \div \frac{7}{3} A = 28 13 + 4 5 ÷ 3 7
نُطبق أولويات العمليات (أولية القسمة أولاً، حيث نحول القسمة إلى ضرب في المقلوب):
5 4 ÷ 7 3 = 5 4 × 3 7 = 15 28 \frac{5}{4} \div \frac{7}{3} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{28} 4 5 ÷ 3 7 = 4 5 × 7 3 = 28 15
ثم ننجز عملية الجمع:
A = 13 28 + 15 28 = 13 + 15 28 = 28 28 = 1 A = \frac{13}{28} + \frac{15}{28} = \frac{13 + 15}{28} = \frac{28}{28} = 1 A = 28 13 + 28 15 = 28 13 + 15 = 28 28 = 1
2- إيجاد الرقم السري الثاني (B B B
B = 2 32 − 50 − 3 2 B = 2\sqrt{32} - \sqrt{50} - 3\sqrt{2} B = 2 32 − 50 − 3 2
نقوم بنشر وتحليل الجذور التربيعية إلى الجداء a b a\sqrt{b} a b
32 = 16 × 2 = 4 2 \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} 32 = 16 × 2 = 4 2
50 = 25 × 2 = 5 2 \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} 50 = 25 × 2 = 5 2
نعوض في العبارة B B B
B = 2 ( 4 2 ) − 5 2 − 3 2 B = 2(4\sqrt{2}) - 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} B = 2 ( 4 2 ) − 5 2 − 3 2
B = 8 2 − 5 2 − 3 2 B = 8\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} B = 8 2 − 5 2 − 3 2
B = ( 8 − 5 − 3 ) 2 = 0 2 = 0 B = (8 - 5 - 3)\sqrt{2} = 0\sqrt{2} = 0 B = ( 8 − 5 − 3 ) 2 = 0 2 = 0
3- إيجاد الرقم السري الثالث (C C C
C = 32 2 C = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} C = 2 32
باستعمال خواص الجذور التربيعية a b = a b \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} b a = b a
C = 32 2 = 16 = 4 C = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4 C = 2 32 = 16 = 4
4- إيجاد الرقم السري الرابع (D D D
4 + x 2 = 85 4 + x^2 = 85 4 + x 2 = 85
نعزل المجهول x 2 x^2 x 2
x 2 = 85 − 4 x^2 = 85 - 4 x 2 = 85 − 4
المعادلة تقبل حلين هما:
x = 81 = 9 أو x = − 81 = − 9 x = \sqrt{81} = 9 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{81} = -9 x = 81 = 9 أو x = − 81 = − 9
بما أن الرقم السري D D D الموجب للمعادلة:
الرقم السري الكامل لفتح شاشة الهاتف المتكون من الأرقام A , B , C , D A, B, C, D A , B , C , D 1049 .
لتكن العبارة:
E = ( 2 x + 5 ) 2 + 4 ( 2 x + 5 ) E = (2x + 5)^2 + 4(2x + 5) E = ( 2 x + 5 ) 2 + 4 ( 2 x + 5 )
1) التحقق بالنشر والتبسيط أن: E = 4 x 2 + 28 x + 45 E = 4x^2 + 28x + 45 E = 4 x 2 + 28 x + 45
نقتنع بنشر الطرف الأول باستخدام المتطابقة الشهيرة الأولى ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
نشر
( 2 x + 5 ) 2 (2x + 5)^2 ( 2 x + 5 ) 2 :
( 2 x + 5 ) 2 = ( 2 x ) 2 + 2 ( 2 x ) ( 5 ) + 5 2 = 4 x 2 + 20 x + 25 (2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25 ( 2 x + 5 ) 2 = ( 2 x ) 2 + 2 ( 2 x ) ( 5 ) + 5 2 = 4 x 2 + 20 x + 25
نشر
4 ( 2 x + 5 ) 4(2x + 5) 4 ( 2 x + 5 ) :
4 ( 2 x + 5 ) = 4 × 2 x + 4 × 5 = 8 x + 20 4(2x + 5) = 4 \times 2x + 4 \times 5 = 8x + 20 4 ( 2 x + 5 ) = 4 × 2 x + 4 × 5 = 8 x + 20
تجميع الأطراف وتبسيطها:
E = ( 4 x 2 + 20 x + 25 ) + ( 8 x + 20 ) E = (4x^2 + 20x + 25) + (8x + 20) E = ( 4 x 2 + 20 x + 25 ) + ( 8 x + 20 )
E = 4 x 2 + ( 20 x + 8 x ) + ( 25 + 20 ) E = 4x^2 + (20x + 8x) + (25 + 20) E = 4 x 2 + ( 20 x + 8 x ) + ( 25 + 20 )
E = 4 x 2 + 28 x + 45 E = 4x^2 + 28x + 45 E = 4 x 2 + 28 x + 45 ✅ الإجابة النموذجية:
وهو المطلوب إثباته.
2) تحليل العبارة E E E
لاحظ وجود عامل مشترك ظاهري وهو ( 2 x + 5 ) (2x + 5) ( 2 x + 5 )
E = ( 2 x + 5 ) 2 + 4 ( 2 x + 5 ) E = (2x + 5)^2 + 4(2x + 5) E = ( 2 x + 5 ) 2 + 4 ( 2 x + 5 )
E = ( 2 x + 5 ) [ ( 2 x + 5 ) + 4 ] E = (2x + 5) \left[ (2x + 5) + 4 \right] E = ( 2 x + 5 ) [ ( 2 x + 5 ) + 4 ]
E = ( 2 x + 5 ) ( 2 x + 5 + 4 ) E = (2x + 5) (2x + 5 + 4) E = ( 2 x + 5 ) ( 2 x + 5 + 4 )
E = ( 2 x + 5 ) ( 2 x + 9 ) E = (2x + 5)(2x + 9) E = ( 2 x + 5 ) ( 2 x + 9 )
E = ( 2 x + 5 ) ( 2 x + 9 ) E = (2x + 5)(2x + 9) E = ( 2 x + 5 ) ( 2 x + 9 )
أ) إثبات أن المستقيمين ( C D ) (CD) ( C D ) ( F G ) (FG) ( F G )
النقط C , E , G C, E, G C , E , G D , E , F D, E, F D , E , F
نحسب النسبتين القائمتين من التقاطع E E E
E C E G = 10 8 = 1.25 \frac{EC}{EG} = \frac{10}{8} = 1.25 E G E C = 8 10 = 1.25
E D E F = 7.5 6 = 1.25 \frac{ED}{EF} = \frac{7.5}{6} = 1.25 E F E D = 6 7.5 = 1.25
نلاحظ أن:
E C E G = E D E F = 1.25 \frac{EC}{EG} = \frac{ED}{EF} = 1.25 E G E C = E F E D = 1.25
وبما أن النقط C , E , G C, E, G C , E , G D , E , F D, E, F D , E , F الخاصية العكسية لخاصية طاليس ، فإن المستقيمين ( C D ) (CD) ( C D ) ( F G ) (FG) ( F G )
( C D ) ∥ ( F G ) (CD) \parallel (FG) ( C D ) ∥ ( F G )
ب) حساب cos A B C ^ \cos \widehat{ABC} cos A B C A B C ^ \widehat{ABC} A B C
في المثلث A B C ABC A B C A A A
cos A B C ^ = الضلع المجاور الوتر = A B B C \cos \widehat{ABC} = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AB}{BC} cos A B C = الوتر الضلع المجاور = B C A B
بالتعوض بالقيم العدادية:
cos A B C ^ = 12 15 = 0.8 \cos \widehat{ABC} = \frac{12}{15} = 0.8 cos A B C = 15 12 = 0.8
استنتاج قيس الزاوية A B C ^ \widehat{ABC} A B C cos − 1 ( 0.8 ) \cos^{-1}(0.8) cos − 1 ( 0.8 )
A B C ^ ≈ 36.87 ∘ \widehat{ABC} \approx 36.87^\circ A B C ≈ 36.8 7 ∘
بالتدوير إلى الوحدة:
A B C ^ ≈ 37 ∘ \widehat{ABC} \approx 37^\circ A B C ≈ 3 7 ∘
cos A B C ^ = 0.8 و A B C ^ ≈ 37 ∘ \cos \widehat{ABC} = 0.8 \quad \text{و} \quad \widehat{ABC} \approx 37^\circ cos A B C = 0.8 و A B C ≈ 3 7 ∘
تطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث A B C ABC A B C A A A
B C 2 = A B 2 + A C 2 BC^2 = AB^2 + AC^2 B C 2 = A B 2 + A C 2
15 2 = 12 2 + A C 2 15^2 = 12^2 + AC^2 1 5 2 = 1 2 2 + A C 2
225 = 144 + A C 2 225 = 144 + AC^2 225 = 144 + A C 2
A C 2 = 225 − 144 = 81 AC^2 = 225 - 144 = 81 A C 2 = 225 − 144 = 81
A C = 81 = 9 cm AC = \sqrt{81} = 9 \text{ cm} A C = 81 = 9 cm
A C = 9 cm AC = 9 \text{ cm} A C = 9 cm
الجزء الأول (I)
ارتفاع سطح المنزل عن سطح الأرض =
4 m 4 \text{ m} 4 m .
ارتفاع عيني أنيس عن سطح المنزل =
1.75 m 1.75 \text{ m} 1.75 m .
إذن، الارتفاع الكلي لعيني أنيس عن سطح الأرض =
4 + 1.75 = 5.75 m 4 + 1.75 = 5.75 \text{ m} 4 + 1.75 = 5.75 m .
ارتفاع العصفور عن سطح الأرض =
36 m 36 \text{ m} 36 m .
الطول B C BC B C
B C = 36 − 5.75 = 30.25 m BC = 36 - 5.75 = 30.25 \text{ m} B C = 36 − 5.75 = 30.25 m
B C = 30.25 m BC = 30.25 \text{ m} B C = 30.25 m
2/ حساب الطول A B AB A B في المثلث A B C ABC A B C C C C α = 30 ∘ \alpha = 30^\circ α = 3 0 ∘
sin ( α ) = الضلع المقابل الوتر = B C A B \sin(\alpha) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AB} sin ( α ) = الوتر الضلع المقابل = A B B C
sin ( 30 ∘ ) = 30.25 A B \sin(30^\circ) = \frac{30.25}{AB} sin ( 3 0 ∘ ) = A B 30.25
نعلم أن sin ( 30 ∘ ) = 0.5 \sin(30^\circ) = 0.5 sin ( 3 0 ∘ ) = 0.5
0.5 = 30.25 A B ⟹ A B = 30.25 0.5 = 60.5 m 0.5 = \frac{30.25}{AB} \implies AB = \frac{30.25}{0.5} = 60.5 \text{ m} 0.5 = A B 30.25 ⟹ A B = 0.5 30.25 = 60.5 m بعد العصفور عن أنيس هو
A B = 60.5 m AB = 60.5 \text{ m} A B = 60.5 m
الجزء الثاني (II)
دينا السلم S R = 5 m SR = 5 \text{ m} S R = 5 m S N = 4 m SN = 4 \text{ m} S N = 4 m S N R SNR S N R N N N
1/ حساب الطول R N RN R N بتطبيق خاصية فيثاغورس على المثلث S N R SNR S N R N N N
S R 2 = S N 2 + R N 2 SR^2 = SN^2 + RN^2 S R 2 = S N 2 + R N 2
5 2 = 4 2 + R N 2 5^2 = 4^2 + RN^2 5 2 = 4 2 + R N 2
25 = 16 + R N 2 25 = 16 + RN^2 25 = 16 + R N 2
R N 2 = 25 − 16 = 9 RN^2 = 25 - 16 = 9 R N 2 = 25 − 16 = 9
R N = 9 = 3 m RN = \sqrt{9} = 3 \text{ m} R N = 9 = 3 m
R N = 3 m RN = 3 \text{ m} R N = 3 m
2/ حساب قيس الزاوية N R S ^ \widehat{NRS} N R S في المثلث S N R SNR S N R N N N
cos N R S ^ = الضلع المجاور الوتر = R N S R = 3 5 = 0.6 \cos \widehat{NRS} = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{RN}{SR} = \frac{3}{5} = 0.6 cos N R S = الوتر الضلع المجاور = S R R N = 5 3 = 0.6
باستعمال الآلة الحاسبة (cos − 1 ( 0.6 ) \cos^{-1}(0.6) cos − 1 ( 0.6 )
N R S ^ ≈ 53.13 ∘ \widehat{NRS} \approx 53.13^\circ N R S ≈ 53.1 3 ∘
بالتدوير إلى الوحدة:
N R S ^ ≈ 53 ∘ \widehat{NRS} \approx 53^\circ N R S ≈ 5 3 ∘
N R S ^ ≈ 53 ∘ \widehat{NRS} \approx 53^\circ N R S ≈ 5 3 ∘
الجزء الثالث (III)
نعلم أن K K K [ S R ] [SR] [ S R ] T T T [ N R ] [NR] [ N R ]
بما أن الجدار وقطعة الخشب عموديان على الأرض، فإن ( K T ) ∥ ( S N ) (KT) \parallel (SN) ( K T ) ∥ ( S N )
معطى:
K S S R = 3 5 \frac{KS}{SR} = \frac{3}{5} S R K S = 5 3
نعلم أن النقط S , K , R S, K, R S , K , R
R K = S R − K S RK = SR - KS R K = S R − K S
بقسمة الطرفين على S R SR S R
R K S R = S R − K S S R = 1 − K S S R = 1 − 3 5 = 2 5 \frac{RK}{SR} = \frac{SR - KS}{SR} = 1 - \frac{KS}{SR} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} S R R K = S R S R − K S = 1 − S R K S = 1 − 5 3 = 5 2
بتطبيق خاصية طاليس في المثلث S N R SNR S N R ( K T ) ∥ ( S N ) (KT) \parallel (SN) ( K T ) ∥ ( S N )
R K R S = K T S N \frac{RK}{RS} = \frac{KT}{SN} R S R K = S N K T
بالتعويض العددي:
2 5 = K T 4 \frac{2}{5} = \frac{KT}{4} 5 2 = 4 K T
K T = 2 × 4 5 = 8 5 = 1.6 m KT = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \text{ m} K T = 5 2 × 4 = 5 8 = 1.6 m ارتفاع القطعة الخشبية K K K
K T = 1.6 m KT = 1.6 \text{ m} K T = 1.6 m