Sujet n° 70 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2020Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 70

Solution IA2020

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 70 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول (3 نقاط)

1) كتابة العبارة $A$ كتابة علمية مع إبراز خطوات الحل:

العبارة المعطاة:

A = \frac{0.8 \times (10^2)^{-3} \times 0.7 \times 10^{10}}{2 \times 10^2}

نقوم بجمع الأعداد العشرية معاً وقوى العدد 10 معاً في البسط:

تبسيط البسط:

0.8 \times 0.7 = 0.56

(10^2)^{-3} \times 10^{10} = 10^{-6} \times 10^{10} = 10^{-6 + 10} = 10^4

إذن البسط يصبح: $0.56 \times 10^4$

قسمة البسط على المقام:

A = \frac{0.56 \times 10^4}{2 \times 10^2} = \left(\frac{0.56}{2}\right) \times \left(\frac{10^4}{10^2}\right) = 0.28 \times 10^{4-2} = 0.28 \times 10^2

تحويل النتيجة إلى الكتابة العلمية (كتابة العدد على شكل

a \times 10^n

حيث

1 \leq |a| < 10

0.28 = 2.8 \times 10^{-1}

A = (2.8 \times 10^{-1}) \times 10^2 = 2.8 \times 10^1 = 28

✅الإجابة النموذجية:

الكتابة العلمية للعبارة $A$ هي: $A = 2.8 \times 10^1$ (أو $2.8 \times 10$ ).

2) حساب العبارة $B$ مع شرح خطوات الحل:

العبارة المعطاة:

B = \frac{-4}{3} \div \left( \frac{7}{2} - \frac{11}{4} \times \frac{1}{2} - \frac{15}{8} \right)

🔹 الخطوة 1: أولوية الحساب لما بين القوسين، مع البدء بعملية الضرب داخل القوسين:

\frac{11}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{11 \times 1}{4 \times 2} = \frac{11}{8}

🔹 الخطوة 2: توحيد المقامات داخل القوسين (المقام المشترك هو 8):

\frac{7}{2} - \frac{11}{8} - \frac{15}{8} = \frac{7 \times 4}{2 \times 4} - \frac{11}{8} - \frac{15}{8} = \frac{28}{8} - \frac{11}{8} - \frac{15}{8}

= \frac{28 - 11 - 15}{8} = \frac{28 - 26}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

🔹 الخطوة 3: إنجاز عملية القسمة (القسمة على كسر تعني الضرب في مقلوبه):

B = \frac{-4}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{-4}{3} \times \frac{4}{1} = \frac{-4 \times 4}{3 \times 1} = -\frac{16}{3}

✅الإجابة النموذجية:

قيمة العبارة $B$ في شكل كسر غير قابل للاختزال هي: $B = -\frac{16}{3}$ .

3) تبيان أن $C = 0$ :

العبارة المعطاة:

C = (2\sqrt{5} - 2)^2 + 4(\sqrt{20} - 6)

نشر الجزء الأول باستخدام المتطابقة الشهيرة الثانية

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(2\sqrt{5} - 2)^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(2) + 2^2

= (4 \times 5) - 8\sqrt{5} + 4 = 20 - 8\sqrt{5} + 4 = 24 - 8\sqrt{5}

تبسيط الجزء الثاني:

نعلم أن $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

4(\sqrt{20} - 6) = 4(2\sqrt{5} - 6) = 8\sqrt{5} - 24

تجميع الأطراف لحساب

C

C = (24 - 8\sqrt{5}) + (8\sqrt{5} - 24)

C = 24 - 24 - 8\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = 0

💡إضاءة وتنبيه:

اختزال الأعداد المتعاكسة $24 - 24 = 0$ و $-8\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = 0$ يثبت مباشرة أن النتيجة تساوي صفر.

📌

التمرين الثاني (3 نقاط)

لتكن العبارة:

F = (3x - 2)^2 - 2x(3x - 2)

1) نشر ثم تبسيط العبارة $F$ :

نشر المتطابقة الشهيرة

(3x - 2)^2

(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4

نشر الجداء

-2x(3x - 2)

-2x(3x - 2) = -6x^2 + 4x

تجميع الحدود المتشابهة:

F = (9x^2 - 12x + 4) + (-6x^2 + 4x)

F = (9x^2 - 6x^2) + (-12x + 4x) + 4

F = 3x^2 - 8x + 4

2) تحليل العبارة $F$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

لاحظ وجود العامل المشترك $(3x - 2)$ في حدي العبارة:

F = (3x - 2)(3x - 2) - 2x(3x - 2)

نستخرج $(3x - 2)$ كعامل مشترك:

F = (3x - 2) \left[ (3x - 2) - 2x \right]

F = (3x - 2) (3x - 2x - 2)

F = (3x - 2)(x - 2)

✅الإجابة النموذجية:

التحليل النهائي للعبارة $F$ هو: $F = (3x - 2)(x - 2)$ .

3) حساب $F$ من أجل $x = \frac{2}{3}$ :

نعوض قيمة $x = \frac{2}{3}$ في عبارة التحليل:

F = \left( 3 \times \frac{2}{3} - 2 \right) \left( \frac{2}{3} - 2 \right)

F = (2 - 2) \left( \frac{2}{3} - \frac{6}{3} \right)

F = 0 \times \left( -\frac{4}{3} \right) = 0

💡إضاءة وتنبيه:

التعويض في العبارة المحللة أسهل وأسرع دائماً، لأن القيمة $x = \frac{2}{3}$ تجعل أحد العاملين مساوياً للصفر.

📌

التمرين الثالث (3 نقاط)

من معطيات الشكل والشفرات الموضوعة على الضلع $[AC]$ :

المثلث

ABC

قائم في

C

BC = 4 \text{ cm}

القطعة

[AC]

مقسمة إلى 3 أجزاء متساوية بواسطة التشفير، طول كل جزء منها هو

2 \text{ cm}

، وبالتالي فإن:

AC = 3 \times 2 = 6 \text{ cm} \quad \text{و} \quad AM = 2 \text{ cm}

1) حساب $AB$ بالقيمة المضبوطة:

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $C$ ، فحسب نظرية فيثاغورس:

AB^2 = AC^2 + BC^2

AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52

AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المضبوطة للطول $AB$ هي: $AB = \sqrt{52} \text{ cm}$ أو $2\sqrt{13} \text{ cm}$ .

2) حساب $\tan \hat{A}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\hat{A}$ بالتدوير إلى الوحدة:

حساب الظل:

\tan \hat{A} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.6667

استنتاج قيس الزاوية

\hat{A}

باستعمال الآلة الحاسبة ( $\tan^{-1}(2/3)$ ):

\hat{A} \approx 33.69^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

\hat{A} \approx 34^\circ

3) حساب $MD$ بتقريب $0,1$ بالنقصان:

في المثلث $ADM$ القائم في $D$ :

\sin \hat{A} = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{MD}{AM}

وفي المثلث الكبير $ABC$ القائم في $C$ :

\sin \hat{A} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{\sqrt{52}}

بالتالي:

\frac{MD}{AM} = \frac{BC}{AB} \implies \frac{MD}{2} = \frac{4}{\sqrt{52}}

MD = \frac{2 \times 4}{\sqrt{52}} = \frac{8}{\sqrt{52}} \approx \frac{8}{7.2111} \approx 1.1094 \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

قيمة الطول $MD$ بتقريب $0,1$ بالنقصان هي: $MD \approx 1.1 \text{ cm}$ .

📌

التمرين الرابع (3 نقاط)

معطيات الشكل:

المستقيمان

(MB)

(AD)

يتقاطعان في النقطة

O

أطوال المثلث

OAB

OB = 3 \text{ cm}

AB = 3\sqrt{3} \text{ cm}

OA = 6 \text{ cm}

الطول

OM = 5 \text{ cm}

الزاوية عند الرأس

M

قائمة:

(MD) \perp (MB)

1) تبيان أن المثلث $OAB$ قائم:

نحسب مربع أطوال أضلاع المثلث $OAB$ :

OA^2 = 6^2 = 36

OB^2 + AB^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + (9 \times 3) = 9 + 27 = 36

لاحظ أن:

OB^2 + AB^2 = OA^2

حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $OAB$ قائم في الرأس $B$ .

2) تبيان أن المستقيمين $(AB)$ و $(MD)$ متوازيان:

من النتيجة الأولى: المثلث

OAB

قائم في

B

، إذن المستقيم

(AB)

عمودي على المستقيم

(MB)

(AB) \perp (MB)

من المعطيات الموضحة في الشكل: المستقيم

(MD)

عمودي على المستقيم

(MB)

(MD) \perp (MB)

💡إضاءة وتنبيه:

إذا عمُد مستقيمان على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان حتماً.

بالتالي: $(AB) \parallel (MD)$ .

3) حساب الطولين $OD$ و $MD$ :

بما أن المستقيمين $(MB)$ و $(AD)$ يتقاطعان في $O$ ، والمستقيمين $(AB)$ و $(MD)$ متوازيان، فحسب خاصية طاليس:

\frac{OM}{OB} = \frac{OD}{OA} = \frac{MD}{AB}

بالتعويض بالأطوال المعلومة:

\frac{5}{3} = \frac{OD}{6} = \frac{MD}{3\sqrt{3}}

حساب الطول $OD$ :

OD = \frac{5 \times 6}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{ cm}

حساب الطول $MD$ :

MD = \frac{5 \times 3\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \text{ cm} \approx 8.66 \text{ cm}

📌

الوضعية الإدماجية (8 نقاط)

الجزء الأول:

1) حساب أكبر عدد ممكن من تجار التجزئة وقسمة الغلة:

أكبر عدد من تجار التجزئة الذين يمكنهم شراء هذه الغلة بالتساوي هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 1100 و 605، أي: $\text{PGCD}(1100, 605)$ .

نستعمل خوارزمية الفروق المتتالية أو خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

1100 = 605 \times 1 + 495

605 = 495 \times 1 + 110

495 = 110 \times 4 + 55

110 = 55 \times 2 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 55.

إذن:

\text{PGCD}(1100, 605) = 55

أكبر عدد ممكن من تجار التجزئة هو: 55 تاجراً.

حصة كل تاجر من البطاطا:

1100 \div 55 = 20 \text{ صندوقاً}

حصة كل تاجر من الجزر:

605 \div 55 = 11 \text{ صندوقاً}

الجزء الثاني:

المستودع مستطيل الشكل $ABCD$ أبعاده:

$DC = 40 \text{ m}$ و $BC = 30 \text{ m}$ ، وفيه $EB = 16 \text{ m}$ و $(EF) \parallel (DB)$ .

2) تبيان أن $DB = 50 \text{ m}$ :

المثلث $BCD$ قائم في $C$ لأن الشكل مستطيل.

حسب نظرية فيثاغورس:

DB^2 = DC^2 + BC^2

DB^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500

DB = \sqrt{2500} = 50 \text{ m}

3) حساب الأطوال $AE$ ، $AF$ ، و $EF$ :

حساب الطول $AE$ :

بما أن $E$ نقطة من قطعة الضلع $[AB]$ وطوله $AB = DC = 40 \text{ m}$ :

AE = AB - EB = 40 - 16 = 24 \text{ m}

حساب الطولين $AF$ و $EF$ :

في المثلث $ABD$ ، لدينا $E \in [AB]$ و $F \in [AD]$ ، والمستقيمان $(EF)$ و $(DB)$ متوازيان.

حسب خاصية طاليس:

\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AD} = \frac{EF}{DB}

نعوض القيم المعلومة ( $AD = BC = 30 \text{ m}$ ):

\frac{24}{40} = \frac{AF}{30} = \frac{EF}{50}

نسبة التناظر هي: $\frac{24}{40} = 0.6$

حساب

AF

AF = 30 \times 0.6 = 18 \text{ m}

حساب

EF

EF = 50 \times 0.6 = 30 \text{ m}

4) حساب قيس الزاوية $\widehat{BDC}$ بالتقريب إلى الوحدة من الدرجة:

في المثلث القائم $BCD$ في $C$ :

\tan(\widehat{BDC}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{BC}{DC} = \frac{30}{40} = 0.75

باستعمال الآلة الحاسبة:

\widehat{BDC} = \arctan(0.75) \approx 36.869^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

\widehat{BDC} \approx 37^\circ

5) حساب مساحة الممر $S_3$ :

مساحة الممر $S_3$ تساوي مساحة المستطيل الكلية $S_{ABCD}$ مطروحاً منها مساحتي المثلثين القائمين $S_1$ و $S_2$ :

مساحة المستطيل الكلية $S_{ABCD}$ :

S_{ABCD} = AB \times BC = 40 \times 30 = 1200 \text{ m}^2

مساحة الجزء $S_1$ (المثلث القائم $AEF$ ):

S_1 = \frac{AE \times AF}{2} = \frac{24 \times 18}{2} = 216 \text{ m}^2

مساحة الجزء $S_2$ (المثلث القائم $BCD$ ):

S_2 = \frac{DC \times BC}{2} = \frac{40 \times 30}{2} = 600 \text{ m}^2

مساحة الممر $S_3$ :

S_3 = S_{ABCD} - (S_1 + S_2)

S_3 = 1200 - (216 + 600) = 1200 - 816 = 384 \text{ m}^2

✅الإجابة النموذجية:

مساحة الممر $S_3$ هي: $384 \text{ m}^2$ .

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

Afficher

Télécharger le sujet PDF666 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2020)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 70 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 70 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول (3 نقاط)

1) كتابة العبارة AAA كتابة علمية مع إبراز خطوات الحل:

2) حساب العبارة BBB مع شرح خطوات الحل:

3) تبيان أن C=0C = 0C=0:

التمرين الثاني (3 نقاط)

1) نشر ثم تبسيط العبارة FFF:

2) تحليل العبارة FFF إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3) حساب FFF من أجل x=23x = \frac{2}{3}x=32​:

التمرين الثالث (3 نقاط)

1) حساب ABABAB بالقيمة المضبوطة:

2) حساب tan⁡A^\tan \hat{A}tanA^ ثم استنتاج قيس الزاوية A^\hat{A}A^ بالتدوير إلى الوحدة:

3) حساب MDMDMD بتقريب 0,10,10,1 بالنقصان:

التمرين الرابع (3 نقاط)

1) تبيان أن المثلث OABOABOAB قائم:

2) تبيان أن المستقيمين (AB)(AB)(AB) و (MD)(MD)(MD) متوازيان:

3) حساب الطولين ODODOD و MDMDMD:

الوضعية الإدماجية (8 نقاط)

الجزء الأول:

1) حساب أكبر عدد ممكن من تجار التجزئة وقسمة الغلة:

الجزء الثاني:

2) تبيان أن DB=50 mDB = 50 \text{ m}DB=50 m:

3) حساب الأطوال AEAEAE، AFAFAF، و EFEFEF:

4) حساب قيس الزاوية BDC^\widehat{BDC}BDC بالتقريب إلى الوحدة من الدرجة:

5) حساب مساحة الممر S3S_3S3​:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1) كتابة العبارة $A$ كتابة علمية مع إبراز خطوات الحل:

2) حساب العبارة $B$ مع شرح خطوات الحل:

3) تبيان أن $C = 0$ :

1) نشر ثم تبسيط العبارة $F$ :

2) تحليل العبارة $F$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3) حساب $F$ من أجل $x = \frac{2}{3}$ :

1) حساب $AB$ بالقيمة المضبوطة:

2) حساب $\tan \hat{A}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\hat{A}$ بالتدوير إلى الوحدة:

3) حساب $MD$ بتقريب $0,1$ بالنقصان:

1) تبيان أن المثلث $OAB$ قائم:

2) تبيان أن المستقيمين $(AB)$ و $(MD)$ متوازيان:

3) حساب الطولين $OD$ و $MD$ :

2) تبيان أن $DB = 50 \text{ m}$ :

3) حساب الأطوال $AE$ ، $AF$ ، و $EF$ :

4) حساب قيس الزاوية $\widehat{BDC}$ بالتقريب إلى الوحدة من الدرجة:

5) حساب مساحة الممر $S_3$ :