عند تبسيط سلاسل العمليات تتضمن كسرين أو أكثر، تُعطى الأولوية لحساب عمليات الضرب والقسمة قبل الجمع والطرح، مع مراعاة اختزال الكسور إن أمكن لتسهيل الحسابات.

نبدأ بأداء عمليتي الضرب والقسمة:

نختزل بتفكيك الأعداد:

نعوض النواتج في العبارة $M$:

نوحد المقامات:

قِيمَة العدد $M$ هِي: $M = 3$ (وهو يمثل الشهر: شهر مارس).

نفصل الأعداد العشرية عن القوى:

قِيمَة العدد $J$ هِي: $J = 14$ (وهو يوافق اليوم: 14).

اليوم العالمي للرياضيات هو: 14 مارس (14/03).

العبارة:

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذر إلى حاصل ضرب عدد مربع تام في $3$:

نعوض في العبارة:

كتابة العدد $A$ على الشكل $a\sqrt{3}$ هي: $A = 45\sqrt{3}$ (حيث $a = 45$).

العبارة:

لجعْل المقام عدداً ناطقاً، نضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي الموجود في المقام وهو $\sqrt{2}$:

بالنشر في البسط والتطبيـق في المقام:

النسبة بمقام عدد ناطق هي: $B = \frac{3\sqrt{2} + 2}{6}$.

لتكن العبارة:

نفتح القوس الأول باستخدام المتطابقة الشهيرة الثانية $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

ننشر القوسين الثانيين:

نعوض في العبارة $E$:

نقوم بحذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود داخل القوس الثاني المتصوع بإشارة ناقص:

نجمع الحدود المتشابهة:

تبسيط العبارة $E$ هو: $E = 5x^2 - 53x + 30$.

نلاحظ أن عامل المشترك الأكبر بين الحدين هو $(5x - 3)$:

التحليل النهائي للعبارة $E$ هو: $E = (5x - 3)(x - 10)$.

معادلة الجداء المعدوم:

للمعادلة حلان هما: $x = \frac{3}{5}$ و $x = 10$.

بإلغاء الحد $5x^2$ من الطرفين:

ننقل المجاهيل في طرف والمعاليم في طرف:

عند القسمة على عدد سالب (وهو $-50$) يتغيّر اتجاه المتباينة من ($\le$) إلى ($\ge$).

حلول المتراجحة هي كل أعداد $x$ الأكبر من أو تساوي $\frac{23}{50}$.

نسطر مستقيماً مدرجاً، ونعين عليه النقطة ذات الفاصلة $\frac{23}{50}$:

```text

الحلول المعنية (مقبولة)

[=========================

------|------------|-------------------------

0 23/50

```

(العارضة تتجه نحو الجهة المقبولة للحلول لأن الرمز يُحتوي على التساوي $\ge$).

بما أن أحمد ترك مدخلاً طوله $3\text{ m}$:

ثمن السياج هو $20850 \text{ DA}$.

لكي تكون المسافة بين كل عمودين متتاليين متساوية وأكبر ما يمكن مع إمكانية غرسهما في أركان المستطيل، يجب أن تكون هذه المسافة هي القاسم المشترك الأكبر لعددي بُعدَي قطعة الأرض $\text{PGCD}(120, 90)$.

نحسب $\text{PGCD}(120, 90)$ باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $30$.

إذن: $\text{PGCD}(120, 90) = 30$.

أكبر مسافة يمكن أن تفصل بين كل عمودين متتاليين هي $30 \text{ m}$.

بما أن الأعمدة تُثبت على محيط القطعة كاملاً بالتساوي (بما فيها الأركان):

عدد الأعمدة اللازمة لدعم السياج هو $14 \text{ عموداً}$.

في الشكل المعلن:

بتطبيق خاصية طاليس على المثلث $ACD$:

بما أن النقاط $A, B, C$ في استقامية، والنقاط $A, E, D$ في استقامية بنفس الترتيب، و $(BE) \parallel (CD)$، نستنتج النسب:

نعوض بالقيم المعلومة:

طول سفيان هو $1.6 \text{ m}$.

في المثلث $ADC$ القائم في $D$:

باستعمال الحاسبة ($\arctan(0.8)$ أو $\text{Shift} + \tan$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

قيس الزاوية بالمدور إلى الوحدة هو $39^\circ$.

المسافة بين المصباح ورأس سفيان تمثل طول القطعة $AB$.

في المثلث $AEB$ القائم في $E$، نطبق نظرية فيثاغورس:

بالتدوير إلى الجزء من المائة ($10^{-2}$):

المسافة بين المصباح ورأس سفيان هي $AB \approx 2.56 \text{ m}$.

قالت الاخت إنها "لا تقف موازية لأخيها سفيان". للتأكد من ذلك، نتحقق من توازي المستقيمين $(FG)$ و $(EB)$.

من الشكل الثاني لدينا المعطيات التالية:

نستعمل الخاصية العكسية لخاصية طاليس بالمقارنة بين النسبتين:

1. النسبة الأولى:

2. النسبة الثانية:

نلاحظ أن:

وبما أن النقاط $A, F, E$ والنقاط $A, G, B$ تقع في استقامية وبنفس الترتيب، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(FG)$ و $(EB)$ متوازيان تماماً.

بما أن المستقيمين $(FG)$ و $(EB)$ متوازيان، فهذا يعني أن أخت سفيان تقف في وضعية موازية تماماً لأخيها سفيان، وبالتالي فإن ادعاءها بأنها "لا تقف موازية لأخيها" هو ادعاء غير صحيح.