Sujet n° 83 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2021Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 83

Solution IA2021

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 83 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (03 نقاط)

1) كتابة $A$ و $B$ على أسط شكل ممكن:

تبسيط العدد $A$ :

A = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}

✅الإجابة النموذجية:

A = 4\sqrt{5}

تبسيط العدد $B$ :

B = 3\sqrt{20} + 2\sqrt{27} - \sqrt{45}

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عوامل أحدهما مربع تام:

B = 3\sqrt{4 \times 5} + 2\sqrt{9 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}

B = 3 \times 2\sqrt{5} + 2 \times 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}

B = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{5}

نجمع الحدود المتشابهة:

B = (6 - 3)\sqrt{5} + 6\sqrt{3} = 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

B = 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}

2) تبسيط كل من $A \times B$ و $B^2$ :

تبسيط الجداء $A \times B$ :

A \times B = 4\sqrt{5} \times \left( 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3} \right)

باستعمال خاصية التوزيع:

A \times B = (4\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}) + (4\sqrt{5} \times 6\sqrt{3})

A \times B = (12 \times 5) + (24\sqrt{5 \times 3}) = 60 + 24\sqrt{15}

✅الإجابة النموذجية:

A \times B = 60 + 24\sqrt{15}

تبسيط $B^2$ :

B^2 = \left( 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3} \right)^2

باستعمال المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

B^2 = \left(3\sqrt{5}\right)^2 + 2 \times \left(3\sqrt{5}\right) \times \left(6\sqrt{3}\right) + \left(6\sqrt{3}\right)^2

B^2 = (9 \times 5) + (36\sqrt{15}) + (36 \times 3)

B^2 = 45 + 36\sqrt{15} + 108 = 153 + 36\sqrt{15}

✅الإجابة النموذجية:

B^2 = 153 + 36\sqrt{15}

3) جعل مقام النسبة $D = \frac{B}{A}$ عدداً ناطقاً:

D = \frac{3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}}{4\sqrt{5}}

نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي للمقام وهو $\sqrt{5}$ :

D = \frac{(3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{3 \times 5}}{4 \times 5}

D = \frac{3 \times 5 + 6\sqrt{15}}{20} = \frac{15 + 6\sqrt{15}}{20}

✅الإجابة النموذجية:

D = \frac{15 + 6\sqrt{15}}{20}

4) إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $D$ :

نحسب القيمة العشريّة للعدد $D$ :

\sqrt{15} \approx 3.87298

D = \frac{15 + 6(3.87298)}{20} = \frac{15 + 23.2379}{20} = \frac{38.2379}{20} \approx 1.91189

💡إضاءة وتنبيه:

التقريب بالنقصان إلى $\frac{1}{100}$ (أي رقمين بعد الفاصلة) يعني أخذ الرقمين بعد الفاصلة كما هما دون زيادة.

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $D$ هي: $1.91$ .

📌

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

العبارة المعطاة:

E = (2x + 1)(x - 5) - (2x + 1)^2

نشر الحد الأول

(2x + 1)(x - 5)

(2x + 1)(x - 5) = 2x^2 - 10x + x - 5 = 2x^2 - 9x - 5

نشر الحد الثاني

(2x + 1)^2

(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1

التجميع والتبسيط:

E = (2x^2 - 9x - 5) - (4x^2 + 4x + 1)

E = 2x^2 - 9x - 5 - 4x^2 - 4x - 1

E = (2x^2 - 4x^2) + (-9x - 4x) + (-5 - 1)

E = -2x^2 - 13x - 6

✅الإجابة النموذجية:

E = -2x^2 - 13x - 6

2) حساب قيمة $E$ من أجل $x = 0$ و $x = \sqrt{3}$ :

من أجل $x = 0$ :

E = -2(0)^2 - 13(0) - 6 = 0 - 0 - 6 = -6

✅الإجابة النموذجية:

من أجل $x = 0$ ، قيمة العبارة هي: $-6$ .

من أجل $x = \sqrt{3}$ :

E = -2(\sqrt{3})^2 - 13(\sqrt{3}) - 6

E = -2(3) - 13\sqrt{3} - 6 = -6 - 13\sqrt{3} - 6 = -12 - 13\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

من أجل $x = \sqrt{3}$ ، قيمة العبارة هي: $-12 - 13\sqrt{3}$ .

3) تحليل العبارة $E$ إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى ثم حل المعادلة $E = 0$ :

تحليل العبارة $E$ :

E = (2x + 1)(x - 5) - (2x + 1)^2

نلاحظ وجود العامل المشترك $(2x + 1)$ :

E = (2x + 1) \left[ (x - 5) - (2x + 1) \right]

E = (2x + 1) (x - 5 - 2x - 1)

E = (2x + 1) (-x - 6)

✅الإجابة النموذجية:

E = (2x + 1)(-x - 6)

حل المعادلة $E = 0$ :

(2x + 1)(-x - 6) = 0

هذا يعني أن:

أما $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$

أو $-x - 6 = 0 \implies -x = 6 \implies x = -6$

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: $x = -\frac{1}{2}$ و $x = -6$ .

4) حل المعادلة $E = -2x^2 + 30$ :

نعوض العبارة المبسطة لـ $E$ :

-2x^2 - 13x - 6 = -2x^2 + 30

نضيف $2x^2$ للطرفين:

-13x - 6 = 30

-13x = 30 + 6

-13x = 36 \implies x = -\frac{36}{13}

✅الإجابة النموذجية:

حل المعادلة هو: $x = -\frac{36}{13}$ .

📌

التمرين الثالث: (03 نقاط)

من معطيات الشكل:

المثلث

ADC

قائم في

D

فيه:

AD = 8 \text{ cm}

DC = 15 \text{ cm}

النقاط

A, O, C

على استقامة واحدة حيث

OC = 10 \text{ cm}

النقاط

B, O, D

على استقامة واحدة حيث

OD = 8 \text{ cm}

OB = 5.6 \text{ cm}

1) حساب الطول $AC$ :

المثلث $ADC$ قائم في $D$ ، بتطبيق خاصية فيثاغورس نجد:

AC^2 = AD^2 + DC^2

AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289

AC = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

الطول $AC$ يساوي $17 \text{ cm}$ .

2) تبيان أن المستقيمين $(DC)$ و $(AB)$ متوازيان:

أولاً، نحسب الطول $OA$ :

بما أن $O$ نقطة من قطعة المستقيم $[AC]$ ، فإن:

OA = AC - OC = 17 - 10 = 7 \text{ cm}

ثانياً، نقارن النسبتين $\frac{OA}{OC}$ و $\frac{OB}{OD}$ :

النسبة الأولى:

\frac{OA}{OC} = \frac{7}{10} = 0.7

النسبة الثانية:

\frac{OB}{OD} = \frac{5.6}{8} = 0.7

نلاحظ أن: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = 0.7$ .

وبما أن النقاط $A, O, C$ والنقاط $B, O, D$ في استقامية وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(DC)$ و $(AB)$ متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان $(DC)$ و $(AB)$ متوازيان.

3) حساب الطول $AB$ :

بما أن المستقيمين $(DC)$ و $(AB)$ متوازيان، فبتطبيق خاصية طاليس في المثلثين المتقابلين بالرأس عند $O$ نجد:

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{DC}

بالتعويض بالقيم:

\frac{7}{10} = \frac{AB}{15}

AB = \frac{7 \times 15}{10} = \frac{105}{10} = 10.5 \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

الطول $AB$ يساوي $10.5 \text{ cm}$ .

4) التعبير عن محيط المثلث $ABC$ بدلالة الطول $BC$ :

محيط المثلث $ABC$ يُرمز له بـ $P$ :

P = AB + AC + BC

نعوض أطوال أضلاعه المعلومة:

P = 10.5 + 17 + BC = 27.5 + BC

✅الإجابة النموذجية:

عبارة محيط المثلث $ABC$ هي: $P = 27.5 + BC$ .

📌

التمرين الرابع: (03 نقاط)

المعطيات: $ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث: $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

1) حساب القيمة المضبوطة لـ $\sin(\widehat{ABC})$ و $\tan(\widehat{ABC})$ :

حساب $\sin(\widehat{ABC})$ :

نستعمل العلاقة المثلثية الأساسية: $\cos^2(\widehat{ABC}) + \sin^2(\widehat{ABC}) = 1$

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sin^2(\widehat{ABC}) = 1

\frac{2}{4} + \sin^2(\widehat{ABC}) = 1 \implies \frac{1}{2} + \sin^2(\widehat{ABC}) = 1

\sin^2(\widehat{ABC}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

\sin(\widehat{ABC}) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

✅الإجابة النموذجية:

\sin(\widehat{ABC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

حساب $\tan(\widehat{ABC})$ :

\tan(\widehat{ABC}) = \frac{\sin(\widehat{ABC})}{\cos(\widehat{ABC})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1

✅الإجابة النموذجية:

\tan(\widehat{ABC}) = 1

2) إيجاد قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ ، ثم قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ :

بما أن

\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

، فباستعمال الآلة الحاسبة (

\cos^{-1}

\widehat{ABC} = 45^\circ

حساب قيس الزاوية

\widehat{ACB}

المثلث $ABC$ قائم في $A$ ، إذن الزاويتان الحادتان متتامتان:

\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية $\widehat{ABC} = 45^\circ$ ، وقيس الزاوية $\widehat{ACB} = 45^\circ$ .

3) تحديد نوع المثلث $ABC$ وحساب مساحته:

نوع المثلث $ABC$ :

بما أن المثلث قائم في $A$ وفيه زاويدتان حادتان متساويتان ( $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45^\circ$ )، فإن الضلعين القائمين متساويان ( $AB = AC$ ).

إذن المثلث $ABC$ قائم ومتساوي الساقين في $A$ .

حساب مساحة المثلث $ABC$ :

نعلم أن $AB = AC = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ .

قانون المساحة للمثلث القائم:

S = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \times 2}{2} = 4 \text{ cm}^2

✅الإجابة النموذجية:

نوع المثلث: قائم ومتساوي الساقين في $A$ .

مساحته تساوي: $4 \text{ cm}^2$ .

📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

الشكل يتكون من:

مستطيل

ABCM

يمثل المدرسة بأبعاد:

AB = MC = 60 \text{ m}

BC = AM = 40 \text{ m}

مثلث قائم

AMD

يمثل الحديقة القائمة في

M

الجزء الأول: نضع $DM = 30 \text{ m}$

1) تبيان أن $AD = 50 \text{ m}$ :

المثلث $AMD$ قائم في $M$ ، نطبق خاصية فيثاغورس:

AD^2 = AM^2 + DM^2

نعوض بالأطوال المعطاة ( $AM = 40 \text{ m}$ ، $DM = 30 \text{ m}$ ):

AD^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500

AD = \sqrt{2500} = 50 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

الطول $AD$ يثبت أنه يساوي $50 \text{ m}$ .

2) حساب $\tan(\widehat{ADM})$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ :

حساب الظل:

\tan(\widehat{ADM}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AM}{DM} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3} \approx 1.333

استنتاج قيس الزاوية بالتدوير إلى $0.1$ من الدرجة:

باستعمال الآلة الحاسبة ( $\tan^{-1}(4/3)$ ):

\widehat{ADM} \approx 53.130^\circ \xrightarrow{\text{التدوير إلى 0.1}} 53.1^\circ

✅الإجابة النموذجية:

$\tan(\widehat{ADM}) = \frac{4}{3}$ ، وقيس الزاوية بالتدوير إلى 0.1 هو $53.1^\circ$ .

3) التحقق من أن $\sin^2(\widehat{ADM}) + \cos^2(\widehat{ADM}) = 1$ :

نحسب نسب الجيب وجيب التمام أولاً:

\sin(\widehat{ADM}) = \frac{AM}{AD} = \frac{40}{50} = 0.8 \implies \sin^2(\widehat{ADM}) = (0.8)^2 = 0.64

\cos(\widehat{ADM}) = \frac{DM}{AD} = \frac{30}{50} = 0.6 \implies \cos^2(\widehat{ADM}) = (0.6)^2 = 0.36

نجمع المربعين:

\sin^2(\widehat{ADM}) + \cos^2(\widehat{ADM}) = 0.64 + 0.36 = 1

✅الإجابة النموذجية:

تم التحقق بنجاح من أن المساواة محققة وتساوي 1.

الجزء الثاني: نضع $DM = x$ (مقاسة بـ $\text{m}$ )

a) التعبير عن $S_1$ مساحة الحديقة بدلالة $x$ :

الحديقة عبارة عن مثلث قائم $AMD$ قاعدته $DM = x$ وارتفاعه $AM = 40 \text{ m}$ :

S_1 = \frac{AM \times DM}{2} = \frac{40 \times x}{2} = 20x

✅الإجابة النموذجية:

S_1 = 20x

b) التعبير عن $S_2$ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة $x$ :

مساحة المستطيل

ABCM

(المدرسة):

S_{\text{مدرسة}} = AB \times BC = 60 \times 40 = 2400 \text{ m}^2

المساحة الكلية

S_2

S_2 = S_1 + S_{\text{مدرسة}} = 20x + 2400

✅الإجابة النموذجية:

S_2 = 20x + 2400

c) إيجاد قيمة $x$ حتى تكون $S_1 = \frac{1}{5} S_2$ :

نصوغ المعادلة:

20x = \frac{1}{5} (20x + 2400)

نضرب الطرفين في 5 للتخلص من الكسر:

100x = 20x + 2400

100x - 20x = 2400

80x = 2400 \implies x = \frac{2400}{80} = 30 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

تكون المساحة $S_1$ مساوية للخمس من المساحة الكلية $S_2$ عندما تكون $x = 30 \text{ m}$ .

الجزء الثالث: غرس الأشجار حول محيط الحديقة

أبعاد الحديقة المثلثة $AMD$ هي: $AM = 40 \text{ m}$ ، $DM = 30 \text{ m}$ ، $AD = 50 \text{ m}$ .

1) أكبر مسافة يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين:

المسافة المتساوية والأكبر بين الأشجار تعبر عن القاسم المشترك الأكبر لأطوال أضلاع المثلث الثلاثة $\text{PGCD}(30, 40, 50)$ .

نحسب القاسم المشترك الأكبر للأعداد

30

40

، و

50

\text{PGCD}(30, 40) = 10

\text{PGCD}(10, 50) = 10

إذن:

\text{PGCD}(30, 40, 50) = 10

✅الإجابة النموذجية:

أكبر مسافة تفصل بين شجرتين متجاورتين هي $10 \text{ m}$ .

2) عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول محيط الحديقة:

نحسب أولاً محيط الحديقة

P

P = AM + DM + AD = 40 + 30 + 50 = 120 \text{ m}

نحسب عدد الأشجار

N

N = \frac{P}{d} = \frac{120}{10} = 12 \text{ شجرة}

✅الإجابة النموذجية:

عدد الأشجار التي يمكن غرسها هو $12 \text{ شجرة}$ .

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

Afficher

Télécharger le sujet PDF621 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2021)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 83 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 83 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (03 نقاط)

1) كتابة AAA و BBB على أسط شكل ممكن:

2) تبسيط كل من A×BA \times BA×B و B2B^2B2:

3) جعل مقام النسبة D=BAD = \frac{B}{A}D=AB​ عدداً ناطقاً:

4) إعطاء القيمة المقربة إلى 1100\frac{1}{100}1001​ بالنقصان للعدد DDD:

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1) نشر وتبسيط العبارة EEE:

2) حساب قيمة EEE من أجل x=0x = 0x=0 و x=3x = \sqrt{3}x=3​:

3) تحليل العبارة EEE إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى ثم حل المعادلة E=0E = 0E=0:

4) حل المعادلة E=−2x2+30E = -2x^2 + 30E=−2x2+30:

التمرين الثالث: (03 نقاط)

1) حساب الطول ACACAC:

2) تبيان أن المستقيمين (DC)(DC)(DC) و (AB)(AB)(AB) متوازيان:

3) حساب الطول ABABAB:

4) التعبير عن محيط المثلث ABCABCABC بدلالة الطول BCBCBC:

التمرين الرابع: (03 نقاط)

1) حساب القيمة المضبوطة لـ sin⁡(ABC^)\sin(\widehat{ABC})sin(ABC) و tan⁡(ABC^)\tan(\widehat{ABC})tan(ABC):

2) إيجاد قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC}ABC، ثم قيس الزاوية ACB^\widehat{ACB}ACB:

3) تحديد نوع المثلث ABCABCABC وحساب مساحته:

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

الجزء الأول: نضع DM=30 mDM = 30 \text{ m}DM=30 m

1) تبيان أن AD=50 mAD = 50 \text{ m}AD=50 m:

2) حساب tan⁡(ADM^)\tan(\widehat{ADM})tan(ADM) ثم استنتاج قيس الزاوية ADM^\widehat{ADM}ADM:

3) التحقق من أن sin⁡2(ADM^)+cos⁡2(ADM^)=1\sin^2(\widehat{ADM}) + \cos^2(\widehat{ADM}) = 1sin2(ADM)+cos2(ADM)=1:

الجزء الثاني: نضع DM=xDM = xDM=x (مقاسة بـ m\text{m}m)

a) التعبير عن S1S_1S1​ مساحة الحديقة بدلالة xxx:

b) التعبير عن S2S_2S2​ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة xxx:

c) إيجاد قيمة xxx حتى تكون S1=15S2S_1 = \frac{1}{5} S_2S1​=51​S2​:

الجزء الثالث: غرس الأشجار حول محيط الحديقة

1) أكبر مسافة يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين:

2) عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول محيط الحديقة:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1) كتابة $A$ و $B$ على أسط شكل ممكن:

2) تبسيط كل من $A \times B$ و $B^2$ :

3) جعل مقام النسبة $D = \frac{B}{A}$ عدداً ناطقاً:

4) إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $D$ :

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

2) حساب قيمة $E$ من أجل $x = 0$ و $x = \sqrt{3}$ :

3) تحليل العبارة $E$ إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى ثم حل المعادلة $E = 0$ :

4) حل المعادلة $E = -2x^2 + 30$ :

1) حساب الطول $AC$ :

2) تبيان أن المستقيمين $(DC)$ و $(AB)$ متوازيان:

3) حساب الطول $AB$ :

4) التعبير عن محيط المثلث $ABC$ بدلالة الطول $BC$ :

1) حساب القيمة المضبوطة لـ $\sin(\widehat{ABC})$ و $\tan(\widehat{ABC})$ :

2) إيجاد قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ ، ثم قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ :

3) تحديد نوع المثلث $ABC$ وحساب مساحته:

الجزء الأول: نضع $DM = 30 \text{ m}$

1) تبيان أن $AD = 50 \text{ m}$ :

2) حساب $\tan(\widehat{ADM})$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ :

3) التحقق من أن $\sin^2(\widehat{ADM}) + \cos^2(\widehat{ADM}) = 1$ :

الجزء الثاني: نضع $DM = x$ (مقاسة بـ $\text{m}$ )

a) التعبير عن $S_1$ مساحة الحديقة بدلالة $x$ :

b) التعبير عن $S_2$ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة $x$ :

c) إيجاد قيمة $x$ حتى تكون $S_1 = \frac{1}{5} S_2$ :