Sujet n° 98 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2022Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 98

Solution IA2022

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 98 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: حساب القاسم المشترك الأكبر والتبسيط

1) تعيين العدد الطبيعي $d$ حيث $d = \text{PGCD}(3150, 1512)$ :

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين، نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس)، حيث يقسم العدد الأكبر على الأصغر للحصول على الباقي، وتتكرر العملية حتى نصل إلى باقي معدوم $0$ ، فيكون آخر باقي غير معدوم هو $\text{PGCD}$ .

نطبق خوارزمية إقليدس للقسمات المتتالية على العددين $3150$ و $1512$ :

3150 = 1512 \times 2 + 126

1512 = 126 \times 12 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $126$ ، فإن:

✅الإجابة النموذجية:

d = \text{PGCD}(3150, 1512) = 126

2) حساب العدد $E$ :

العبارة المعطاة:

E = \frac{3150}{d} + \frac{1512}{d}

نعوض قيمة $d = 126$ في العبارة:

E = \frac{3150}{126} + \frac{1512}{126}

نقوم باختزال الكسرين أو حسابهما مباشرة:

\frac{3150}{126} = 25

\frac{1512}{126} = 12

نعوض النتائج:

E = 25 + 12 = 37

✅الإجابة النموذجية:

E = 37

3) التحقق من أن $(3150 + 1512) \div E = d$ :

نحسب طرف العبارة الأيسر:

\text{الطرف الأيسر} = (3150 + 1512) \div E

أولاً، نجمع العددين داخل القوسين:

3150 + 1512 = 4662

ثانياً، نقسم الناتج على قيمة $E = 37$ :

4662 \div 37 = 126

وبما أن $d = 126$ ، فإن الطرف الأيسر يساوي $d$ .

✅الإجابة النموذجية:

المساواة محققة بالفعل لأن:

(3150 + 1512) \div 37 = 4662 \div 37 = 126 = d

📌

التمرين الثاني: الحسابات على الجذور والأعداد الناطقة والكتابة العلمية

1) كتابة العدد $A$ كتابة علمية:

العبارة:

A = \frac{9 \times 7 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-3}}

💡إضاءة وتنبيه:

الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته على الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري يحوي رقماً واحداً غير معدوم قبل الفاصلة ( $1 \le |a| < 10$ ) و $n$ عدد صحيح نسبي.

نفصل الأعداد عن القوى العشرية:

A = \left( \frac{9 \times 7}{3} \right) \times \left( \frac{10^{-2}}{10^{-3}} \right)

نحسب الجزء العددي:

\frac{63}{3} = 21

نطبق خواص القوى على الجزء العشري:

\frac{10^{-2}}{10^{-3}} = 10^{-2 - (-3)} = 10^{-2 + 3} = 10^1

إذن:

A = 21 \times 10^1 = 210

نكتب العدد $210$ كتابة علمية:

✅الإجابة النموذجية:

A = 2.1 \times 10^2

2) التبيين بالحساب أن $B = -1$ :

العبارة:

B = \frac{3}{7} \times \frac{7}{8} - \frac{11}{8}

نحسب أولوية الجداء أولاً (مع اختزال العدد $7$ من البسط والمقام):

\frac{3}{7} \times \frac{7}{8} = \frac{3 \times 7}{7 \times 8} = \frac{3}{8}

نعوض في العبارة $B$ :

B = \frac{3}{8} - \frac{11}{8}

نطرح الكسرين الموحدين في المقام:

B = \frac{3 - 11}{8} = \frac{-8}{8} = -1

✅الإجابة النموذجية:

B = -1

3) كتابة العدد $C$ على الشكل $a\sqrt{b} + h$ :

العبارة المعطاة:

C = \sqrt{27} + 3\sqrt{48} - 7\sqrt{3} + \sqrt{25}

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء لعددين أحدهما مربع تام:

\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}

3\sqrt{48} = 3\sqrt{16 \times 3} = 3 \times \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 3 \times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}

\sqrt{25} = 5

نعوض هذه التبسيطات في العبارة $C$ :

C = 3\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 5

نجمع الحدود المتشابهة التي تحتوي على $\sqrt{3}$ :

C = (3 + 12 - 7)\sqrt{3} + 5

C = 8\sqrt{3} + 5

✅الإجابة النموذجية:

C = 8\sqrt{3} + 5

حيث: $a = 8$ ، $b = 3$ (أصغر عدد طبيعي ممكن)، و $h = 5$ .

4) كتابة النسبة $D$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

العبارة:

D = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

💡إضاءة وتنبيه:

لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الموجود بالمقام $\sqrt{2}$ ، مع مراعاة توزيع الضرب على الحدود في البسط.

D = \frac{(1 - \sqrt{2}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}

ننشر البسط:

(1 \times \sqrt{2}) - (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 2

والمقام يصبح:

\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2

✅الإجابة النموذجية:

D = \frac{\sqrt{2} - 2}{2}

📌

التمرين الثالث: مقارنة مساحتي شكلين هندسيين

معطيات الشكلين:

المربع: طول ضلعه يساوي

\sqrt{3} + 3

المستطيل: بعداه هما

\sqrt{72} + 3\sqrt{6}

\sqrt{2}

1) حساب مساحة المربع ( $S_1$ ):

مساحة المربع = $(\text{الضلع})^2$

S_1 = (\sqrt{3} + 3)^2

نطبق المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

S_1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times (\sqrt{3}) \times 3 + 3^2

S_1 = 3 + 6\sqrt{3} + 9

S_1 = 12 + 6\sqrt{3} \text{ cm}^2

2) حساب مساحة المستطيل ( $S_2$ ):

مساحة المستطيل = الطول $\times$ العرض

S_2 = (\sqrt{72} + 3\sqrt{6}) \times \sqrt{2}

ننشر الضرب على القوس:

S_2 = (\sqrt{72} \times \sqrt{2}) + (3\sqrt{6} \times \sqrt{2})

نبسط كل حد:

\sqrt{72} \times \sqrt{2} = \sqrt{72 \times 2} = \sqrt{144} = 12

3\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{6 \times 2} = 3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \times 3} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

نعوض النتائج:

S_2 = 12 + 6\sqrt{3} \text{ cm}^2

3) التبيين والمقارنة بين المساحتين:

نلاحظ أن:

S_1 = 12 + 6\sqrt{3} \text{ cm}^2

S_2 = 12 + 6\sqrt{3} \text{ cm}^2

✅الإجابة النموذجية:

بما أن $S_1 = S_2 = 12 + 6\sqrt{3} \text{ cm}^2$ ، فإن للشكلين (المربع والمستطيل) نفس المساحة.

📌

التمرين الرابع: اختبار توازي مستقيمين باستعمال الخاصية العكسية لطالس

في الشكل لدينا المستقيمان $(AC)$ و $(BD)$ متقاطعان في النقطة $E$ .

الأطوال المعطاة هي:

AE = 22 \text{ cm}

EB = 31.4 \text{ cm}

EC = 7 \text{ cm}

ED = 10 \text{ cm}

المطلوب: اختار ما إذا كان المستقيمان $(AB)$ و $(DC)$ متوازيين مع التبرير.

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات أو نفي توازي مستقيمين باستعمال النظرية العكسية لطالس، نقارن بين النسبتين المتناظرتين للقطع المستقيمة المنطلقة من نقطة التقاطع $E$ . إذا كانت النسبتان غير متساويتين، فإن المستقيمين غير متوازيين.

نحسب النسبة الأولى $\frac{AE}{EC}$ :

\frac{AE}{EC} = \frac{22}{7} \approx 3.142857...

نحسب النسبة الثانية $\frac{EB}{ED}$ :

\frac{EB}{ED} = \frac{31.4}{10} = 3.14

نقارن بين النتيجتين:

\frac{22}{7} \neq 3.14

(لأن الكسر $\frac{22}{7}$ يعطي مقرباً قيمته $3.142857$ ، بينما النسبة الثانية تساوي بدقة $3.14$ ).

✅الإجابة النموذجية:

بما أن النقط $A, E, C$ و $B, E, D$ تقع بنفس الترتيب لكن النسبتين غير متساويتين ( $\frac{AE}{EC} \neq \frac{EB}{ED}$ )، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية طالس، المستقيمان $(AB)$ و $(DC)$ غير متوازيين.

📌

الوضعية الإدماجية:

قطعة أرض مستطيلة الشكل أبعادها $CD = 120\text{ m}$ و $BD = 90\text{ m}$ .

قسمت إلى ثلاثة أجزاء:

القطعة 1: لتخزين كل ما تأكله الحيوانات.

القطعة 2: لتربية 285 رأساً من البقر.

القطعة 3: لتربية 798 رأساً من الغنم.

الجزء الأول:

1) حساب أكبر عدد ممكن من العمال للقيام بهذه العملية:

💡إضاءة وتنبيه:

توزيع الحيوانات (285 أبقار و 798 أغنام) إلى فئات متماثلة بحيث يعتني كل عامل بفئة واحدة بأكبر عدد ممكن من العمال يعني البحث عن القاسم المشترك الأكبر لعددي الأبقار والأغنام.

نحسب $\text{PGCD}(798, 285)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

798 = 285 \times 2 + 228

285 = 228 \times 1 + 57

228 = 57 \times 4 + 0

آخر باقي غير معدوم هو $57$ .

✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد ممكن من العمال يمكنه القيام بهذه العملية هو $57$ عاملاً.

2) حساب عدد الأبقـار وعدد الأغنام التي يعتني بها كل عامل:

عدد الأبقار لكل عامل:

\text{عدد الأبقار} = \frac{285}{57} = 5 \text{ بقرات}

عدد الأغنام لكل عامل:

\text{عدد الأغنام} = \frac{798}{57} = 14 \text{ رأساً من الغنم}

✅الإجابة النموذجية:

يعتني كل عامل بـ $5$ أبقار و $14$ رأساً من الغنم.

الجزء الثاني:

الشكل هو مستطيل $ABDC$ فيه:

CD = 120 \text{ m}

(الطول)

BD = 90 \text{ m}

(العرض)

وبما أن الشكل مستطيل، فإن:

AB = CD = 120 \text{ m}

AC = BD = 90 \text{ m}

الزوايا عند الرؤوس قائمة.

1) حساب الطول $CB$ :

في المثلث $BDC$ القائم في $D$ ، نطبق خاصية فيثاغورس:

CB^2 = CD^2 + BD^2

CB^2 = (120)^2 + (90)^2

CB^2 = 14400 + 8100 = 22500

CB = \sqrt{22500} = 150 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

الطول $CB = 150 \text{ m}$ .

2) التبيين أن المستقيمين $(EF)$ و $(BA)$ متوازيان:

من معطيات الشكل، الزاوية عند $E$ قائمة بالنسبة للمستقيم $(AC)$ ، أي أن المستقيم $(EF)$ عمودي على المستقيم $(AC)$ :

(EF) \perp (AC)

وبما أن الأرض مستطيلة الشكل، فإن الضلع $(BA)$ عمودي أيضاً على الضلع $(AC)$ :

(BA) \perp (AC)

💡إضاءة وتنبيه:

خاصية التوازي والتعامد: إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان حتماً.

✅الإجابة النموذجية:

بما أن المستقيمين $(EF)$ و $(BA)$ عموديان على نفس المستقيم $(AC)$ ، فإن المستقيمين $(EF)$ و $(BA)$ متوازيان.

3) حساب الأطوال $EC$ ، $FC$ ، و $FE$ :

حساب الطول $EC$ :

معطى من النص: $E$ نقطة من $[CA]$ حيث $EC = \frac{1}{3} CA$ .

بما أن $CA = BD = 90 \text{ m}$ :

EC = \frac{1}{3} \times 90 = 30 \text{ m}

حساب الطولين $FC$ و $FE$ :

في المثلث $ABC$ القائم في $A$ :

لدينا $E \in [CA]$ و $F \in [CB]$ ، والمستقيمان $(EF)$ و $(BA)$ متوازيان.

نطبق خاصية طالس:

\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{FE}{AB}

نعوض الأطوال المعلومة: $CE = 30 \text{ m}$ ، $CA = 90 \text{ m}$ ، $CB = 150 \text{ m}$ ، $AB = 120 \text{ m}$ :

\frac{30}{90} = \frac{CF}{150} = \frac{FE}{120}

نعلم أن $\frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ .

حساب

CF

CF = \frac{30 \times 150}{90} = \frac{1}{3} \times 150 = 50 \text{ m}

حساب

FE

FE = \frac{30 \times 120}{90} = \frac{1}{3} \times 120 = 40 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

EC = 30 \text{ m}

FC = 50 \text{ m}

FE = 40 \text{ m}

4) حساب مساحة القطعة 3 ومساحة القطعة 2:

مساحة القطعة 3 (المثلث القائم $BDC$ ):

القطعة 3 عبارة عن مثلث قائم ضلعه القائمان هما $CD = 120 \text{ m}$ و $BD = 90 \text{ m}$ .

S_{\text{القطعة 3}} = \frac{CD \times BD}{2} = \frac{120 \times 90}{2} = \frac{10800}{2} = 5400 \text{ m}^2

مساحة القطعة 2 (شبه المنحرف $AEFB$ ):

يمكن حساب مساحة القطعة 2 بأسلوبين:

الطريقة 1 (طرح المساحات):

مساحة المثلث القائم الكلي $ABC$ :

S_{ABC} = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{120 \times 90}{2} = 5400 \text{ m}^2

مساحة القطعة 1 (المثلث القائم $CFE$ ):

S_{\text{القطعة 1}} = \frac{EC \times FE}{2} = \frac{30 \times 40}{2} = \frac{1200}{2} = 600 \text{ m}^2

مساحة القطعة 2 هي الفرق بينهما:

S_{\text{القطعة 2}} = S_{ABC} - S_{\text{القطعة 1}} = 5400 - 600 = 4800 \text{ m}^2

✅الإجابة النموذجية:

مساحة القطعة 3 تساوي $5400 \text{ m}^2$ .

مساحة القطعة 2 تساوي $4800 \text{ m}^2$ .

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

Afficher

Télécharger le sujet PDF144 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2022)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 98 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 98 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: حساب القاسم المشترك الأكبر والتبسيط

1) تعيين العدد الطبيعي ddd حيث d=PGCD(3150,1512)d = \text{PGCD}(3150, 1512)d=PGCD(3150,1512):

2) حساب العدد EEE:

3) التحقق من أن (3150+1512)÷E=d(3150 + 1512) \div E = d(3150+1512)÷E=d:

التمرين الثاني: الحسابات على الجذور والأعداد الناطقة والكتابة العلمية

1) كتابة العدد AAA كتابة علمية:

2) التبيين بالحساب أن B=−1B = -1B=−1:

3) كتابة العدد CCC على الشكل ab+ha\sqrt{b} + hab​+h:

4) كتابة النسبة DDD على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

التمرين الثالث: مقارنة مساحتي شكلين هندسيين

1) حساب مساحة المربع (S1S_1S1​):

2) حساب مساحة المستطيل (S2S_2S2​):

3) التبيين والمقارنة بين المساحتين:

التمرين الرابع: اختبار توازي مستقيمين باستعمال الخاصية العكسية لطالس

الوضعية الإدماجية:

الجزء الأول:

1) حساب أكبر عدد ممكن من العمال للقيام بهذه العملية:

2) حساب عدد الأبقـار وعدد الأغنام التي يعتني بها كل عامل:

الجزء الثاني:

1) حساب الطول CBCBCB:

2) التبيين أن المستقيمين (EF)(EF)(EF) و (BA)(BA)(BA) متوازيان:

3) حساب الأطوال ECECEC، FCFCFC، و FEFEFE:

4) حساب مساحة القطعة 3 ومساحة القطعة 2:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1) تعيين العدد الطبيعي $d$ حيث $d = \text{PGCD}(3150, 1512)$ :

2) حساب العدد $E$ :

3) التحقق من أن $(3150 + 1512) \div E = d$ :

1) كتابة العدد $A$ كتابة علمية:

2) التبيين بالحساب أن $B = -1$ :

3) كتابة العدد $C$ على الشكل $a\sqrt{b} + h$ :

4) كتابة النسبة $D$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

1) حساب مساحة المربع ( $S_1$ ):

2) حساب مساحة المستطيل ( $S_2$ ):

1) حساب الطول $CB$ :

2) التبيين أن المستقيمين $(EF)$ و $(BA)$ متوازيان:

3) حساب الأطوال $EC$ ، $FC$ ، و $FE$ :