📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 99 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول:

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1755 و 1053:

تطبيق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

1755=1053×1+7021755 = 1053 \times 1 + 702
1053=702×1+3511053 = 702 \times 1 + 351
702=351×2+0702 = 351 \times 2 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 351351، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(1755,1053)=351\text{PGCD}(1755, 1053) = 351

2. الشرح لماذا الكسر 10531755\frac{1053}{1755} قابل للاختزال:

💡إضاءة وتنبيه:

يكون الكسر قابلاً للاختزال إذا كان للبسط والمقام قاسم مشترك أكبر يختلف عن العدد 11.

بما أن PGCD(1755,1053)=351≠1\text{PGCD}(1755, 1053) = 351 \neq 1، فهذا يعني أن العددين 10531053 و 17551755 يقبلان القسمة معاً على 351351.

✅الإجابة النموذجية:

الكسر 10531755\frac{1053}{1755} قابل للاختزال لأن القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام يختلف عن 11 (PGCD=351\text{PGCD} = 351).

3. كتابة الكسر 10531755\frac{1053}{1755} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر 351351:

10531755=1053÷3511755÷351=35\frac{1053}{1755} = \frac{1053 \div 351}{1755 \div 351} = \frac{3}{5}
✅الإجابة النموذجية:
10531755=35\frac{1053}{1755} = \frac{3}{5}
📌

التمرين الثاني:

1. حساب AA وكتابته على شكل عدد عشري:

لدينا:

A=35−25×74A = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \times \frac{7}{4}

أولاً: نجري عملية الضرب قبل الطرح (أولوية العمليات):

25×74=2×75×4=1420=710\frac{2}{5} \times \frac{7}{4} = \frac{2 \times 7}{5 \times 4} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}

ثانياً: نقوم بتوحيد المقامات والجراء الطرح:

A=35−710=3×25×2−710=610−710=6−710=−110=−0.1A = \frac{3}{5} - \frac{7}{10} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} - \frac{7}{10} = \frac{6}{10} - \frac{7}{10} = \frac{6 - 7}{10} = \frac{-1}{10} = -0.1
✅الإجابة النموذجية:
A=−0.1A = -0.1

2. إعطاء الكتابة العلمية للعدد BB:

لدينا:

B=2×102×1.2×(10−3)40.2×10−7B = \frac{2 \times 10^2 \times 1.2 \times (10^{-3})^4}{0.2 \times 10^{-7}}

نجمع الأعداد والأسس بشكل مستقل:

B=(2×1.2)×102×10−120.2×10−7=2.4×102+(−12)0.2×10−7=2.4×10−100.2×10−7B = \frac{(2 \times 1.2) \times 10^2 \times 10^{-12}}{0.2 \times 10^{-7}} = \frac{2.4 \times 10^{2 + (-12)}}{0.2 \times 10^{-7}} = \frac{2.4 \times 10^{-10}}{0.2 \times 10^{-7}}

نحسب قسمة الأعداد العادية وقسمة قوى العدد 10:

2.40.2=12\frac{2.4}{0.2} = 12
10−1010−7=10−10−(−7)=10−3\frac{10^{-10}}{10^{-7}} = 10^{-10 - (-7)} = 10^{-3}
B=12×10−3B = 12 \times 10^{-3}

نكتب العدد 1212 كتابة علمية: 12=1.2×10112 = 1.2 \times 10^1

B=1.2×101×10−3=1.2×101−3=1.2×10−2B = 1.2 \times 10^1 \times 10^{-3} = 1.2 \times 10^{1 - 3} = 1.2 \times 10^{-2}
✅الإجابة النموذجية:
B=1.2×10−2B = 1.2 \times 10^{-2}

3. حل المعادلة 57−24=x257 - 24 = x^2:

تبسيط المعادلة:

57−24=33  ⟹  x2=3357 - 24 = 33 \implies x^2 = 33

بما أن 33>033 > 0، فإن للمعادلة حلّين هما:

x=33أوx=−33x = \sqrt{33} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{33}
✅الإجابة النموذجية:

حلا المعادلة هما: x=33x = \sqrt{33} و x=−33x = -\sqrt{33}.

📌

التمرين الثالث:

1. كتابة EE على شكل a5a\sqrt{5} (حيث aa عدد نسبي صحيح):

لدينا:

E=20−152×5+245E = \sqrt{20} - \sqrt{15^2 \times 5} + 2\sqrt{45}

تبسيط كل حد:

20=4×5=25\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}
152×5=155\sqrt{15^2 \times 5} = 15\sqrt{5}
245=29×5=2×35=652\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \times 5} = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}

بالتعويض:

E=25−155+65=(2−15+6)5=−75E = 2\sqrt{5} - 15\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = (2 - 15 + 6)\sqrt{5} = -7\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:
E=−75E = -7\sqrt{5}

2. إعطاء الكتابة العشرية للعدد FF بالتدوير إلى 10−110^{-1}:

لدينا:

F=5+3−611F = \sqrt{5} + 3 - 6\sqrt{11}

باستعمال الحاسبة:

5≈2.23606\sqrt{5} \approx 2.23606
11≈3.31662\sqrt{11} \approx 3.31662

بالتعويض:

F≈2.23606+3−6(3.31662)=5.23606−19.89972=−14.66366F \approx 2.23606 + 3 - 6(3.31662) = 5.23606 - 19.89972 = -14.66366

الرقم الثاني بعد الفاصلة هو 6≥56 \ge 5، إذن ندور بالزيادة إلى جزء من عشرة (10−110^{-1}):

✅الإجابة النموذجية:
F≈−14.7F \approx -14.7

3. جعل مقام النسبة DD على شكل عدد ناطق:

لدينا:

D=2×25=2×25=25D = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

بضرب كل من البسط والمقام في 5\sqrt{5}:

D=2×55×5=255D = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
✅الإجابة النموذجية:
D=255D = \frac{2\sqrt{5}}{5}
📌

التمرين الرابع:

1. إنشاء الشكل وحساب الطول BCBC:

بما أن المثلث ABCABC قائم في CC، فحسب نظرية فيثاغورس:

AB2=AC2+BC2  ⟹  BC2=AB2−AC2AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies BC^2 = AB^2 - AC^2

بالتعويض عددياً:

BC2=102−82=100−64=36BC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36
BC=36=6 cmBC = \sqrt{36} = 6\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
BC=6 cmBC = 6\text{ cm}

2. حساب الطولين BFBF و MFMF:

💡إضاءة وتنبيه:

بما أن النقطة M∈[AB]M \in [AB] حيث AM=2 cmAM = 2\text{ cm}، فإن:

BM=AB−AM=10−2=8 cmBM = AB - AM = 10 - 2 = 8\text{ cm}

بما أن المستقيم الذي يشمل MM ويوازي (AC)(AC) يقطع [BC][BC] في FF، فإن (MF)∥(AC)(MF) \parallel (AC).

تطبيق خاصية طاليس في المثلث BACBAC:

BMBA=BFBC=MFAC\frac{BM}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{MF}{AC}

بالتعويض عددياً:

810=BF6=MF8\frac{8}{10} = \frac{BF}{6} = \frac{MF}{8}
حساب BFBF:
BF=8×610=4810=4.8 cmBF = \frac{8 \times 6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8\text{ cm}
حساب MFMF:
MF=8×810=6410=6.4 cmMF = \frac{8 \times 8}{10} = \frac{64}{10} = 6.4\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
BF=4.8 cmوMF=6.4 cmBF = 4.8\text{ cm} \quad \text{و} \quad MF = 6.4\text{ cm}

3. حساب sin⁡(ABC^)\sin(\widehat{ABC}) واستنتاج قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC}:

في المثلث القائم ABCABC:

sin⁡(ABC^)=الضلع المقابلالوتر=ACAB=810=0.8\sin(\widehat{ABC}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} = 0.8

باستعمال الآلة الحاسبة (sin⁡−1(0.8)\sin^{-1}(0.8) أو Shift+sin⁡\text{Shift} + \sin):

ABC^≈53.13∘\widehat{ABC} \approx 53.13^\circ

بالتدوير إلى الوحدة:

✅الإجابة النموذجية:
sin⁡(ABC^)=0.8  ⟹  ABC^≈53∘\sin(\widehat{ABC}) = 0.8 \quad \implies \quad \widehat{ABC} \approx 53^\circ
📌

المسألة (الوضعية الإدماجية):

1. هل هذه القسمة عادلة بينهما؟ (مع التعليل):

💡إضاءة وتنبيه:

لتكون القسمة عادلة، يجب أن تكون مساحة قطعة أحمد S1S_1 مساوية لمساحة قطعة علي S2S_2.

حساب مساحة قطعة أحمد S1S_1 (الشكل المستطيل ABEDABED):

S1=AB×BE=120×10.5=1260 m2S_1 = AB \times BE = 120 \times 10.5 = 1260\text{ m}^2

حساب مساحة قطعة علي S2S_2 (المثلث القائم DECDEC):

المثلث DECDEC قائم في EE، وفيه:

DE=AB=120 mDE = AB = 120\text{ m}
الزاوية DCE^=80∘\widehat{DCE} = 80^\circ

لحساب الطول ECEC، نستخدم الضلع المجاور والمقابل في النسب المثلثية:

tan⁡(DCE^)=المقابلالمجاور=DEEC\tan(\widehat{DCE}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{DE}{EC}
tan⁡(80∘)=120EC  ⟹  EC=120tan⁡(80∘)≈1205.6713≈21.16 m\tan(80^\circ) = \frac{120}{EC} \implies EC = \frac{120}{\tan(80^\circ)} \approx \frac{120}{5.6713} \approx 21.16\text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة (كما ورد في الملاحظة): EC≈21 mEC \approx 21\text{ m}.

الآن نحسب مساحة المثلث القائم DECDEC:

S2=DE×EC2=120×212=1260 m2S_2 = \frac{DE \times EC}{2} = \frac{120 \times 21}{2} = 1260\text{ m}^2

المقارنة والنتيجة:

بما أن مساحة الجزء الخاص بأحمد تساوي مساحة الجزء الخاص بعلي (S1=S2=1260 m2S_1 = S_2 = 1260\text{ m}^2):

✅الإجابة النموذجية:

نعم، هذه القسمة عادلة بين الأخوين، لأن مساحة قطعة أحمد تساوي مساحة قطعة علي (1260 m21260\text{ m}^2).

2. إيجاد كلفة السياج:

حساب محيط القطعة الكلية ABCDABCD:

السياج يحيط بالأرض الكلية، أي الحدود الخارجية للمضلع ABCDABCD:

P=AB+BC+CD+DAP = AB + BC + CD + DA
الأطوال المعلومة:
AB=120 mAB = 120\text{ m}
DA=BE=10.5 mDA = BE = 10.5\text{ m}
BC=BE+EC=10.5+21=31.5 mBC = BE + EC = 10.5 + 21 = 31.5\text{ m}
حساب الطول CDCD (الوتر في المثلث القائم DECDEC):

تطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم DECDEC:

CD2=DE2+EC2=1202+212=14400+441=14841CD^2 = DE^2 + EC^2 = 120^2 + 21^2 = 14400 + 441 = 14841
CD=14841≈121.82 mCD = \sqrt{14841} \approx 121.82\text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة: CD≈122 mCD \approx 122\text{ m}.

حساب المحيط الكلي PP:
P=120+31.5+122+10.5=284 mP = 120 + 31.5 + 122 + 10.5 = 284\text{ m}
حساب كلفة السياج:

ثمن المتر الواحد من السياج هو 250 DA250\text{ DA}:

الكلفة الكلية=P×250=284×250=71000 DA\text{الكلفة الكلية} = P \times 250 = 284 \times 250 = 71000\text{ DA}
✅الإجابة النموذجية:

كلفة السياج اللازم لإحاطة القطعة هي 71000 DA71000\text{ DA} (71 ألف دينار جزائري).