عند تبسيط الجذور التربيعية وكتابتها على الشكل $a\sqrt{b}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذر على العدد $b$ (وهو 7 في هذا السؤال) للحصول على مربعات كاملة تسهل عملية تبسيطها واستخراجها خارج الجذر.

لدينا العبارة:

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو 7:

نعوض هذه القيم في عبارة $FG$:

القيمة المبسطة للطول $FG$ هي:

حيث $a = 8$ وهو عدد ناطق (طبيعي).

قانون مساحة المستطيل هو:

بما أن $EF = 10\sqrt{7}$ و $FG = 8\sqrt{7}$، فإن:

مساحة المستطيل $EFGH$ هي:

قانون محيط المستطيل هو:

القيمة المضبوطة لمحيط المستطيل $EFGH$ هي:

بما أن $EFGH$ مستطيل، فإن زواياه الأربع قائمة. إذن المثلث $EFH$ قائم في $E$ (أو المثلث $EFG$ قائم في $F$).

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $EFH$:

وبما أن كل ضلعين متقابلين في المستطيل متقايسان، فإن $EH = FG = 8\sqrt{7}$.

باستعمال الآلة الحاسبة نجد:

المدور إلى الوحدة: بما أن الجزء من عشرة هو 8 (وهو أكبر من أو يساوي 5)، فإننا نضيف 1 إلى الجزء الصحيح.

طول القطر $[FH]$ بالتدوير إلى الوحدة هو:

لإنشاء المثلث $ABC$ بأطواله الحقيقية $AB = 6\text{ cm}$، $AC = 4\text{ cm}$، $BC = 5\text{ cm}$:

1. نرسم قطعة المستقيم $[AB]$ بطول $6\text{ cm}$.

2. نفتح المدور بفتحة قدرها $4\text{ cm}$، ونضع إبرة المدور في النقطة $A$ ثم نرسم قوساً دائرية.

3. نفتح المدور بفتحة قدرها $5\text{ cm}$، ونضع إبرة المدور في النقطة $B$ ثم نرسم قوساً ثانية تقطع القوس الأولى في النقطة $C$.

4. نصل بين النقاط لتشكيل المثلث $ABC$.

5. نحدد النقطة $M$ على القطعة $[AB]$ بحيث تبعد عن $A$ بـ $1.5\text{ cm}$.

6. نحدد النقطة $N$ على القطعة $[AC]$ بحيث تبعد عن $A$ بـ $1\text{ cm}$.

7. نرسم المستقيم $(MN)$.

لإثبات توازي مستقيمين باستعمال النسبية، نلجأ إلى تطبيق الخاصية العكسية لنظرية طاليس، وذلك بحساب النسبتين ومقارنتهما مع التحقق من استقامية النقط وترتيبها.

لدينا النقط $A$، $M$، $B$ في استقامية وبنفس ترتيب النقط $A$، $N$، $C$.

نحسب ونقارن النسبتين $\frac{AM}{AB}$ و $\frac{AN}{AC}$:

بما أن:

والنقط $A, M, B$ و $A, N, C$ على استقامية وبنفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لنظرية طاليس نستنتج أن:

المستقيمان $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان، أي:

بما أن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان، فإنه بتطبيق نظرية طاليس نجد:

نعوض بالقيم المعلومة:

ومنه:

طول القطعة $MN$ هو:

في المثلث $ABL$ القائم في الرأس $L$:

لدينا الزاوية $\widehat{ABL} = 60^\circ$ والوتر $AB = 5\text{ cm}$.

نريد حساب الطول $BL$ الذي يمثل الضلع المجاور للزاوية $\widehat{ABL}$.

نعلم أن:

نعوض بالقيم:

بما أن $\cos(60^\circ) = 0.5$، فإن:

طول الضلع $BL$ هو:

إذا علمت أن $AL = \frac{5\sqrt{3}}{2}$:

في المثلث $ALC$ القائم في الرأس $L$:

لدينا الزاوية $\widehat{ACL} = 30^\circ$، والضلع المقابل لها هو $AL = \frac{5\sqrt{3}}{2}$، ونريد حساب الضلع المجاور $LC$.

نعلم أن:

نعوض بالقيم:

نعلم أن القيمة المضبوطة لـ $\tan(30^\circ)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (أو $\frac{1}{\sqrt{3}}$):

باستعمال الجداء المتصالب:

نقسم الطرفين على $\sqrt{3}$:

لكتابة النتيجة بتقريب $0.01$ (أي برقمين بعد الفاصلة):

طول الضلع $LC$ بتقريب $0.01$ هو: