📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 112 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (6 نقاط)

لتكن الأعداد AA، BB و CC حيث:

A=PGCD(301;210)A = \text{PGCD}(301; 210)
B=210301B = \frac{210}{301}
C=3130÷(301210−25)C = \frac{31}{30} \div \left( \frac{301}{210} - \frac{2}{5} \right)

1) حساب العدد AA (القاسم المشترك الأكبر للعددين 301 و 210)

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب القاسم المشترك الأكبر PGCDPGCD لعددين طبيعيين، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة وتفادياً للأخطاء الحسابية.
✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين 301301 و 210210:

301=210×1+91301 = 210 \times 1 + 91
210=91×2+28210 = 91 \times 2 + 28
91=28×3+791 = 28 \times 3 + 7
28=7×4+028 = 7 \times 4 + 0

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية، وهو العدد 77.

إذن:

A=PGCD(301;210)=7A = \text{PGCD}(301; 210) = 7

2) كتابة الكسر BB على شكل كسر غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:
لاختزال كسر دفعة واحدة والحصول على كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCDPGCD.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

B=210301B = \frac{210}{301}

بما أننا وجدنا سابقاً أن PGCD(301;210)=7\text{PGCD}(301; 210) = 7، نقوم بقسمة البسط والمقام على 77:

B=210÷7301÷7B = \frac{210 \div 7}{301 \div 7}
B=3043B = \frac{30}{43}

وبما أن العدد 4343 عدد أولي، فإن الكسر 3043\frac{30}{43} هو كسر غير قابل للاختزال.

3) تبيان أن C=1C = 1

💡إضاءة وتنبيه:
عند حساب عبارة تتضمن عمليات متعددة، نلتزم بقواعد أولويات العمليات الحسابية؛ حيث تعطى الأولوية دائماً للعمليات داخل الأقواس، ثم للضرب والقسمة، وأخيراً للجمع والطرح.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

C=3130÷(301210−25)C = \frac{31}{30} \div \left( \frac{301}{210} - \frac{2}{5} \right)

أولاً: نبسط الكسر 301210\frac{301}{210} داخل الأقواس. نلاحظ أنه مقلوب الكسر BB، وبالتالي يمكن اختزاله بالقسمة على 77:

301÷7210÷7=4330\frac{301 \div 7}{210 \div 7} = \frac{43}{30}

تصبح العبارة داخل الأقواس:

(4330−25)\left( \frac{43}{30} - \frac{2}{5} \right)

نوحد المقامات بجعل المقام المشترك هو 3030:

25=2×65×6=1230\frac{2}{5} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{12}{30}

نقوم الآن بعملية الطرح داخل الأقواس:

4330−1230=43−1230=3130\frac{43}{30} - \frac{12}{30} = \frac{43 - 12}{30} = \frac{31}{30}

نعوض النتيجة في العبارة CC:

C=3130÷3130C = \frac{31}{30} \div \frac{31}{30}

لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

C=3130×3031C = \frac{31}{30} \times \frac{30}{31}
C=31×3030×31=1C = \frac{31 \times 30}{30 \times 31} = 1

وهو المطلوب إثباته.

📌

التمرين الثاني: (6 نقاط)

LL و MM عددان حيث:

L=108−12L = \sqrt{108} - \sqrt{12}
M=323M = \frac{3}{2\sqrt{3}}

1) كتابة العدد LL على الشكل a3a\sqrt{3} حيث aa عدد طبيعي

💡إضاءة وتنبيه:
لكتابة عبارة جذرية على الشكل a3a\sqrt{3}، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على 33 لكتابتها على شكل جذاء مربع تام في 33.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

L=108−12L = \sqrt{108} - \sqrt{12}

نحلل الأعداد تحت الجذور:

108=36×3108 = 36 \times 3
12=4×312 = 4 \times 3

نعوض في العبارة LL:

L=36×3−4×3L = \sqrt{36 \times 3} - \sqrt{4 \times 3}

بتطبيق الخاصية x×y=x×y\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}:

L=36×3−4×3L = \sqrt{36} \times \sqrt{3} - \sqrt{4} \times \sqrt{3}
L=63−23L = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}

باستخراج 3\sqrt{3} كعامل مشترك:

L=(6−2)3L = (6 - 2)\sqrt{3}
L=43L = 4\sqrt{3}

حيث a=4a = 4 وهو عدد طبيعي.

2) كتابة العدد MM على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

💡إضاءة وتنبيه:
لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر التربيعي الموجود في المقام للتخلص منه (باستعمال القاعدة: x×x=x\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x).
✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

M=323M = \frac{3}{2\sqrt{3}}

نضرب البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

M=3×323×3M = \frac{3 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}}
M=332×3M = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3}
M=336M = \frac{3\sqrt{3}}{6}

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 33:

M=32M = \frac{\sqrt{3}}{2}

3) تبيان أن C′C' هو عدد طبيعي حيث: C′=(L3+1)(8M2−1)C' = (L\sqrt{3} + 1)(8M^2 - 1)

(تنبيه: تم تصحيح الرموز الواردة في نص السؤال الأصلي لتتوافق رياضياً مع معطيات التمرين الثاني حيث الرموز الصحيحة هي LL و MM بدلاً من الرموز الملتبسة مطبعياً).

💡إضاءة وتنبيه:
نقوم بحساب قيمة كل قوس على حدة بالتعويض بالقيم المبسطة التي وجدناها في السؤالين السابقين لتبسيط الحساب وتفادي الأخطاء المركبة.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا القيم المبسطة:

L=43وM=32L = 4\sqrt{3} \quad \text{و} \quad M = \frac{\sqrt{3}}{2}

أولاً: نحسب القوس الأول (L3+1)(L\sqrt{3} + 1):

L3=(43)×3=4×3=12L\sqrt{3} = (4\sqrt{3}) \times \sqrt{3} = 4 \times 3 = 12

إذن:

L3+1=12+1=13L\sqrt{3} + 1 = 12 + 1 = 13

ثانياً: نحسب القوس الثاني (8M2−1)(8M^2 - 1):

نحسب أولاً M2M^2:

M2=(32)2=(3)222=34M^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}

نعوض في القوس الثاني:

8M2−1=8×(34)−18M^2 - 1 = 8 \times \left(\frac{3}{4}\right) - 1
8M2−1=244−1=6−1=58M^2 - 1 = \frac{24}{4} - 1 = 6 - 1 = 5

ثالثاً: نحسب قيمة العبارة الإجمالية C′C':

C′=(L3+1)(8M2−1)C' = (L\sqrt{3} + 1)(8M^2 - 1)
C′=13×5C' = 13 \times 5
C′=65C' = 65

وبما أن العدد 6565 هو عدد صحيح موجب خالي من الجذور والكسور، فإن C′C' هو بالفعل عدد طبيعي.

📌

التمرين الثالث: (6 نقاط)

إليك الشكل المعطى بالأطوال التالية:

OA=6 cmOA = 6\text{ cm}
OB=8 cmOB = 8\text{ cm}
OD=3 cmOD = 3\text{ cm}
OC=4 cmOC = 4\text{ cm}

1) البرهان على أن: (DC)//(AB)(DC) // (AB)

💡إضاءة وتنبيه:
لإثبات توازي مستقيمين انطلاقاً من أطوال أضلاع معلومة في شكل هندسي يمثل وضعية طاليس (الفراشة أو المثلثين المتداخلين)، نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس.
✅الإجابة النموذجية:

في الشكل لدينا المستقيمان (AD)(AD) و (BC)(BC) يتقاطعان في النقطة OO.

أولاً: نتحقق من استقامية النقط وترتيبها:

النقط AA، OO، DD في استقامية، والنقط BB، OO، CC في استقامية وبنفس الترتيب.

ثانياً: نحسب ونقارن النسبتين المتقابلتين من نقطة التقاطع OO:

النسبة الأولى:
ODOA=36=0.5\frac{OD}{OA} = \frac{3}{6} = 0.5
النسبة الثانية:
OCOB=48=0.5\frac{OC}{OB} = \frac{4}{8} = 0.5

نلاحظ أن:

ODOA=OCOB=0.5\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB} = 0.5

وبما أن النسبتين متساويتان والنقط A,O,DA, O, D و B,O,CB, O, C مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتطابقين، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس نستنتج أن المستقيمين (DC)(DC) و (AB)(AB) متوازيان:

(DC)//(AB)(DC) // (AB)

2) حساب الطول ABAB علماً أن DC=5 cmDC = 5\text{ cm}

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب طول ضلع في وضعية توازي معلومة، نطبق خاصية طاليس المباشرة التي تسمح لنا بكتابة تساوي النسب الثلاث واستخراج الطول المجهول باستعمال الرابع المتناسب.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن المستقيمين (DC)(DC) و (AB)(AB) متوازيان، والنقط A,O,DA, O, D و B,O,CB, O, C في استقامية، فإنه بتطبيق خاصية طاليس نكتب نسب الأطوال المتساوية:

ODOA=OCOB=DCAB\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB} = \frac{DC}{AB}

بالتعويض بالأطوال المعلومة لدينا:

36=48=5AB\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{AB}

نأخذ الجزء المناسب لحساب ABAB:

36=5AB\frac{3}{6} = \frac{5}{AB}

باستعمال الجداء المتصالب (الرابع المتناسب):

AB=6×53AB = \frac{6 \times 5}{3}
AB=303AB = \frac{30}{3}
AB=10 cmAB = 10\text{ cm}

إذن، الطول ABAB يساوي 10 cm10\text{ cm}.