لتكن الأعداد $AA$، $BB$ و $CC$ حيث:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $301301$ و $210210$:

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية، وهو العدد $77$.

إذن:

لدينا:

بما أننا وجدنا سابقاً أن $\text{PGCD}(301;210)=7\backslash text\{PGCD\}(301;\; 210)\; =\; 7$، نقوم بقسمة البسط والمقام على $77$:

وبما أن العدد $4343$ عدد أولي، فإن الكسر $\frac{30}{43}\backslash frac\{30\}\{43\}$ هو كسر غير قابل للاختزال.

لدينا العبارة:

أولاً: نبسط الكسر $\frac{301}{210}\backslash frac\{301\}\{210\}$ داخل الأقواس. نلاحظ أنه مقلوب الكسر $BB$، وبالتالي يمكن اختزاله بالقسمة على $77$:

تصبح العبارة داخل الأقواس:

نوحد المقامات بجعل المقام المشترك هو $3030$:

نقوم الآن بعملية الطرح داخل الأقواس:

نعوض النتيجة في العبارة $CC$:

لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

وهو المطلوب إثباته.

$LL$ و $MM$ عددان حيث:

لدينا:

نحلل الأعداد تحت الجذور:

نعوض في العبارة $LL$:

بتطبيق الخاصية $\sqrt{x\times y}=\sqrt{x}\times \sqrt{y}\backslash sqrt\{x\; \backslash times\; y\}\; =\; \backslash sqrt\{x\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{y\}$:

باستخراج $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ كعامل مشترك:

حيث $a=4a\; =\; 4$ وهو عدد طبيعي.

لدينا:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$:

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على $33$:

(تنبيه: تم تصحيح الرموز الواردة في نص السؤال الأصلي لتتوافق رياضياً مع معطيات التمرين الثاني حيث الرموز الصحيحة هي $LL$ و $MM$ بدلاً من الرموز الملتبسة مطبعياً).

لدينا القيم المبسطة:

أولاً: نحسب القوس الأول $(L\sqrt{3}+1)(L\backslash sqrt\{3\}\; +\; 1)$:

إذن:

ثانياً: نحسب القوس الثاني $(8M^2-1)(8M^2\; -\; 1)$:

نحسب أولاً $M^{2}M^2$:

نعوض في القوس الثاني:

ثالثاً: نحسب قيمة العبارة الإجمالية $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$:

وبما أن العدد $6565$ هو عدد صحيح موجب خالي من الجذور والكسور، فإن $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ هو بالفعل عدد طبيعي.

إليك الشكل المعطى بالأطوال التالية:

في الشكل لدينا المستقيمان $(AD)(AD)$ و $(BC)(BC)$ يتقاطعان في النقطة $OO$.

أولاً: نتحقق من استقامية النقط وترتيبها:

النقط $AA$، $OO$، $DD$ في استقامية، والنقط $BB$، $OO$، $CC$ في استقامية وبنفس الترتيب.

ثانياً: نحسب ونقارن النسبتين المتقابلتين من نقطة التقاطع $OO$:

نلاحظ أن:

وبما أن النسبتين متساويتان والنقط $A,O,DA,\; O,\; D$ و $B,O,CB,\; O,\; C$ مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتطابقين، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس نستنتج أن المستقيمين $(DC)(DC)$ و $(AB)(AB)$ متوازيان:

بما أن المستقيمين $(DC)(DC)$ و $(AB)(AB)$ متوازيان، والنقط $A,O,DA,\; O,\; D$ و $B,O,CB,\; O,\; C$ في استقامية، فإنه بتطبيق خاصية طاليس نكتب نسب الأطوال المتساوية:

بالتعويض بالأطوال المعلومة لدينا:

نأخذ الجزء المناسب لحساب $ABAB$:

باستعمال الجداء المتصالب (الرابع المتناسب):

إذن، الطول $ABAB$ يساوي $10\text{ cm}10\backslash text\{\; cm\}$.