📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 97 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (08 نقاط)

1. كتابة العبارة AA كتابة علمية

💡إضاءة وتنبيه:

الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته من الشكل a×10na \times 10^n حيث aa عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة (1≤∣a∣<101 \le |a| < 10) و nn عدد صحيح نسبي.

لدينا العبارة:

A=5×108×4×10−28×104A = \frac{5 \times 10^8 \times 4 \times 10^{-2}}{8 \times 10^4}

نقوم بفصل الأعداد المعلومة عن قوى العدد 10 لتسهيل الحساب:

A=(5×48)×(108×10−2104)A = \left( \frac{5 \times 4}{8} \right) \times \left( \frac{10^8 \times 10^{-2}}{10^4} \right)

نحسب الجزء العددي:

5×48=208=2.5\frac{5 \times 4}{8} = \frac{20}{8} = 2.5

نطبق قواعد الحساب على قوى العدد 10:

108×10−2104=108+(−2)104=106104=106−4=102\frac{10^8 \times 10^{-2}}{10^4} = \frac{10^{8 + (-2)}}{10^4} = \frac{10^6}{10^4} = 10^{6 - 4} = 10^2

إذن:

A=2.5×102A = 2.5 \times 10^2
✅الإجابة النموذجية:

الكتابة العلمية للعبارة AA هي:

A=2.5×102A = 2.5 \times 10^2

2. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 154 و 396

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأدق:

نقسم 396 على 154:
396=154×2+88396 = 154 \times 2 + 88

(الباقي هو 88)

نقسم 154 على 88:
154=88×1+66154 = 88 \times 1 + 66

(الباقي هو 66)

نقسم 88 على 66:
88=66×1+2288 = 66 \times 1 + 22

(الباقي هو 22)

نقسم 66 على 22:
66=22×3+066 = 22 \times 3 + 0

(الباقي هو 0)

بما أن آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات المتتالية هو 22، فإن:

PGCD(396,154)=22\text{PGCD}(396, 154) = 22
✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 154 و 396 هو:

PGCD(396,154)=22\text{PGCD}(396, 154) = 22

3. كتابة العدد BB على شكل كسر غير قابل للاختزال

لدينا العبارة:

B=154396−12÷94B = \frac{154}{396} - \frac{1}{2} \div \frac{9}{4}

أولاً، نقوم باختزال الكسر 154396\frac{154}{396} بقسمة بسطه ومقامه على قاسمهما المشترك الأكبر الذي حسبناه سابقاً وهو 22:

154396=154÷22396÷22=718\frac{154}{396} = \frac{154 \div 22}{396 \div 22} = \frac{7}{18}

نعوض الكسر المختزل في العبارة BB:

B=718−12÷94B = \frac{7}{18} - \frac{1}{2} \div \frac{9}{4}

أولوية العمليات تقتضي إجراء عملية القسمة أولاً. لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

12÷94=12×49=1×42×9=418\frac{1}{2} \div \frac{9}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{1 \times 4}{2 \times 9} = \frac{4}{18}

الآن نقوم بعملية الطرح:

B=718−418B = \frac{7}{18} - \frac{4}{18}

بما أن المقامين موحدان، نطرح البسطين ونحتفظ بالمقام المشترك:

B=7−418=318B = \frac{7 - 4}{18} = \frac{3}{18}

نختزل الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على 3:

B=3÷318÷3=16B = \frac{3 \div 3}{18 \div 3} = \frac{1}{6}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العدد BB على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

B=16B = \frac{1}{6}
📌

التمرين الثاني: (06 نقاط)

1. كتابة العدد CC على الشكل a3a\sqrt{3} حيث aa عدد نسبي صحيح

لدينا العبارة:

C=248−3147+300C = 2\sqrt{48} - 3\sqrt{147} + \sqrt{300}

نكتب الأعداد الموجودة تحت الجذور على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو 3:

48=16×348 = 16 \times 3
147=49×3147 = 49 \times 3
300=100×3300 = 100 \times 3

نعوض هذه القيم في العبارة CC:

C=216×3−349×3+100×3C = 2\sqrt{16 \times 3} - 3\sqrt{49 \times 3} + \sqrt{100 \times 3}

نطبق الخاصية x×y=x×y\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}:

C=2×16×3−3×49×3+100×3C = 2 \times \sqrt{16} \times \sqrt{3} - 3 \times \sqrt{49} \times \sqrt{3} + \sqrt{100} \times \sqrt{3}

بما أن: 16=4\sqrt{16} = 4 و 49=7\sqrt{49} = 7 و 100=10\sqrt{100} = 10، تصبح العبارة:

C=2×43−3×73+103C = 2 \times 4\sqrt{3} - 3 \times 7\sqrt{3} + 10\sqrt{3}
C=83−213+103C = 8\sqrt{3} - 21\sqrt{3} + 10\sqrt{3}

نستخرج 3\sqrt{3} كعامل مشترك:

C=(8−21+10)3C = (8 - 21 + 10)\sqrt{3}
C=(−13+10)3C = (-13 + 10)\sqrt{3}
C=−33C = -3\sqrt{3}

وهي من الشكل المطلوب حيث a=−3a = -3 وهو عدد نسبي صحيح.

✅الإجابة النموذجية:

كتابة العدد CC على الشكل a3a\sqrt{3} هي:

C=−33C = -3\sqrt{3}

2. جعل مقام النسبة DD عدداً ناطقاً

لدينا النسبة:

D=5+243D = \frac{5 + 2\sqrt{4}}{\sqrt{3}}
💡إضاءة وتنبيه:

قبل البدء في تنطيق المقام، نلاحظ أن البسط يحتوي على جذر شهير وهو 4\sqrt{4}. من الأفضل تبسيطه أولاً لتفادي الحسابات المعقدة، حيث أن 4=2\sqrt{4} = 2.

نبسط البسط أولاً:

5+24=5+2×2=5+4=95 + 2\sqrt{4} = 5 + 2 \times 2 = 5 + 4 = 9

تصبح النسبة:

D=93D = \frac{9}{\sqrt{3}}

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

D=9×33×3D = \frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}
D=933D = \frac{9\sqrt{3}}{3}

نقسم 9 على 3 لاختزال العبارة:

D=33D = 3\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة النسبة DD بمقام ناطق بعد التبسيط هي:

D=33D = 3\sqrt{3}
📌

التمرين الثالث: (06 نقاط)

1. تبيين أن المثلث RSTRST قائم

لدينا أطوال أضلاع المثلث RSTRST هي:

RS=213RS = 2\sqrt{13}
ST=36=6ST = \sqrt{36} = 6
RT=4RT = 4

لتبيين أن المثلث قائم، نستخدم الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس. نقوم أولاً بحساب مربعات أطوال الأضلاع الثلاثة:

مربع الضلع الأول:
RS2=(213)2=22×(13)2=4×13=52RS^2 = (2\sqrt{13})^2 = 2^2 \times (\sqrt{13})^2 = 4 \times 13 = 52
مربع الضلع الثاني:
ST2=(36)2=36ST^2 = (\sqrt{36})^2 = 36
مربع الضلع الثالث:
RT2=42=16RT^2 = 4^2 = 16

نحدد الضلع الأطول وهو RSRS (لأن مربعه يساوي 52 وهو الأكبر).

نقارن مربع الضلع الأطول مع مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

ST2+RT2=36+16=52ST^2 + RT^2 = 36 + 16 = 52

نلاحظ أن:

ST2+RT2=RS2ST^2 + RT^2 = RS^2

وبما أن المساواة محققة، فإنه وحسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث RSTRST قائم في النقطة TT (الرأس المقابل للوتر RSRS).

✅الإجابة النموذجية:

بما أن ST2+RT2=RS2ST^2 + RT^2 = RS^2 فإن المثلث RSTRST قائم في TT حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس.

2. حل المعادلات الآتية

💡إضاءة وتنبيه:

المعادلة من الشكل x2=bx^2 = b تقبل:

حلين متمايزين هما b\sqrt{b} و −b-\sqrt{b} إذا كان b>0b > 0.
حلاً وحيداً هو 00 إذا كان b=0b = 0.
لا تقبل حلولاً حقيقية إذا كان b<0b < 0.

أ) حل المعادلة الأولى: 3(2−x2)=23(2 - x^2) = 2

ننشر وتبسط الطرف الأيسر:

6−3x2=26 - 3x^2 = 2

ننقل المعاليم إلى طرف والمجاهيل إلى طرف:

−3x2=2−6-3x^2 = 2 - 6
−3x2=−4-3x^2 = -4

نقسم الطرفين على −3-3:

x2=−4−3x^2 = \frac{-4}{-3}
x2=43x^2 = \frac{4}{3}

بما أن 43>0\frac{4}{3} > 0، فإن للمعادلة حلين هما:

x=43=43=23=233x = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

أو

x=−43=−43=−23=−233x = -\sqrt{\frac{4}{3}} = -\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}
✅الإجابة النموذجية:

حلول المعادلة 3(2−x2)=23(2 - x^2) = 2 هي:

x=233وx=−233x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{و} \quad x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}

ب) حل المعادلة الثانية: 4x2+2=34x^2 + 2 = 3

ننقل العدد 2 إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته:

4x2=3−24x^2 = 3 - 2
4x2=14x^2 = 1

نقسم الطرفين على 4:

x2=14x^2 = \frac{1}{4}

بما أن 14>0\frac{1}{4} > 0، فإن للمعادلة حلين هما:

x=14=12x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

أو

x=−14=−12x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}
✅الإجابة النموذجية:

حلول المعادلة 4x2+2=34x^2 + 2 = 3 هي:

x=12وx=−12x = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad x = -\frac{1}{2}