لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}\backslash text\{PGCD\}$ لعددين طبيعيين، يُفضل استخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأقل عرضة للأخطاء الحسابية مقارنة بطريقة الطرح المتتالي.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $17751775$ و $639639$:

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو $7171$، فإن:

لكتابة كسر على شكله غير القابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}\backslash text\{PGCD\}$.

نقسم بسط ومقام الكسر على $7171$:

الكسر $\frac{25}{9}\backslash frac\{25\}\{9\}$ هو كسر غير قابل للاختزال لأن $\text{PGCD}(25,9)=1\backslash text\{PGCD\}(25,\; 9)\; =\; 1$.

في العمليات على الكسور، تُعطى الأولوية لعملية الضرب قبل الطرح. ولتسهيل الحساب وتفادي التعامل مع أعداد كبيرة، نُعوّض الكسر $\frac{1775}{639}\backslash frac\{1775\}\{639\}$ بكسره المختزل $\frac{25}{9}\backslash frac\{25\}\{9\}$.

أولاً: نقوم بعملية الضرب:

ثانياً: نعوض في العبارة $BB$:

باستعمال الكسر المختزل $\frac{25}{9}\backslash frac\{25\}\{9\}$:

بما أن المقامين موحدان، نطرح البسطين مباشرة:

إذن:

ليكن العدد $FF$ حيث: $F=\sqrt{24}-2\sqrt{54}+\sqrt{600}F\; =\; \backslash sqrt\{24\}\; -\; 2\backslash sqrt\{54\}\; +\; \backslash sqrt\{600\}$

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً تربيعية على الشكل $a\sqrt{6}a\backslash sqrt\{6\}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على $66$ لكتابتها على شكل جذاء حده الأول مربع تام والحد الثاني هو $66$.

بتطبيق الخاصية $\sqrt{x\times y}=\sqrt{x}\times \sqrt{y}\backslash sqrt\{x\; \backslash times\; y\}\; =\; \backslash sqrt\{x\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{y\}$:

باستخراج $\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$ كعامل مشترك:

ومنه: قيمة $aa$ هي $66$ (وهو عدد طبيعي).

لإثبات صحة مساواة كسرين $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\backslash frac\{A\}\{B\}\; =\; \backslash frac\{C\}\{D\}$، يمكننا استخدام جداء الطرفين في الوسطين وإثبات أن $A\times D=B\times CA\; \backslash times\; D\; =\; B\; \backslash times\; C$، أو تبسيط كل طرف على حدة للوصول إلى نفس النتيجة.

الطريقة الأولى (باستخدام الجداء المتصالب):

نريد التحقق من أن:

نعلم أن $72=36\times 272\; =\; 36\; \backslash times\; 2$، إذن:

بما أن الطرفين متساويان ($36\sqrt{2}=36\sqrt{2}36\backslash sqrt\{2\}\; =\; 36\backslash sqrt\{2\}$)، فإن المساواة محققة:

لحل معادلة من الشكل $\frac{X}{b}=\frac{c}{X}\backslash frac\{X\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{X\}$، نطبق جداء الطرفين في الوسطين للحصول على معادلة من الدرجة الثانية من الشكل $X^2=dX^2\; =\; d$. إذا كان $d>0d\; >\; 0$، فإن للمعادلة حلين هما $\sqrt{d}\backslash sqrt\{d\}$ و $-\sqrt{d}-\backslash sqrt\{d\}$.

باستخدام الجداء المتصالب:

بما أن $6>06\; >\; 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

إذن قيم $XX$ الممكنة هي: $\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$ و $-\sqrt{6}-\backslash sqrt\{6\}$.

لإثبات تعامد مستقيمين، يكفي إثبات أن المثلث $AHCAHC$ قائم في $HH$. نستخدم في هذه الحالة الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس على أطوال أضلاع المثلث $AHCAHC$.

في المثلث $AHCAHC$، لدينا الأطوال التالية:

نقارن مربع طول الضلع الأطول بمجموع مربعي الطولين الآخرين:

نلاحظ أن:

وحسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $AHCAHC$ قائم في $HH$.

وبما أن المثلث قائم في $HH$، فإن المستقيمين $(AH)(AH)$ و $(HC)(HC)$ متعامدان.

وحيث أن النقطة $HH$ تنتمي إلى القطعة المستقيمية $[BC][BC]$، فإن المستقيمين $(AH)(AH)$ و $(BC)(BC)$ متعامدان:

بما أننا أثبتنا في السؤال السابق أن $(AH)\perp (BC)(AH)\; \backslash perp\; (BC)$، فإن المثلث $AHBAHB$ هو مثلث قائم في $HH$. هذا يسمح لنا بتطبيق نظرية فيثاغورس مباشرة لحساب طول الوتر $ABAB$.

لدينا المثلث $AHBAHB$ قائم في $HH$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس في هذا المثلث:

بالتعويض بالأطوال المعطاة ($AH=4AH\; =\; 4$ و $HB=8HB\; =\; 8$):

ومنه:

لتبسيط الجذر التربيعي وكتابته على الشكل المطلوب:

وهو المطلوب إثباته.