📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 80 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (4 نقاط)

أ - حساب القاسم المشترك الأكبر PGCD(640;180)\text{PGCD}(640 ; 180)

لحساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 640640 و 180180، نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة في الامتحانات الرسمية.

💡إضاءة وتنبيه:
تنص خوارزمية إقليدس على أن القاسم المشترك الأكبر لعددين هو آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية المتتالية.

نبدأ بقسمة العدد الأكبر على العدد الأصغر:

640=180×3+100640 = 180 \times 3 + 100
180=100×1+80180 = 100 \times 1 + 80
100=80×1+20100 = 80 \times 1 + 20
80=20×4+080 = 20 \times 4 + 0

بما أن الباقي الأخير هو 00، فإن آخر باقٍ غير معدوم هو 2020.

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(640;180)=20\text{PGCD}(640 ; 180) = 20

ب - كتابة الكسر 180640\frac{180}{640} على الشكل غير القابل للاختزال

لكتابة كسر على الشكل غير القابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD(640;180)=20\text{PGCD}(640 ; 180) = 20.

💡إضاءة وتنبيه:
قسمة حدّي الكسر على القاسم المشترك الأكبر تضمن الحصول مباشرة على كسر غير قابل للاختزال في خطوة واحدة وبطريقة نموذجية.
180640=180÷20640÷20\frac{180}{640} = \frac{180 \div 20}{640 \div 20}

نحسب العمليات:

البسط: 180÷20=9180 \div 20 = 9
المقام: 640÷20=32640 \div 20 = 32
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

180640=932\frac{180}{640} = \frac{9}{32}
📌

التمرين الثاني: (6 نقاط)

أ - كتابة العبارة YY على الشكل aba\sqrt{b}

العبارة المعطاة هي:

Y=12+275−48Y = \sqrt{12} + 2\sqrt{75} - \sqrt{48}

المطلوب كتابتها على الشكل aba\sqrt{b} حيث aa و bb عددان طبيعيان و bb أصغر ما يمكن.

💡إضاءة وتنبيه:
نبحث عن أكبر مربع تام يقسم الأعداد الموجودة تحت الجذور (1212، 7575، 4848). نلاحظ أن جميع هذه الأعداد تقبل القسمة على 33:
12=4×312 = 4 \times 3 (حيث 4 مربع تام للعدد 2)
75=25×375 = 25 \times 3 (حيث 25 مربع تام للعدد 5)
48=16×348 = 16 \times 3 (حيث 16 مربع تام للعدد 4)

نعوض هذه القيم في العبارة YY:

Y=4×3+225×3−16×3Y = \sqrt{4 \times 3} + 2\sqrt{25 \times 3} - \sqrt{16 \times 3}

نطبق الخاصية x×y=x×y\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}:

Y=4×3+2×(25×3)−16×3Y = \sqrt{4} \times \sqrt{3} + 2 \times (\sqrt{25} \times \sqrt{3}) - \sqrt{16} \times \sqrt{3}
Y=23+2×(53)−43Y = 2\sqrt{3} + 2 \times (5\sqrt{3}) - 4\sqrt{3}
Y=23+103−43Y = 2\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 4\sqrt{3}

نستخرج 3\sqrt{3} كعامل مشترك:

Y=(2+10−4)3Y = (2 + 10 - 4)\sqrt{3}
Y=83Y = 8\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العبارة YY على الشكل aba\sqrt{b} هي:

Y=83Y = 8\sqrt{3}

(حيث a=8a = 8 و b=3b = 3 وهما عددان طبيعيان و bb أصغر ما يمكن).

ب - كتابة العدد DD على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

النسبة المعطاة هي:

D=1+267D = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}

جعل مقام النسبة عدداً ناطقاً يتطلب ضرب كل من البسط والمقام في جذر المقام وهو 7\sqrt{7}.

💡إضاءة وتنبيه:
عند ضرب البسط المكون من حدين في عدد، يجب استعمال الأقواس لتوزيع الضرب على جميع الحدود بشكل صحيح وتفادي الأخطاء الحسابية.
D=(1+26)×77×7D = \frac{(1 + 2\sqrt{6}) \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}

نوزع الضرب في البسط، ونبسط المقام مستعملين القاعدة x×x=x\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x:

D=1×7+26×77D = \frac{1 \times \sqrt{7} + 2\sqrt{6} \times \sqrt{7}}{7}
D=7+26×77D = \frac{\sqrt{7} + 2\sqrt{6 \times 7}}{7}
D=7+2427D = \frac{\sqrt{7} + 2\sqrt{42}}{7}
✅الإجابة النموذجية:

النسبة بمقام ناطق هي:

D=7+2427D = \frac{\sqrt{7} + 2\sqrt{42}}{7}

ج - نشر وتبسيط العبارة RR

العبارة المعطاة هي:

R=(4+5)(25−3)R = (4 + \sqrt{5})(2\sqrt{5} - 3)

نقوم بنشر العبارة باستعمال خاصية التوزيع المضاعف:

R=4×(25)+4×(−3)+5×(25)+5×(−3)R = 4 \times (2\sqrt{5}) + 4 \times (-3) + \sqrt{5} \times (2\sqrt{5}) + \sqrt{5} \times (-3)

نحسب كل حد على حدة:

4×25=854 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}
4×(−3)=−124 \times (-3) = -12
5×25=2×(5×5)=2×5=10\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 2 \times (\sqrt{5} \times \sqrt{5}) = 2 \times 5 = 10
5×(−3)=−35\sqrt{5} \times (-3) = -3\sqrt{5}

نعوض هذه النتائج في العبارة:

R=85−12+10−35R = 8\sqrt{5} - 12 + 10 - 3\sqrt{5}

نجمع الحدود المتشابهة (الأعداد الناطقة معاً، والحدود التي تحتوي على 5\sqrt{5} معاً):

R=(85−35)+(−12+10)R = (8\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) + (-12 + 10)
R=(8−3)5−2R = (8 - 3)\sqrt{5} - 2
R=55−2R = 5\sqrt{5} - 2
✅الإجابة النموذجية:

الشكل المبسط للعبارة RR هو:

R=55−2R = 5\sqrt{5} - 2
📌

التمرين الثالث: (4 نقاط)

حساب قيس الزاوية C^\hat{C}

من خلال نص التمرين والرسم المرفق:

يتزحلق زيد على منحدر من النقطة BB إلى النقطة CC، حيث طول المسار هو BC=500 mBC = 500\text{ m}.
يمثل المسار BCBC وتر المثلث القائم ABCABC في AA.
الارتفاع الرأسي للمنحدر هو AB=320 mAB = 320\text{ m}، وهو يمثل الضلع المقابل للزاوية C^\hat{C}.
💡إضاءة وتنبيه:
لحساب قيس زاوية حادة في مثلث قائم بمعلومية الضلع المقابل والوتر، نستخدم جيب تمام الزاوية (الـ Sinus):
sin⁡(C^)=الضلع المقابلالوتر\sin(\hat{C}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}

بتطبيق القانون في المثلث ABCABC القائم في AA:

sin⁡(C^)=ABBC\sin(\hat{C}) = \frac{AB}{BC}

نعوض بالقيم العددية المعطاة:

sin⁡(C^)=320500\sin(\hat{C}) = \frac{320}{500}
sin⁡(C^)=0.64\sin(\hat{C}) = 0.64

باستعمال الآلة الحاسبة العلمية، نبحث عن الزاوية التي جيبها 0.640.64 بالضغط على الأزرار التالية:

`2ndF` ثم `sin` (أو `Shift` ثم `sin`) للعدد `0.64`.

نجد:

C^≈39.7912∘\hat{C} \approx 39.7912^\circ

نقوم بتدوير النتيجة إلى الوحدة (الدرجة):

بما أن الرقم الأول بعد الفاصلة هو 77 (وهو أكبر من أو يساوي 5)، فإننا نضيف 1 إلى الجزء الصحيح.

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية C^\hat{C} بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة هو:

C^≈40∘\hat{C} \approx 40^\circ
📌

التمرين الرابع: (6 نقاط)

حساب ارتفاع الشجرة قبل انكسارها

يمثل الرسم التخطيطي شجرة انكسرت بفعل عاصفة، حيث:

المثلث MNFMNF قائم في NN.
الجزء المتبقي واقفاً من الشجرة هو الضلع MNMN.
الجزء المنكسر والمائل هو الوتر MFMF.
المسافة بين قاعدة الشجرة NN ورأسها الملامس للأرض FF هي NF=4 mNF = 4\text{ m}.
الزاوية التي يصنعها الجزء المنكسر مع الأرض هي MFN^=30∘\hat{MFN} = 30^\circ.

ارتفاع الشجرة الكلي قبل الانكسار (ليكن HH) هو مجموع طولي الجزء الواقف والجزء المنكسر:

H=MN+MFH = MN + MF

1. حساب طول الجزء الواقف MNMN

في المثلث MNFMNF القائم في NN، لدينا:

الزاوية F^=30∘\hat{F} = 30^\circ.
الضلع المجاور للزاوية هو NF=4 mNF = 4\text{ m}.
الضلع المقابل للزاوية هو MNMN.
💡إضاءة وتنبيه:
لحساب الضلع المقابل بمعلومية الضلع المجاور والزاوية، نستخدم ظل الزاوية (الـ Tangente):
tan⁡(F^)=الضلع المقابلالضلع المجاور\tan(\hat{F}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}

بتطبيق القانون:

tan⁡(30∘)=MNNF\tan(30^\circ) = \frac{MN}{NF}
tan⁡(30∘)=MN4\tan(30^\circ) = \frac{MN}{4}
MN=4×tan⁡(30∘)MN = 4 \times \tan(30^\circ)

نعلم أن القيمة التقريبية لـ tan⁡(30∘)≈0.577\tan(30^\circ) \approx 0.577:

MN≈4×0.577≈2.31 mMN \approx 4 \times 0.577 \approx 2.31\text{ m}

(القيمة المضبوطة هي: MN=433 mMN = \frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ m}).

2. حساب طول الجزء المنكسر MFMF

في المثلث MNFMNF القائم في NN، لدينا:

الضلع المجاور للزاوية هو NF=4 mNF = 4\text{ m}.
الوتر هو MFMF.
💡إضاءة وتنبيه:
لحساب الوتر بمعلومية الضلع المجاور والزاوية، نستخدم جيب تمام الزاوية (الـ Cosinus):
cos⁡(F^)=الضلع المجاورالوتر\cos(\hat{F}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}

بتطبيق القانون:

cos⁡(30∘)=NFMF\cos(30^\circ) = \frac{NF}{MF}
cos⁡(30∘)=4MF\cos(30^\circ) = \frac{4}{MF}
MF=4cos⁡(30∘)MF = \frac{4}{\cos(30^\circ)}

نعلم أن القيمة التقريبية لـ cos⁡(30∘)≈0.866\cos(30^\circ) \approx 0.866:

MF≈40.866≈4.62 mMF \approx \frac{4}{0.866} \approx 4.62\text{ m}

(القيمة المضبوطة هي: MF=83=833 mMF = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ m}).

3. حساب الارتفاع الإجمالي للشجرة HH

نجمع طولي الجزأين للحصول على الارتفاع الكلي:

باستعمال القيم المضبوطة:
H=MN+MF=433+833=1233=43 mH = MN + MF = \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\text{ m}
باستعمال القيم المقربة:
H≈2.31+4.62=6.93 mH \approx 2.31 + 4.62 = 6.93\text{ m}

أو بحساب القيمة العشرية لـ 434\sqrt{3}:

H≈4×1.732≈6.93 mH \approx 4 \times 1.732 \approx 6.93\text{ m}

عند تدوير الارتفاع الإجمالي إلى الوحدة (المتر):

بما أن الرقم الأول بعد الفاصلة هو 99، فإننا نقرب إلى الزيادة.

✅الإجابة النموذجية:
الارتفاع المضبوط للشجرة قبل انكسارها هو: 43 m4\sqrt{3}\text{ m}.
الارتفاع المقرب للشجرة قبل انكسارها هو: 6.93 m6.93\text{ m} (أي حوالي 7 m7\text{ m} بالتدوير إلى الوحدة).