📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 81 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول:

1/ حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 798 و 285

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب القاسم المشترك الأكبر PGCD\text{PGCD} لعددين طبيعيين، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة في الامتحانات الرسمية.
✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين 798 و 285:

798=285×2+228798 = 285 \times 2 + 228
285=228×1+57285 = 228 \times 1 + 57
228=57×4+0228 = 57 \times 4 + 0

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 57، فإن:

PGCD(798,285)=57\text{PGCD}(798, 285) = 57

2/ كتابة الكسر 798285\frac{798}{285} على شكل كسر غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:
للحصول على كسر غير قابل للاختزال دفعة واحدة، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD\text{PGCD}.
✅الإجابة النموذجية:

قسمة بسط ومقام الكسر على 57:

798285=798÷57285÷57=145\frac{798}{285} = \frac{798 \div 57}{285 \div 57} = \frac{14}{5}

الكسر 145\frac{14}{5} هو كسر غير قابل للاختزال لأن PGCD(14,5)=1\text{PGCD}(14, 5) = 1.

3/ حساب وتبسيط العدد PP

💡إضاءة وتنبيه:
عند حساب عبارة تتضمن كسوراً، نعوض الكسر الكبير بالكسر المختزل لتسهيل الحسابات، مع مراعاة أولويات العمليات (الضرب قبل الطرح).
✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

P=798285−53×72P = \frac{798}{285} - \frac{5}{3} \times \frac{7}{2}

نعوض الكسر 798285\frac{798}{285} بقيمته المختزلة 145\frac{14}{5}:

P=145−(5×73×2)P = \frac{14}{5} - \left( \frac{5 \times 7}{3 \times 2} \right)
P=145−356P = \frac{14}{5} - \frac{35}{6}

لتوحيد المقامات، نختار المقام المشترك الأصغر وهو 30:

P=14×65×6−35×56×5P = \frac{14 \times 6}{5 \times 6} - \frac{35 \times 5}{6 \times 5}
P=8430−17530P = \frac{84}{30} - \frac{175}{30}
P=84−17530P = \frac{84 - 175}{30}
P=−9130P = \frac{-91}{30}
📌

التمرين الثاني:

1/ كتابة العدد XX على الشكل aba\sqrt{b}

💡إضاءة وتنبيه:
لكتابة مجموع جذور على الشكل aba\sqrt{b}، نبحث عن أصغر عدد طبيعي تحت الجذر (وهو هنا 3) ثم نكتب الأعداد الأخرى بدلالته على شكل جذاء مربعات تامة في 3.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

X=75−43+2108−243X = \sqrt{75} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{108} - \sqrt{243}

تحليل الأعداد تحت الجذور بدلالة 3:

75=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}
2108=236×3=2×63=1232\sqrt{108} = 2\sqrt{36 \times 3} = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}
243=81×3=93\sqrt{243} = \sqrt{81 \times 3} = 9\sqrt{3}

بالتعويض في العبارة XX:

X=53−43+123−93X = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 9\sqrt{3}

بتطبيق الخاصية التوزيعية:

X=(5−4+12−9)3X = (5 - 4 + 12 - 9)\sqrt{3}
X=43X = 4\sqrt{3}

2/ تبسيط العدد YY

💡إضاءة وتنبيه:
لتبسيط جذاء جذور تربيعية، نضرب المعاملات في بعضها والجذور في بعضها مستعملين القاعدة: a×b=a×b\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا حسب المعطيات المرفقة في ورقة الأسئلة:

Y=32×25Y = 3\sqrt{2} \times 2\sqrt{5}
Y=(3×2)×2×5Y = (3 \times 2) \times \sqrt{2 \times 5}
Y=610Y = 6\sqrt{10}

3/ كتابة النسبة XY\frac{X}{Y} على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

💡إضاءة وتنبيه:
لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر التربيعي الموجود في المقام للتخلص منه.
✅الإجابة النموذجية:

نعوض قيمتي XX و YY المبسطتين:

XY=43610\frac{X}{Y} = \frac{4\sqrt{3}}{6\sqrt{10}}

نختزل المعاملات أولاً بقسمة البسط والمقام على 2:

XY=23310\frac{X}{Y} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}

نضرب البسط والمقام في 10\sqrt{10}:

XY=23×10310×10\frac{X}{Y} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{10}}{3\sqrt{10} \times \sqrt{10}}
XY=2303×10\frac{X}{Y} = \frac{2\sqrt{30}}{3 \times 10}
XY=23030\frac{X}{Y} = \frac{2\sqrt{30}}{30}

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 2:

XY=3015\frac{X}{Y} = \frac{\sqrt{30}}{15}
📌

التمرين الثالث:

1/ البرهان على أن (AD)//(BC)(AD) // (BC) ثم حساب الطول CBCB

💡إضاءة وتنبيه:
لإثبات توازي مستقيمين يتقاطعان في نقطة مع مستقيمين آخرين، نستخدم النظرية العكسية لطاليس بعد التحقق من استقامية النقاط وترتيبها وتساوي النسبتين.
✅الإجابة النموذجية:

أولاً: إثبات التوازي:

لدينا المستقيمان (AB)(AB) و (CD)(CD) يتقاطعان في النقطة MM.

النقاط A,M,BA, M, B في استقامية وبنفس ترتيب النقاط D,M,CD, M, C.

نحسب النسبتين ونقارن بينهما:

MCMD=510=0.5\frac{MC}{MD} = \frac{5}{10} = 0.5
MBMA=36=0.5\frac{MB}{MA} = \frac{3}{6} = 0.5

بما أن:

MCMD=MBMA=0.5\frac{MC}{MD} = \frac{MB}{MA} = 0.5

وحسب النظرية العكسية لنظرية طاليس، فإن المستقيمين متوازيان:

(AD)//(BC)(AD) // (BC)

ثانياً: حساب الطول CBCB:

بما أن المستقيمين متوازيان، فإنه بتطبيق نظرية طاليس المباشرة نجد:

MCMD=MBMA=CBAD\frac{MC}{MD} = \frac{MB}{MA} = \frac{CB}{AD}

بالتعويض بالقيم المعلومة:

0.5=CB80.5 = \frac{CB}{8}

ومنه:

CB=8×0.5=4 cmCB = 8 \times 0.5 = 4\text{ cm}

2/ البرهان على أن المثلث AMDAMD قائم

💡إضاءة وتنبيه:
لإثبات أن مثلثاً قائم المعالم وأطوال أضلاعه الثلاثة معلومة، نطبق النظرية العكسية لفيثاغورس بمقارنة مربع طول الضلع الأطول بمجموع مربعي الطولين الآخرين.
✅الإجابة النموذجية:

أطوال أضلاع المثلث AMDAMD هي: MA=6 cmMA = 6\text{ cm}، AD=8 cmAD = 8\text{ cm}، MD=10 cmMD = 10\text{ cm}.

الضلع الأطول هو [MD][MD].

نحسب مربع الضلع الأطول:

MD2=102=100MD^2 = 10^2 = 100

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

MA2+AD2=62+82=36+64=100MA^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

نلاحظ أن:

MD2=MA2+AD2MD^2 = MA^2 + AD^2

إذن، حسب النظرية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث AMDAMD قائم في الرأس AA.

3/ حساب قيس الزاوية AMD^\widehat{AMD} بالتدوير إلى الوحدة

💡إضاءة وتنبيه:
في المثلث القائم، يمكن حساب قيس أي زاوية حادة باستخدام إحدى النسب المثلثية (جيب التمام، الجيب، أو الظل). سنستخدم هنا جيب تمام الزاوية cos⁡\cos.
✅الإجابة النموذجية:

في المثلث AMDAMD القائم في AA:

cos⁡(AMD^)=المجاورالوتر=MAMD\cos(\widehat{AMD}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{MA}{MD}

بالتعويض العددي:

cos⁡(AMD^)=610=0.6\cos(\widehat{AMD}) = \frac{6}{10} = 0.6

باستخدام الحاسبة (بالضغط على Shift\text{Shift} ثم cos⁡\cos أو cos⁡−1\cos^{-1} للقيمة 0.6):

AMD^≈53.13∘\widehat{AMD} \approx 53.13^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

AMD^≈53∘\widehat{AMD} \approx 53^\circ