لحساب القاسم المشترك الأكبر ($PGCDPGCD$) لعددين طبيعيين، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأكثر سرعة ودقة. نواصل عملية القسمة الإقليدية حتى نحصل على باقٍ معدوم ($00$)، فيكون آخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر للعددين.

نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $792792$ و $550550$:

بما أن الباقي الأخير هو $00$، فإن آخر باقٍ غير معدوم هو $2222$.

القاسم المشترك الأكبر للعددين $550550$ و $792792$ هو:

لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر ($PGCDPGCD$). الكسر الناتج يكون مبسطاً إلى أقصى حد ممكن لأن بسطه ومقامه يصبحان عددين أوليين فيما بينهما.

نقسم بسط ومقام الكسر على $PGCD(792,550)=22PGCD(792,\; 550)\; =\; 22$:

نحسب العمليات:

الكسر غير القابل للاختزال المساوي للكسر المعطى هو:

لحل معادلة من الشكل $x^2=dx^2\; =\; d$ حيث $d>0d\; >\; 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما: $x=\sqrt{d}x\; =\; \backslash sqrt\{d\}$ و $x=-\sqrt{d}x\; =\; -\backslash sqrt\{d\}$.

لتسهيل الحساب، نعوض الكسر المعطى بالكسر غير القابل للاختزال الذي وجدناه في السؤال السابق.

نعوض الكسر بقيمته المختزلة في المعادلة:

بما أن $\frac{25}{36}>0\backslash frac\{25\}\{36\}\; >\; 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

نطبق خواص الجذور التربيعية $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\backslash sqrt\{\backslash frac\{a\}\{b\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a\}\}\{\backslash sqrt\{b\}\}$:

للمعادلة حلان هما:

نعلم أن العبارة $LL$ هي:

لحساب هذه العبارة، نتبع الخطوات التالية:

1. نعوض الكسر $\frac{550}{792}\backslash frac\{550\}\{792\}$ بالكسر المختزل $\frac{25}{36}\backslash frac\{25\}\{36\}$ لتسهيل حساب الجذر.

2. نحسب قيمة الجذر التربيعي.

3. نطبق أولوية العمليات الحسابية (الضرب له الأولوية قبل الجمع).

4. نجمع الكسرين الناتجين بعد توحيد المقامات إن لزم الأمر.

نعوض الكسر المختزل داخل الجذر:

نحسب الجزء الأول (الجذر التربيعي):

نحسب الجزء الثاني (جداء الكسرين مع الاختزال المباشر للعدد $55$ من البسط والمقام):

نعوض القيمتين في العبارة $LL$:

نجمع الكسرين لهما نفس المقام:

لقد تم إثبات أن:

العبارة المعطاة هي:

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً على الشكل $a\sqrt{3}a\backslash sqrt\{3\}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على $33$ لكتابتها على شكل جذاء يكون أحد عامليه مربعاً تاماً ($2525$ و $99$)، ثم نطبق الخاصية $\sqrt{x\times y}=\sqrt{x}\times \sqrt{y}\backslash sqrt\{x\; \backslash times\; y\}\; =\; \backslash sqrt\{x\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{y\}$.

نحلل الأعداد تحت الجذور:

نعوض في العبارة $AA$:

نخرج المربعات التامة من تحت الجذر ($\sqrt{25}=5\backslash sqrt\{25\}\; =\; 5$ و $\sqrt{9}=3\backslash sqrt\{9\}\; =\; 3$):

نأخذ $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ كعامل مشترك:

كتابة العدد $AA$ على الشكل المطلوب هي:

العبارة المعطاة هي:

لجعل مقام كسر عدداً ناطقاً عندما يكون المقام عبارة عن جذر تربيعي منفرد $\sqrt{x}\backslash sqrt\{x\}$، نضرب كلاً من البسط والمقام في هذا الجذر $\sqrt{x}\backslash sqrt\{x\}$. يجب الانتباه لاستعمال الأقواس في البسط لتوزيع الضرب بشكل صحيح.

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$:

ننشر البسط ونبسط المقام مستعملين الخاصية $\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3\backslash sqrt\{3\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{3\}\; =\; 3$:

كتابة الكسر $BB$ بمقام ناطق هي:

العبارة المعطاة هي:

نعوض قيمتي $AA$ و $BB$ المبسطتين اللتين وجدناهما سابقاً:

نعوض في العبارة $EE$:

نختزل الأعداد المتشابهة في البسط والمقام لتسهيل الحساب:

تصبح العبارة:

نحذف الأقواس ونبسط الحدود المتشابهة ($\sqrt{3}-\sqrt{3}=0\backslash sqrt\{3\}\; -\; \backslash sqrt\{3\}\; =\; 0$):

بما أن العدد $33$ هو عدد طبيعي لا يحتوي على فاصلة ولا إشارة سالبة ولا جذر:

لقد تم إثبات أن $EE$ عدد طبيعي حيث: