التصحيح النموذجي الحرفي والدقيق لموضوع الامتحان

التمرين الأول

1. أعط الكتابة العلمية ثم العشرية للعبارة AA حيث: A=270×104×1.6×10−64×10−5×102×0.9A = \frac{270 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-5} \times 10^2 \times 0.9}

أولاً، نبسط البسط والمقام:

A=270×1.6×104−64×0.9×10−5+2A = \frac{270 \times 1.6 \times 10^{4-6}}{4 \times 0.9 \times 10^{-5+2}}
A=270×1.6×10−24×0.9×10−3A = \frac{270 \times 1.6 \times 10^{-2}}{4 \times 0.9 \times 10^{-3}}

ثم نحسب القيم العددية:

270×1.6=432270 \times 1.6 = 432
4×0.9=3.64 \times 0.9 = 3.6

الآن نعوض هذه القيم في المعادلة:

A=432×10−23.6×10−3A = \frac{432 \times 10^{-2}}{3.6 \times 10^{-3}}
A=4323.6×10−2−(−3)A = \frac{432}{3.6} \times 10^{-2 - (-3)}
A=120×101A = 120 \times 10^1
A=1200A = 1200

الكتابة العلمية لـ AA هي:

A=1.2×103A = 1.2 \times 10^3

الكتابة العشرية لـ AA هي:

A=1200A = 1200

2. أوجد PGCD (4761, 2116)

نستخدم خوارزمية أقليدس:

4761=2116×2+5294761 = 2116 \times 2 + 529
2116=529×4+02116 = 529 \times 4 + 0

إذن، PGCD (4761, 2116) هو 529.

3. أوجد الكسر غير القابل لإختزال لـ 47612116\frac{4761}{2116}

نقسم البسط والمقام على PGCD (4761, 2116) = 529:

4761÷5292116÷529=94\frac{4761 \div 529}{2116 \div 529} = \frac{9}{4}

الكسر غير القابل لإختزال هو:

94\frac{9}{4}

4. بين أن 52×110×47612116\frac{5}{2} \times \frac{1}{10} \times \frac{4761}{2116} عدد طبيعي

أولاً، نبسط الكسر:

52×110×47612116=5×1×47612×10×2116\frac{5}{2} \times \frac{1}{10} \times \frac{4761}{2116} = \frac{5 \times 1 \times 4761}{2 \times 10 \times 2116}
=5×476120×2116= \frac{5 \times 4761}{20 \times 2116}
=2380542320= \frac{23805}{42320}

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على PGCD (23805, 42320) = 529:

23805÷52942320÷529=4580\frac{23805 \div 529}{42320 \div 529} = \frac{45}{80}
=916= \frac{9}{16}

الكسر 916\frac{9}{16} ليس عددًا طبيعيًا.

5. حل المعادلة 2116x2+39=48002116x^2 + 39 = 4800

أولاً، نحول المعادلة إلى الشكل القياسي:

2116x2+39−4800=02116x^2 + 39 - 4800 = 0
2116x2−4761=02116x^2 - 4761 = 0

نحل المعادلة التربيعية:

2116x2=47612116x^2 = 4761
x2=47612116x^2 = \frac{4761}{2116}
x2=94x^2 = \frac{9}{4}
x=±94x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}
x=±32x = \pm \frac{3}{2}

الحلول هي:

x=32أوx=−32x = \frac{3}{2} \quad \text{أو} \quad x = -\frac{3}{2}
التمرين الثاني

1. بسط العبارات التالية:

B=381−2B = \sqrt{3} \sqrt{81} - 2
B=3×9−2B = \sqrt{3} \times 9 - 2
B=93−2B = 9\sqrt{3} - 2
C=2108+375−4147C = 2\sqrt{108} + 3\sqrt{75} - 4\sqrt{147}
C=236×3+325×3−449×3C = 2\sqrt{36 \times 3} + 3\sqrt{25 \times 3} - 4\sqrt{49 \times 3}
C=2×63+3×53−4×73C = 2 \times 6\sqrt{3} + 3 \times 5\sqrt{3} - 4 \times 7\sqrt{3}
C=123+153−283C = 12\sqrt{3} + 15\sqrt{3} - 28\sqrt{3}
C=(12+15−28)3C = (12 + 15 - 28)\sqrt{3}
C=−13C = -1\sqrt{3}
C=−3C = -\sqrt{3}
D=628−112−37D = 6\sqrt{28} - \sqrt{112} - 3\sqrt{7}
D=64×7−16×7−37D = 6\sqrt{4 \times 7} - \sqrt{16 \times 7} - 3\sqrt{7}
D=6×27−47−37D = 6 \times 2\sqrt{7} - 4\sqrt{7} - 3\sqrt{7}
D=127−47−37D = 12\sqrt{7} - 4\sqrt{7} - 3\sqrt{7}
D=(12−4−3)7D = (12 - 4 - 3)\sqrt{7}
D=57D = 5\sqrt{7}

2. حول مقام النسبة إلى عدد ناطق: 23−537\frac{2\sqrt{3} - 5}{3\sqrt{7}}

نضرب البسط والمقام في مترافق المقام:

23−537×3737=(23−5)×37(37)2\frac{2\sqrt{3} - 5}{3\sqrt{7}} \times \frac{3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} = \frac{(2\sqrt{3} - 5) \times 3\sqrt{7}}{(3\sqrt{7})^2}
=621−15763= \frac{6\sqrt{21} - 15\sqrt{7}}{63}

النتيجة هي:

621−15763\frac{6\sqrt{21} - 15\sqrt{7}}{63}
التمرين الثالث

1. احسب ABAB و EDED

بما أن (AB)∥(DC)(AB) \parallel (DC) و EE نقطة تقاطع المستقيمين (AD)(AD) و (BC)(BC)، يمكن استخدام نظرية تاليس:

ABDC=EBEC\frac{AB}{DC} = \frac{EB}{EC}
AB20=7.516\frac{AB}{20} = \frac{7.5}{16}
AB=7.5×2016AB = \frac{7.5 \times 20}{16}
AB=15016AB = \frac{150}{16}
AB=9.375 cmAB = 9.375 \, \text{cm}

لحساب EDED:

EDDC=EAEC\frac{ED}{DC} = \frac{EA}{EC}
ED20=1016\frac{ED}{20} = \frac{10}{16}
ED=10×2016ED = \frac{10 \times 20}{16}
ED=20016ED = \frac{200}{16}
ED=12.5 cmED = 12.5 \, \text{cm}

2. هل المستقيمان (BC)(BC) و (AD)(AD) متوازيان؟ علل ذلك.

بما أن (AB)∥(DC)(AB) \parallel (DC) و EE نقطة تقاطع المستقيمين (AD)(AD) و (BC)(BC)، فإن المستقيمين (BC)(BC) و (AD)(AD) ليسا متوازيين لأنهما يتقاطعان في النقطة EE.

3. ما نوع المثلث EDCEDC؟ علل ذلك.

نحسب أطوال أضلاع المثلث EDCEDC:

ED=12.5 cmED = 12.5 \, \text{cm}
EC=16 cmEC = 16 \, \text{cm}
DC=20 cmDC = 20 \, \text{cm}

نتحقق من نظرية فيثاغورس:

ED2+EC2=12.52+162=156.25+256=412.25ED^2 + EC^2 = 12.5^2 + 16^2 = 156.25 + 256 = 412.25
DC2=202=400DC^2 = 20^2 = 400

بما أن ED2+EC2≠DC2ED^2 + EC^2 \neq DC^2، فإن المثلث EDCEDC ليس قائم الزاوية.

نتحقق من المثلث المتساوي الساقين:

ED≠EC≠DCED \neq EC \neq DC

إذن، المثلث EDCEDC هو مثلث مختلف الأضلاع.

4. احسب ADAD

نستخدم نظرية تاليس مرة أخرى:

ADDC=EAEC\frac{AD}{DC} = \frac{EA}{EC}
AD20=1016\frac{AD}{20} = \frac{10}{16}
AD=10×2016AD = \frac{10 \times 20}{16}
AD=20016AD = \frac{200}{16}
AD=12.5 cmAD = 12.5 \, \text{cm}

جدول سلم التنقيط (20/20)

التمرين / السؤالالنقاط
التمرين الأول / 12
التمرين الأول / 22
التمرين الأول / 32
التمرين الأول / 42
التمرين الأول / 52
التمرين الثاني / 13
التمرين الثاني / 23
التمرين الثالث / 13
التمرين الثالث / 22
التمرين الثالث / 32
التمرين الثالث / 42
المجموع الكلي20

بالتوفيق للجميع!