Sujet n° 56 - devoir Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2020Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Devoir surveillé) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 56

Solution IA2020

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 56 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول

📌

التمرين الأول (08 نقاط)

1. حساب العدد $A$

العدد $A$ هو القاسم المشترك الأكبر للعددين $8294$ و $4830$ ، أي:

A = \text{PGCD}(8294; 4830)

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لعددين طبيعيين كبيرين، يُفضل استخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها أسرع وأدق مقارنة بطريقة الفروق المتتالية.

✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

8294 = 4830 \times 1 + 3464

4830 = 3464 \times 1 + 1366

3464 = 1366 \times 2 + 732

1366 = 732 \times 1 + 634

732 = 634 \times 1 + 98

634 = 98 \times 6 + 46

98 = 46 \times 2 + 6

46 = 6 \times 7 + 4

6 = 4 \times 1 + 2

4 = 2 \times 2 + 0

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو $2$ ، فإن:

A = \text{PGCD}(8294; 4830) = 2

2. تبسيط العبارة $B$

العبارة المعطاة هي:

B = 2\sqrt{3} \times \sqrt{2} + \sqrt{245} - \sqrt{180} - \sqrt{24}

💡إضاءة وتنبيه:

لتبسيط عبارة تتضمن جذوراً تربيعية، نقوم بكتابة الأعداد تحت الجذور على الشكل

a^2 \times b

حيث

a

عدد طبيعي و

b

أصغر ما يمكن، مع الاستعانة بخواص الحساب على الجذور مثل

\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}

✅الإجابة النموذجية:

نقوم بتبسيط كل حد من حدود العبارة $B$ على حدة:

2\sqrt{3} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{3 \times 2} = 2\sqrt{6}

\sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = \sqrt{7^2 \times 5} = 7\sqrt{5}

\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{6^2 \times 5} = 6\sqrt{5}

\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{2^2 \times 6} = 2\sqrt{6}

الآن، نعوض هذه القيم المبسطة في العبارة $B$ :

B = 2\sqrt{6} + 7\sqrt{5} - 6\sqrt{5} - 2\sqrt{6}

نجمع الحدود المتشابهة:

B = (2\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) + (7\sqrt{5} - 6\sqrt{5})

B = 0 + 1\sqrt{5}

B = \sqrt{5}

3. تبيين أن $C(A + 3B)$ هو عدد ناطق

لدينا القيم التالية:

A = 2

B = \sqrt{5}

C = 2 - 3\sqrt{5}

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات أن عبارة ما تمثل عدداً ناطقاً، نقوم بالتعويض المباشر ثم النشر والتبسيط مستعينين بالمتطابقات الشهيرة إن أمكن، وتحديداً المتطابقة الشهيرة الثالثة:

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

✅الإجابة النموذجية:

نعوض قيم $A$ ، $B$ و $C$ في العبارة:

C(A + 3B) = (2 - 3\sqrt{5})(2 + 3\sqrt{5})

نلاحظ أن هذه العبارة مكتوبة على شكل المتطابقة الشهيرة الثالثة $(a-b)(a+b)$ حيث $a = 2$ و $b = 3\sqrt{5}$ :

C(A + 3B) = (2)^2 - (3\sqrt{5})^2

C(A + 3B) = 4 - (3^2 \times (\sqrt{5})^2)

C(A + 3B) = 4 - (9 \times 5)

C(A + 3B) = 4 - 45

C(A + 3B) = -41

بما أن العدد $-41$ هو عدد صحيح نسبي (وبالتالي هو عدد ناطق مقامه $1$ )، فقد تم إثبات المطلوب.

4. جعل مقام النسبة $\frac{C}{B}$ عدداً ناطقاً

النسبة هي:

\frac{C}{B} = \frac{2 - 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

💡إضاءة وتنبيه:

لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً عندما يكون المقام عبارة عن جذر تربيعي وحيد

\sqrt{d}

، نضرب كلاً من البسط والمقام في

\sqrt{d}

. يجب وضع البسط بين قوسين لتوزيع الضرب بشكل صحيح.

✅الإجابة النموذجية:

نضرب بسط ومقام النسبة في $\sqrt{5}$ :

\frac{C}{B} = \frac{(2 - 3\sqrt{5}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}

ننشر البسط ونبسط المقام:

\frac{C}{B} = \frac{2 \times \sqrt{5} - 3\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{5}

\frac{C}{B} = \frac{2\sqrt{5} - 3 \times 5}{5}

\frac{C}{B} = \frac{2\sqrt{5} - 15}{5}

📌

التمرين الثاني (06 نقاط)

1. حساب أكبر عدد من الأفواج التي يمكن تشكيلها

لدينا:

عدد المترشحين الإجمالي:

640

مترشحاً.

عدد الذكور:

416

ذكراً.

عدد الإناث:

640 - 416 = 224

أنثى.

تريد الإدارة توزيعهم على أفواج متجانسة (أي أن كل فوج يحتوي على نفس عدد الذكور ونفس عدد الإناث).

💡إضاءة وتنبيه:

أكبر عدد من الأفواج المتجانسة التي يمكن تشكيلها يمثل هندسياً ورياضياً القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لعدد الذكور وعدد الإناث.

✅الإجابة النموذجية:

نبحث أولاً عن عدد الإناث:

\text{عدد الإناث} = 640 - 416 = 224

أكبر عدد من الأفواج التي يمكن تشكيلها هو $\text{PGCD}(416; 224)$ .

نستخدم خوارزمية إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر:

416 = 224 \times 1 + 192

224 = 192 \times 1 + 32

192 = 32 \times 6 + 0

بما أن آخر باقٍ غير معدوم هو $32$ ، فإن:

\text{PGCD}(416; 224) = 32

إذن، أكبر عدد من الأفواج التي يمكن للإدارة تشكيلها هو 32 فوجاً.

2. حساب عدد الذكور والإناث في كل حجرة (فوج)

✅الإجابة النموذجية:

عدد الذكور في كل حجرة:

\frac{416}{32} = 13 \text{ ذكور}

عدد الإناث في كل حجرة:

\frac{224}{32} = 7 \text{ إناث}

📌

التمرين الثالث (05 نقاط)

إثبات أن $x = 2\sqrt{3}$

من معطيات الشكل:

المستقيمان

(EG)

(FH)

متقاطعان في النقطة

O

المستقيمان

(GH)

(EF)

متوازيان:

(GH) // (EF)

الأطوال المعطاة:

OE = 8

OH = 3

OG = x

OF = 2x

💡إضاءة وتنبيه:

بما أن المستقيمين متوازيان وهناك تقاطع في نقطة مشتركة تشكل وضعية الفراشة (أو وضعية طاليس)، فإننا نطبق نظرية طاليس المباشرة لكتابة النسب المتساوية واستخراج المجهول

x

✅الإجابة النموذجية:

بما أن النقط $E, O, G$ في استقامية والنقط $F, O, H$ في استقامية وبنفس الترتيب، وبما أن المستقيمين $(GH)$ و $(EF)$ متوازيان، فإنه حسب نظرية طاليس لدينا:

\frac{OG}{OE} = \frac{OH}{OF}

بالتعويض بالأطوال المعطاة نجد:

\frac{x}{8} = \frac{3}{2x}

باستعمال الجداء المتصالب (الوسطين في الطرفين):

x \times 2x = 8 \times 3

2x^2 = 24

نقسم الطرفين على $2$ :

x^2 = \frac{24}{2}

x^2 = 12

بما أن $x$ يمثل طولاً، فإن قيمته يجب أن تكون موجبة تماماً ( $x > 0$ ):

x = \sqrt{12}

نبسط الجذر التربيعي:

x = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}

وهو المطلوب إثباته.

📌

الجزء الثاني (08 نقاط)

1. نقل وإتمام جدول الأوزان مع تبيين مراحل الحساب

لدينا جدول التكرارات المجمعة المتناقصة لـ 50 طفلاً:

الأوزان ( $kg$ )	$p \ge 4$	$p \ge 6$	$p \ge 8$	$p \ge 10$	$p \ge 12$
التكرارات المجمعة المتناقصة	50	44	31	14	4

💡إضاءة وتنبيه:

التكرار المجمع المتناقص لفئة معينة يمثل عدد القيم التي تفوق أو تساوي الحد الأدنى لهذه الفئة. للحصول على التكرار البسيط لكل فئة، نقوم بطرح التكرار المجمع المتناقص للفئة الموالية من التكرار المجمع المتناقص للفئة الحالية.

✅الإجابة النموذجية:

مراحل الحساب:

تكرار الفئة $[12; 14[$ هو عدد الأطفال الذين وزنهم $p \ge 12$ ، وهو: $4$ .

تكرار الفئة $[10; 12[$ هو: $14 - 4 = 10$ .

تكرار الفئة $[8; 10[$ هو: $31 - 14 = 17$ .

تكرار الفئة $[6; 8[$ هو: $44 - 31 = 13$ .

تكرار الفئة $[4; 6[$ هو: $50 - 44 = 6$ .

الجدول بعد الإتمام:

فئة الأوزان ( $kg$ )	$4 \le p < 6$	$6 \le p < 8$	$8 \le p < 10$	$10 \le p < 12$	$12 \le p < 14$
التكرارات	6	13	17	10	4

2. حساب معدل أوزان أطفال دار الحضانة ( $M$ )

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب المعدل الحسابي المتوازن لفئات، يجب أولاً تعيين مركز كل فئة ( $c_i$ ) بالقانون: $\text{مركز الفئة} = \frac{\text{الحد الأدنى} + \text{الحد الأعلى}}{2}$ ، ثم نضرب مركز كل فئة في تكرارها ونقسم المجموع على التكرار الكلي $N = 50$ .

✅الإجابة النموذجية:

حساب مراكز الفئات ( $c_i$ ):

مركز الفئة $[4; 6[$ : $c_1 = \frac{4+6}{2} = 5$

مركز الفئة $[6; 8[$ : $c_2 = \frac{6+8}{2} = 7$

مركز الفئة $[8; 10[$ : $c_3 = \frac{8+10}{2} = 9$

مركز الفئة $[10; 12[$ : $c_4 = \frac{10+12}{2} = 11$

مركز الفئة $[12; 14[$ : $c_5 = \frac{12+14}{2} = 13$

حساب المعدل ( $M$ ):

$M = \frac{(6 \times 5) + (13 \times 7) + (17 \times 9) + (10 \times 11) + (4 \times 13)}{50}$

$M = \frac{30 + 91 + 153 + 110 + 52}{50}$

$M = \frac{436}{50} = 8.72 \text{ kg}$

إذن، معدل أوزان أطفال دار الحضانة هو $8.72 \text{ kg}$ .

3. تحديد الفئة التي ينتمي إليها وسيط الأوزان

💡إضاءة وتنبيه:

لتحديد فئة الوسيط، نحسب رتبة الوسيط وهي $\frac{N}{2}$ (حيث $N$ هو التكرار الكلي). ثم نبحث عن الفئة التي تشمل هذه الرتبة باستخدام التكرار المجمع المتزايد (التصاعدي).

✅الإجابة النموذجية:

التكرار الإجمالي هو $N = 50$ (عدد زوجي).

رتبة الوسيط هي: $\frac{50}{2} = 25$ .

لننشئ جدول التكرار المجمع المتزايد (التصاعدي):

فئة الأوزان	$[4; 6[$	$[6; 8[$	$[8; 10[$	$[10; 12[$	$[12; 14[$
التكرار	6	13	17	10	4
التكرار المجمع المتزايد	6	19	36	46	50

نلاحظ أن التكرار المجمع المتزايد للفئة $[6; 8[$ هو $19$ (أقل من 25)، بينما التكرار المجمع المتزايد للفئة $[8; 10[$ هو $36$ (أكبر من أو يساوي 25).

هذا يعني أن القيمة ذات الرتبة 25 تقع في الفئة $[8; 10[$ .

إذن، الفئة التي ينتمي إليها وسيط الأوزان هي $[8; 10[$ .

4. نقل وإتمام جدول الصيغتين مع تبيين مراحل الحساب

الصيغة الأولى: دفع $4200 \text{ DA}$ كمشاركة سنوية ثابتة مع تسديد $60\%$ من قيمة دفع الصيغة الثانية شهرياً.

قيمة دفع الصيغة الثانية شهرياً هي $1500 \text{ DA}$ .

المبلغ الشهري للصيغة الأولى: $1500 \times \frac{60}{100} = 900 \text{ DA}$ .

المبلغ الإجمالي للصيغة الأولى لـ $x$ شهراً: $f(x) = 900x + 4200$ .

الصيغة الثانية: دفع $1500 \text{ DA}$ شهرياً.

المبلغ الإجمالي للصيغة الثانية لـ $x$ شهراً: $g(x) = 1500x$ .

✅الإجابة النموذجية:

مراحل الحساب لتعبئة الجدول:

العمود الأول (عندما يكون المبلغ المدفوع بالصيغة الأولى هو $6900 \text{ DA}$ ):

نبحث عن عدد الأشهر $x$ :

$900x + 4200 = 6900 \implies 900x = 6900 - 4200$

$900x = 2700 \implies x = \frac{2700}{900} = 3 \text{ أشهر}$

نحسب المبلغ المقابل بالصيغة الثانية لـ 3 أشهر:

$1500 \times 3 = 4500 \text{ DA}$

العمود الثاني (عندما يكون المبلغ المدفوع بالصيغة الثانية هو $10500 \text{ DA}$ ):

نبحث عن عدد الأشهر $x$ :

$1500x = 10500 \implies x = \frac{10500}{1500} = 7 \text{ أشهر}$

نحسب المبلغ المقابل بالصيغة الأولى لـ 7 أشهر:

$900(7) + 4200 = 6300 + 4200 = 10500 \text{ DA}$

الجدول بعد الإتمام:

عدد الأشهر	3	7
المبلغ المدفوع بالصيغة الأولى ( $DA$ )	6900	10500
المبلغ المدفوع بالصيغة الثانية ( $DA$ )	4500	10500

5. التعبير عن $f(x)$ و $g(x)$ بدلالة $x$

✅الإجابة النموذجية:

الدالة $f(x)$ (تمثل الصيغة الأولى وهي دالة تآلفية):

$f(x) = 900x + 4200$

الدالة $g(x)$ (تمثل الصيغة الثانية وهي دالة خطية):

$g(x) = 1500x$

6. التمثيل البياني للدالتين $f$ و $g$

مقياس الرسم:

على محور الفواصل: $1 \text{ cm}$ يمثل $1$ شهر.

على محور التراتيب: $1 \text{ cm}$ يمثل $1000 \text{ DA}$ .

💡إضاءة وتنبيه:

لتمثيل الدالة الخطية $g(x)$ ، نحتاج لنقطتين إحداهما المبدأ $(0;0)$ . ولتمثيل الدالة التآلفية $f(x)$ ، نختار نقطتين مساعدتين لتسهيل الرسم بدقة.

✅الإجابة النموذجية:

نقاط مساعدة لرسم المستقيم $(D_1)$ الممثل للدالة $f(x) = 900x + 4200$ :

إذا كان $x = 0$ : $f(0) = 4200$ $\rightarrow$ النقطة الأولى هي $(0; 4200)$ .

إذا كان $x = 7$ : $f(7) = 10500$ $\rightarrow$ النقطة الثانية هي $(7; 10500)$ .

نقاط مساعدة لرسم المستقيم $(D_2)$ الممثل للدالة $g(x) = 1500x$ :

إذا كان $x = 0$ : $g(0) = 0$ $\rightarrow$ النقطة الأولى هي $(0; 0)$ .

إذا كان $x = 7$ : $g(7) = 10500$ $\rightarrow$ النقطة الثانية هي $(7; 10500)$ .

(عند الرسم على ورقة مليمترية، يتم تحديد محور الفواصل بالشهور ومحور التراتيب بالمبالغ بالدينار، ثم رسم المستقيمين اللذين يتقاطعان في النقطة $(7; 10500)$ ).

7. حل الجملة التالية رياضياً

$\begin{cases} 300x - y = -1400 \quad \text{..... (1)} \\ 500x - y = 0 \quad \text{..... (2)} \end{cases}$

✅الإجابة النموذجية:

من المعادلة (2) نستخرج قيمة $y$ بدلالة $x$ :

$y = 500x$

نعوض قيمة $y$ في المعادلة (1):

$300x - 500x = -1400$

$-200x = -1400$

$x = \frac{-1400}{-200} = 7$

الآن، نعوض قيمة $x = 7$ في المعادلة المستخرجة لـ $y$ :

$y = 500 \times 7 = 3500$

إذن، حل الجملة هو الثنائية المرتبة: $(x; y) = (7; 3500)$ .

8. تفسير حل الجملة

💡إضاءة وتنبيه:

نلاحظ أن معادلات الجملة هي عبارة عن قسمة معادلتي الدالتين $f(x)$ و $g(x)$ على العدد $3$ . حيث أن $y$ في الجملة يمثل ثلث المبلغ الإجمالي الفعلي ( $y = \frac{\text{المبلغ}}{3}$ ).

✅الإجابة النموذجية:

القيمة $x = 7$ تمثل عدد الأشهر التي يتساوى فيها المبلغ المدفوع بالصيغتين الأولى والثانية.

القيمة $y = 3500$ تمثل ثلث هذا المبلغ المتساوي، حيث يكون المبلغ الإجمالي الفعلي المدفوع هو:

$3 \times y = 3 \times 3500 = 10500 \text{ DA}$

التفسير: عند الحضانة لمدة 7 أشهر، تتساوى التكلفة بالصيغتين وتكون القيمة الإجمالية المدفوعة هي $10500 \text{ DA}$ .

9. تحديد أفضل صيغة للزبون (بيانياً وحسابياً)

✅الإجابة النموذجية:

حسابياً:

نقارن بين الصيغتين بحل المتراجحة $f(x) < g(x)$ لمعرفة متى تكون الصيغة الأولى أفضل (أرخص):

$900x + 4200 < 1500x$

$4200 < 1500x - 900x$

$4200 < 600x$

$x > \frac{4200}{600}$

$x > 7$

بيانياً:

إذا كانت مدة الحضانة أقل من 7 أشهر ( $x < 7$ ): نلاحظ بيانيا أن المستقيم $(D_2)$ الممثل للصيغة الثانية يقع تحت المستقيم $(D_1)$ الممثل للصيغة الأولى، وبالتالي الصيغة الثانية هي الأفضل (الأرخص) للزبون.

إذا كانت مدة الحضانة تساوي 7 أشهر تماماً ( $x = 7$ ): يتقاطع المستقيمان، وبالتالي الصيغتان متساويتان في التكلفة ( $10500 \text{ DA}$ ).

إذا كانت مدة الحضانة أكبر من 7 أشهر ( $x > 7$ ): نلاحظ بيانياً أن المستقيم $(D_1)$ الممثل للصيغة الأولى يقع تحت المستقيم $(D_2)$ الممثل للصيغة الثانية، وبالتالي الصيغة الأولى هي الأفضل (الأرخص) للزبون.

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Devoirs du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 121 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 120 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 119 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 118 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

AfficherMasquer

Télécharger le sujet PDF212 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentDevoir surveillé

Période1er Trimestre (2020)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Devoir surveillé en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 56 - devoir Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 56 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول (08 نقاط)

1. حساب العدد AAA

2. تبسيط العبارة BBB

3. تبيين أن C(A+3B)C(A + 3B)C(A+3B) هو عدد ناطق

4. جعل مقام النسبة CB\frac{C}{B}BC​ عدداً ناطقاً

التمرين الثاني (06 نقاط)

1. حساب أكبر عدد من الأفواج التي يمكن تشكيلها

2. حساب عدد الذكور والإناث في كل حجرة (فوج)

التمرين الثالث (05 نقاط)

إثبات أن x=23x = 2\sqrt{3}x=23​

الجزء الثاني (08 نقاط)

1. نقل وإتمام جدول الأوزان مع تبيين مراحل الحساب

2. حساب معدل أوزان أطفال دار الحضانة (MMM)

3. تحديد الفئة التي ينتمي إليها وسيط الأوزان

4. نقل وإتمام جدول الصيغتين مع تبيين مراحل الحساب

5. التعبير عن f(x)f(x)f(x) و g(x)g(x)g(x) بدلالة xxx

6. التمثيل البياني للدالتين fff و ggg

7. حل الجملة التالية رياضياً

8. تفسير حل الجملة

9. تحديد أفضل صيغة للزبون (بيانياً وحسابياً)

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1. حساب العدد $A$

2. تبسيط العبارة $B$

3. تبيين أن $C(A + 3B)$ هو عدد ناطق

4. جعل مقام النسبة $\frac{C}{B}$ عدداً ناطقاً

إثبات أن $x = 2\sqrt{3}$

2. حساب معدل أوزان أطفال دار الحضانة ( $M$ )

5. التعبير عن $f(x)$ و $g(x)$ بدلالة $x$

6. التمثيل البياني للدالتين $f$ و $g$