📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 63 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول

1. إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 1215 و 945

لحساب القاسم المشترك الأكبر PGCD(1215,945)\text{PGCD}(1215, 945)، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

1215=945×1+2701215 = 945 \times 1 + 270
945=270×3+135945 = 270 \times 3 + 135
270=135×2+0270 = 135 \times 2 + 0

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 135، فإن:

PGCD(1215,945)=135\text{PGCD}(1215, 945) = 135
💡إضاءة وتنبيه:
خوارزمية إقليدس تعتمد على قسمة المقسوم على القاسم للحصول على الباقي، ثم نكرر العملية بجعل القاسم مقسوماً والباقي قاسماً حتى نحصل على باقي معدوم. القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم.
✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 1215 و 945 هو:

PGCD(1215,945)=135\text{PGCD}(1215, 945) = 135

2. هل العددان 945 و 1215 أوليان فيما بينهما؟ مع التعليل

العددان أوليا فيما بينهما إذا وفقط إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1.

بما أن:

PGCD(1215,945)=135≠1\text{PGCD}(1215, 945) = 135 \neq 1

فإن العددين ليسا أوليين فيما بينهما.

💡إضاءة وتنبيه:
يمكن أيضاً تعليل ذلك مباشرة دون حساب الـ PGCD\text{PGCD} بملاحظة أن رقم آحاد كلا العددين هو 5، مما يعني أنهما يقبلان القسمة على 5 (حسب قواعد قابلية القسمة)، وبالتالي يوجد قاسم مشترك لهما غير الـ 1.
✅الإجابة النموذجية:

العددان 945 و 1215 ليسا أوليين فيما بينهما، لأن قاسمهما المشترك الأكبر لا يساوي 1:

PGCD(1215,945)=135≠1\text{PGCD}(1215, 945) = 135 \neq 1

3. كتابة الكسر 9451215\frac{945}{1215} على شكل كسر غير قابل للاختزال

لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر 135135:

9451215=945÷1351215÷135=79\frac{945}{1215} = \frac{945 \div 135}{1215 \div 135} = \frac{7}{9}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال المساوي للكسر 9451215\frac{945}{1215} هو:

9451215=79\frac{945}{1215} = \frac{7}{9}

4. حساب العبارة التالية: 195−45×72\frac{19}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{7}{2}

لتعبيرات تتضمن الطرح والضرب، تعطى الأولوية لعملية الضرب أولاً:

خطوة 1: حساب عملية الضرب:
45×72=4×75×2=2810\frac{4}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{4 \times 7}{5 \times 2} = \frac{28}{10}

نختزل الكسر الناتج بالقسمة على 2:

28÷210÷2=145\frac{28 \div 2}{10 \div 2} = \frac{14}{5}
خطوة 2: إجراء عملية الطرح:
195−145=19−145=55=1\frac{19}{5} - \frac{14}{5} = \frac{19 - 14}{5} = \frac{5}{5} = 1
💡إضاءة وتنبيه:
يجب دائماً احترام ترتيب العمليات الحسابية (الأقواس، الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين).
✅الإجابة النموذجية:

حساب العبارة:

195−45×72=195−145=55=1\frac{19}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{19}{5} - \frac{14}{5} = \frac{5}{5} = 1
📌

التمرين الثاني

1. كتابة العددين CC و DD على الشكل aba\sqrt{b}

حيث aa و bb عددان طبيعيان و bb أصغر ما يمكن.

كتابة العدد CC:

C=220−75+245C = 2\sqrt{20} - 7\sqrt{5} + 2\sqrt{45}

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاءات يظهر فيها المربع التام المناسب (العدد 5 هو أصغر قيمة تحت الجذر):

20=4×5=22×520 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5
45=9×5=32×545 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5

نعوض في العبارة:

C=24×5−75+29×5C = 2\sqrt{4 \times 5} - 7\sqrt{5} + 2\sqrt{9 \times 5}
C=2×25−75+2×35C = 2 \times 2\sqrt{5} - 7\sqrt{5} + 2 \times 3\sqrt{5}
C=45−75+65C = 4\sqrt{5} - 7\sqrt{5} + 6\sqrt{5}

نستخرج 5\sqrt{5} كعامل مشترك:

C=(4−7+6)5C = (4 - 7 + 6)\sqrt{5}
C=35C = 3\sqrt{5}

(هنا a=3a = 3 و b=5b = 5).

✅الإجابة النموذجية لـ CC:
C=35C = 3\sqrt{5}

كتابة العدد DD:

D=48−200+1372D = 4\sqrt{8} - \sqrt{200} + 13\sqrt{72}

نحلل الأعداد تحت الجذور بحيث يظهر المربع التام المناسب (العدد 2 هو أصغر قيمة تحت الجذر):

8=4×2=22×28 = 4 \times 2 = 2^2 \times 2
200=100×2=102×2200 = 100 \times 2 = 10^2 \times 2
72=36×2=62×272 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2

نعوض في العبارة:

D=44×2−100×2+1336×2D = 4\sqrt{4 \times 2} - \sqrt{100 \times 2} + 13\sqrt{36 \times 2}
D=4×22−102+13×62D = 4 \times 2\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 13 \times 6\sqrt{2}
D=82−102+782D = 8\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 78\sqrt{2}

نستخرج 2\sqrt{2} كعامل مشترك:

D=(8−10+78)2D = (8 - 10 + 78)\sqrt{2}
D=762D = 76\sqrt{2}

(هنا a=76a = 76 و b=2b = 2).

✅الإجابة النموذجية لـ DD:
D=762D = 76\sqrt{2}

2. جعل مقام النسبة 35+5C\frac{35 + \sqrt{5}}{C} عدداً ناطقاً

لدينا من السؤال السابق: C=35C = 3\sqrt{5}.

نعوض قيمة CC في النسبة:

35+535\frac{35 + \sqrt{5}}{3\sqrt{5}}

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 5\sqrt{5}:

(35+5)×535×5\frac{(35 + \sqrt{5}) \times \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \times \sqrt{5}}

ننشر البسط ونبسط المقام:

=355+(5)23×5= \frac{35\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{3 \times 5}
=355+515= \frac{35\sqrt{5} + 5}{15}

يمكننا اختزال النسبة بقسمة كل حدود البسط والمقام على 5:

=5(75+1)15=75+13= \frac{5(7\sqrt{5} + 1)}{15} = \frac{7\sqrt{5} + 1}{3}
💡إضاءة وتنبيه:
عند ضرب البسط المكون من حدين في جذر، يجب استخدام الأقواس لتوزيع الضرب على كلا الحدين تفادياً للأخطاء الحسابية الشائعة.
✅الإجابة النموذجية:

كتابة النسبة بمقام ناطق:

35+5C=75+13\frac{35 + \sqrt{5}}{C} = \frac{7\sqrt{5} + 1}{3}