Sujet n° 79 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2021Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 79

Solution IA2021

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 79 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

الجزء الأول: (12 نقطة)

📌

التمرين الأول: (06 نقاط)

لتكن العبارة الجبرية:

A = (2x - 1)^2 - 3(2x - 1)

1. نشر وتبسيط العبارة $A$ :

💡إضاءة وتنبيه:

لنشر الطرف الأول $(2x - 1)^2$ نطبق المتطابقة الشهيرة الثانية $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ، ثم نوزع العدد $-3$ على حدود القوس الثاني $(2x - 1)$ .

A = \left( (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 \right) - 3(2x) - 3(-1)

A = (4x^2 - 4x + 1) - 6x + 3

A = 4x^2 - 4x - 6x + 1 + 3

✅الإجابة النموذجية:

العبارة المبسطة للعبارة $A$ هي:

A = 4x^2 - 10x + 4

2. تحليل العبارة $A$ إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى:

💡إضاءة وتنبيه:

نلاحظ وجود عامل مشترك بين الحدين وهو القوس $(2x - 1)$ . نخرجه كعامل مشترك ونبسط ما تبقى داخل المعقوفتين.

A = (2x - 1)^2 - 3(2x - 1)

A = (2x - 1) \cdot \left[ (2x - 1) - 3 \right]

A = (2x - 1) (2x - 1 - 3)

✅الإجابة النموذجية:

التحليل النهائي للعبارة $A$ هو:

A = (2x - 1)(2x - 4)

3. حل المعادلة $A = 0$ :

💡إضاءة وتنبيه:

نعتمد على العبارة المحللة $(2x - 1)(2x - 4) = 0$ لتطبيق خاصية الجداء المعدوم: جوداء عاملين يساوي الصفر يعني أن أحدهما على الأقل يساوي الصفر.

(2x - 1)(2x - 4) = 0

إما:

2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}

أو:

2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = \frac{4}{2} = 2

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما:

x = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad x = 2

4. حل المتراجحة $A + 2 < 4x^2 - x + 3$ مع تمثيل حلولها بيانيًا:

نعوض العبارة المنشورة $A = 4x^2 - 10x + 4$ في المتراجحة:

(4x^2 - 10x + 4) + 2 < 4x^2 - x + 3

4x^2 - 10x + 6 < 4x^2 - x + 3

نطرح $4x^2$ من الطرفين:

-10x + 6 < -x + 3

ننقل المجاهيل إلى طرف والمعاليم إلى طرف:

-10x + x < 3 - 6

-9x < -3

💡إضاءة وتنبيه:

عند القسمة على عدد سالب (وهو $-9$ )، يتغير اتجاه رمز المتراجحة من (أصغر من) إلى (أكبر من).

x > \frac{-3}{-9}

x > \frac{1}{3}

✅الإجابة النموذجية:

حلول المتراجحة هي كل أعداد $x$ الأكبر تمامًا من $\frac{1}{3}$ .

التمثيل البياني للحلول:

نرسم مستقيمًا مدرجًا، نحدد عليه القيمة $\frac{1}{3}$ :

تشطب القيم الأصغر من أو تساوي $\frac{1}{3}$ (الجهة اليسرى).

توجَّه العارضة نحو جهة اليمين (جهة الحلول المقبولة) لأن الرمز أكبر تمامًا $>$ :

`---------[|||||||||||||||||>`

` 1/3`

`(الحلول هي الأعداد على اليمين)`

📌

التمرين الثاني: (03 نقاط)

الأعداد النسبية المعطاة هي:

$A = 2\sqrt{75}, \quad B = \sqrt{48}, \quad C = \sqrt{5}, \quad D = 7\sqrt{3}$

1. كتابة العددين $A$ و $B$ على الشكل $a\sqrt{3}$ :

كتابة $A$ :

$A = 2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \times 3} = 2 \times \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 2 \times 5 \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$

كتابة $B$ :

$B = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

✅الإجابة النموذجية:

$A = 10\sqrt{3} \quad \text{و} \quad B = 4\sqrt{3}$

2. تبيان أن $(A \times C)^2 = 1500$ :

نعوض القيمتين $A = 10\sqrt{3}$ و $C = \sqrt{5}$ :

$A \times C = 10\sqrt{3} \times \sqrt{5} = 10\sqrt{3 \times 5} = 10\sqrt{15}$

نتربع النتيجة:

$(A \times C)^2 = (10\sqrt{15})^2 = 10^2 \times (\sqrt{15})^2 = 100 \times 15 = 1500$

✅الإجابة النموذجية:

بالفعل، قد أثبتنا أن:

$(A \times C)^2 = 1500$

3. جعل مقام النسبة $K$ عددًا ناطقًا:

النسبة المعطاة هي:

$K = \frac{\sqrt{7} - 2}{3\sqrt{7}}$

نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر التربيعي $\sqrt{7}$ :

$K = \frac{(\sqrt{7} - 2) \times \sqrt{7}}{3\sqrt{7} \times \sqrt{7}}$

$K = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{7} - 2 \times \sqrt{7}}{3 \times 7}$

$K = \frac{7 - 2\sqrt{7}}{21}$

✅الإجابة النموذجية:

كتابة النسبة بمقام ناطق:

$K = \frac{7 - 2\sqrt{7}}{21}$

📌

التمرين الثالث: (03 نقاط)

1. هل العددان 162 و 243 أوليان فيما بينهما؟

💡إضاءة وتنبيه:

يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1.

نلاحظ أن:

مجموع أرقام العدد 162 هو $1 + 6 + 2 = 9$ (يقبل القسمة على 9).

مجموع أرقام العدد 243 هو $2 + 4 + 3 = 9$ (يقبل القسمة على 9).

بما أن العددين يقبلان القسمة على 9، فإن لديهما قاسماً مشتركاً أكبر من 1.

✅الإجابة النموذجية:

العددان 162 و 243 ليسا أوليين فيما بينهما لأن هناك قواسم مشتركة بينهما غير العدد 1 (مثل 3 و 9).

2. تبيان أن $M = 1$ حيث $M = \frac{3}{2} \times \frac{162}{243}$ :

نحسب أولاً القاسم المشترك الأكبر للأعداد 243 و 162 باستعمال خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

$243 = 162 \times 1 + 81$

$162 = 81 \times 2 + 0$

آخر باقي غير معدوم هو $81$ ، إذن:

$\text{PGCD}(243, 162) = 81$

نختزل الكسر $\frac{162}{243}$ بالقسمة على $81$ :

$\frac{162 \div 81}{243 \div 81} = \frac{2}{3}$

نعوض الكسر المختزل في العبارة $M$ :

$M = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1$

✅الإجابة النموذجية:

قد أثبتنا أن قيمة $M$ تساوي تمامًا $1$ .

3. حساب أكبر عدد من الورود في كل باقة:

💡إضاءة وتنبيه:

لتجميع الورود الحمراء (162) والبيضاء (243) في باقات متماثلة وبها نفس العدد دون إبقاء أي وردة، يجب أن يكون عدد الورود في كل باقة هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 162 و 243.

$\text{عدد الورود في كل باقة} = \text{PGCD}(243, 162) = 81$

✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد من الورود في كل باقة هو 81 وردة.

4. حساب عدد الباقات الحمراء وعدد الباقات البيضاء:

عدد الباقات الحمراء:

$\frac{162}{81} = 2 \text{ باقتين}$

عدد الباقات البيضاء:

$\frac{243}{81} = 3 \text{ باقات}$

✅الإجابة النموذجية:

عدد الباقات الحمراء: 2 باقة.

عدد الباقات البيضاء: 3 باقات.

المجموع الكلي للباقات: 5 باقات.

📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

1. حساب الطول $DA$ :

في المثلث $CAD$ القائم في $A$ (لأن ركيزة الشاحنة عمودية على الأرضية الأفقية):

تطبيق خاصية فيثاغورس على المثلث القائم $CAD$ :

$CD^2 = CA^2 + DA^2$

نعوض الأطوال المعلومة $CD = 11.7 \text{ m}$ و $CA = 10.8 \text{ m}$ :

$(11.7)^2 = (10.8)^2 + DA^2$

$136.89 = 116.64 + DA^2$

$DA^2 = 136.89 - 116.64$

$DA^2 = 20.25$

$DA = \sqrt{20.25} = 4.5 \text{ m}$

✅الإجابة النموذجية:

طول الارتفاع $DA$ هو $4.5 \text{ m}$ .

2. حساب قيس الزاوية $\widehat{DCA}$ بالتدوير من الوحدة إلى الدرجة:

في المثلث القائم $CAD$ ، نستخدم جيب تمام الزاوية (جتا):

$\cos(\widehat{DCA}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{CA}{CD}$

$\cos(\widehat{DCA}) = \frac{10.8}{11.7} \approx 0.923077$

باستعمال الحاسبة (الضغط على `2ndF` أو `Shift` ثم `cos`):

$\widehat{DCA} \approx 22.62^\circ$

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية $\widehat{DCA}$ بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة هو $23^\circ$ .

3. حساب المسافة $CS$ :

المستقيمان $(SH)$ و $(DA)$ عموديان على نفس المستقيم الأفقي $(CA)$ ، بالتالي فإن المستقيمين متوازيان:

$(SH) \parallel (DA)$

بما أن المستقيمين متوازيان، نطبق خاصية طاليس في المثلث $CAD$ :

$\frac{CS}{CA} = \frac{CH}{CD} = \frac{SH}{DA}$

ناخذ النسبتين المعلومتي الحدود:

$\frac{CS}{10.8} = \frac{2.5}{4.5}$

نطبق الرابع التناسبي لحساب $CS$ :

$CS = \frac{10.8 \times 2.5}{4.5} = \frac{27}{4.5} = 6 \text{ m}$

✅الإجابة النموذجية:

المسافة $CS$ تساوي $6 \text{ m}$ .

4. حساب النسبة $\frac{CH}{CD}$ :

من تناسبية أطوال خاصية طاليس لدينا:

$\frac{CH}{CD} = \frac{SH}{DA}$

نعوض بالقيمة المعلومة $SH = 2.5$ و $DA = 4.5$ :

$\frac{CH}{CD} = \frac{2.5}{4.5} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$

كقيمة عشرية غير منتهية:

$\frac{CH}{CD} \approx 0.556$

✅الإجابة النموذجية:

النسبة $\frac{CH}{CD}$ ككسر غير قابل للاختزال هي $\frac{5}{9}$ (وتساوي حوالي $0.56$ ).

5. حساب الزمن اللازم لنقل الحجارة من النقطة $C$ إلى النقطة $D$ :

قانون السرعة المتوسطة:

$v = \frac{d}{t} \implies t = \frac{d}{v}$

حيث:

المسافة المقطوعة على البساط هي $d = CD = 11.7 \text{ m}$ .

سرعة البساط المتحرك هي $v = 1.5 \text{ m/s}$ .

نعوض الحساب المباشر:

$t = \frac{11.7}{1.5} = 7.8 \text{ s}$

✅الإجابة النموذجية:

الزمن اللازم لنقل الحجارة من النقطة $C$ إلى $D$ هو $7.8 \text{ ثوانٍ}$ .

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

AfficherMasquer

Télécharger le sujet PDF361 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2021)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 79 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 79 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الجزء الأول: (12 نقطة)

التمرين الأول: (06 نقاط)

1. نشر وتبسيط العبارة AAA:

2. تحليل العبارة AAA إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى:

3. حل المعادلة A=0A = 0A=0:

4. حل المتراجحة A+2<4x2−x+3A + 2 < 4x^2 - x + 3A+2<4x2−x+3 مع تمثيل حلولها بيانيًا:

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1. كتابة العددين AAA و BBB على الشكل a3a\sqrt{3}a3​:

2. تبيان أن (A×C)2=1500(A \times C)^2 = 1500(A×C)2=1500:

3. جعل مقام النسبة KKK عددًا ناطقًا:

التمرين الثالث: (03 نقاط)

1. هل العددان 162 و 243 أوليان فيما بينهما؟

2. تبيان أن M=1M = 1M=1 حيث M=32×162243M = \frac{3}{2} \times \frac{162}{243}M=23​×243162​:

3. حساب أكبر عدد من الورود في كل باقة:

4. حساب عدد الباقات الحمراء وعدد الباقات البيضاء:

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

1. حساب الطول DADADA:

2. حساب قيس الزاوية DCA^\widehat{DCA}DCA بالتدوير من الوحدة إلى الدرجة:

3. حساب المسافة CSCSCS:

4. حساب النسبة CHCD\frac{CH}{CD}CDCH​:

5. حساب الزمن اللازم لنقل الحجارة من النقطة CCC إلى النقطة DDD:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1. نشر وتبسيط العبارة $A$ :

2. تحليل العبارة $A$ إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى:

3. حل المعادلة $A = 0$ :

4. حل المتراجحة $A + 2 < 4x^2 - x + 3$ مع تمثيل حلولها بيانيًا:

1. كتابة العددين $A$ و $B$ على الشكل $a\sqrt{3}$ :

2. تبيان أن $(A \times C)^2 = 1500$ :

3. جعل مقام النسبة $K$ عددًا ناطقًا:

2. تبيان أن $M = 1$ حيث $M = \frac{3}{2} \times \frac{162}{243}$ :

1. حساب الطول $DA$ :

2. حساب قيس الزاوية $\widehat{DCA}$ بالتدوير من الوحدة إلى الدرجة:

3. حساب المسافة $CS$ :

4. حساب النسبة $\frac{CH}{CD}$ :

5. حساب الزمن اللازم لنقل الحجارة من النقطة $C$ إلى النقطة $D$ :