Sujet n° 80 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2021Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 80

Solution IA2021

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 80 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: الحساب على الأعداد الناطقة والحساب الصمّام

1) إيجاد العددين الطبيعيين $a$ و $b$ حيث $\frac{a}{b}$ كسر غير قابل للاختزال:

لدينا المجموع التالية:

\frac{12}{20} + \frac{6}{40}

نوحد المقامات بتوسيع الكسر الأول (ضرب البسط والمقام في 2):

\frac{12 \times 2}{20 \times 2} + \frac{6}{40} = \frac{24}{40} + \frac{6}{40} = \frac{24 + 6}{40} = \frac{30}{40}

نختزل الكسر $\frac{30}{40}$ بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر $10$ :

\frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4}

💡إضاءة وتنبيه:

اختزال الكسر إلى أقصى حد يعني قسمة كل من البسط والمقام على قاسمهم المشترك الأكبر $PGCD(30, 40) = 10$ .

✅الإجابة النموذجية:

العددين هما: $a = 3$ و $b = 4$ ، وعليه:

\frac{a}{b} = \frac{3}{4}

2) حساب العبارة $P$ بأبسط طريقة ممكنة:

لدينا العبارة:

P = \frac{768}{1080} - \frac{2}{3} \div \frac{3}{4}

الخطوة الأولى: تبسيط الكسر $\frac{768}{1080}$ بحساب $PGCD(1080, 768)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

1080 = 768 \times 1 + 312

768 = 312 \times 2 + 144

312 = 144 \times 2 + 24

144 = 24 \times 6 + 0

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقٍ غير معدوم: $PGCD(1080, 768) = 24$ .

نختزل الكسر:

\frac{768 \div 24}{1080 \div 24} = \frac{32}{45}

الخطوة الثانية: حساب عملية القسمة $\frac{2}{3} \div \frac{3}{4}$ :

\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9}

الخطوة الثالثة: إنجاز الطرح بناتج الكسرين:

P = \frac{32}{45} - \frac{8}{9}

نوحد المقامات بضرب الكسر الثاني في 5:

P = \frac{32}{45} - \frac{8 \times 5}{9 \times 5} = \frac{32}{45} - \frac{40}{45} = \frac{32 - 40}{45} = \frac{-8}{45}

✅الإجابة النموذجية:

P = -\frac{8}{45}

📌

التمرين الثاني: الحساب على الجذور التربيعية

1) كتابة كل من العددين $M$ و $N$ على الشكل $a\sqrt{7} + b$ :

كتابة العبارة $M$ :

M = \sqrt{112} - 3\sqrt{28} + 3\sqrt{7} - \sqrt{25}

نحلل الأعداد تحت الجذور بدلالة العدد 7:

\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = \sqrt{16} \times \sqrt{7} = 4\sqrt{7}

\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7} \implies 3\sqrt{28} = 3 \times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}

\sqrt{25} = 5

بالتعويض في العبارة $M$ :

M = 4\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 5

M = (4 - 6 + 3)\sqrt{7} - 5

M = 1\sqrt{7} - 5 = \sqrt{7} - 5

كتابة العبارة $N$ :

N = (\sqrt{7} + 3)(4 - \sqrt{7})

بإجراء عملية النشر:

N = \sqrt{7} \times 4 - (\sqrt{7})^2 + 3 \times 4 - 3\sqrt{7}

N = 4\sqrt{7} - 7 + 12 - 3\sqrt{7}

N = (4 - 3)\sqrt{7} + (-7 + 12)

N = \sqrt{7} + 5

✅الإجابة النموذجية:

M = \sqrt{7} - 5 \quad \text{و} \quad N = \sqrt{7} + 5

2) جعل مقام النسبة $\frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}}$ عدداً ناطقاً:

نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي للمقام وهو $\sqrt{7}$ :

\frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7}-5) \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{7} - 5 \times \sqrt{7}}{7} = \frac{7 - 5\sqrt{7}}{7}

💡إضاءة وتنبيه:

لا تنسَ وضع الأقواس حول البسط عند ضربه في الجذر حتى تتوزع عملية الضرب على جميع حدود البسط بشكل صحيح.

✅الإجابة النموذجية:

\frac{7 - 5\sqrt{7}}{7}

📌

التمرين الثالث: الحساب الحرفي والمعادلات

لدينا العبارة الحبرية:

E = 6x^2 - 3x - (2x - 1)^2

1) إثبات بالنشر أن $E = 2x^2 + x - 1$ :

ننشر المتطابقة الشهيرة الثانية $(2x - 1)^2$ :

(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1

نعوض في العبارة $E$ :

E = 6x^2 - 3x - (4x^2 - 4x + 1)

نحذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود الداخلية لأن القوس مسبوق بإشارة سالب $(-)$ :

E = 6x^2 - 3x - 4x^2 + 4x - 1

نجمع الحدود المتشابهة:

E = (6x^2 - 4x^2) + (-3x + 4x) - 1 = 2x^2 + x - 1

✅الإجابة النموذجية:

وهو المطلوب إثباته.

2) تحلیل العبارة $(6x^2 - 3x)$ ثم استنتاج تحليل للعبارة $E$ :

تحليل العبارة $(6x^2 - 3x)$ :

نستخرج عامل مشترك وهو $3x$ :

6x^2 - 3x = 3x(2x - 1)

استنتاج تحليل العبارة $E$ :

نعوض $(6x^2 - 3x)$ بصيغتها المحللة في العبارة الأصليّة $E$ :

E = (6x^2 - 3x) - (2x - 1)^2

E = 3x(2x - 1) - (2x - 1)(2x - 1)

نلاحظ العامل المشترك الواضح $(2x - 1)$ :

E = (2x - 1) \big[ 3x - (2x - 1) \big]

E = (2x - 1) (3x - 2x + 1)

E = (2x - 1)(x + 1)

✅الإجابة النموذجية:

الشكل المحلل للعبارة $E$ هو:

E = (2x - 1)(x + 1)

3) حل المعادلة $(2x - 1)(x + 1) = 0$ :

المعادلة من الشكل الجداء المعدوم، وهذا يعني أن أحداً العاملين أو كلاهما يساوي الصفر:

إما:

2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}

أو:

x + 1 = 0 \implies x = -1

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: $x = \frac{1}{2}$ و $x = -1$ .

📌

التمرين الرابع: الهندسة والخاصيّات (خاصية طالس وعكسها)

1) إنشـاء الشكل بدقة:

نرسم متوازي الأضلاع

ABCD

حيث:

AB = DC = 6\text{ cm}

BC = AD = 4.5\text{ cm}

نعين النقطة

M

على القطعة

[AD]

حيث

AM = 1.5\text{ cm}

نرسم مستقيماً يمر من

M

ويوازي

(DC)

، يقطع القطعة

[AC]

في النقطة

N

2) حساب الطول $MN$ :

في المثلث $ADC$ :

لدينا النقطة

M \in [AD]

والنقطة

N \in [AC]

لدينا المستطيل أو المستقيمان متوازيان:

(MN) // (DC)

بحسب خاصية طالس، نكتب النسب المتساوية:

\frac{AM}{AD} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{DC}

نعوض بالأطوال المعلومة ( $AM = 1.5\text{ cm}$ ، $AD = 4.5\text{ cm}$ ، $DC = AB = 6\text{ cm}$ ):

\frac{1.5}{4.5} = \frac{MN}{6}

باستخدام الرابعة المتناسبة:

MN = \frac{1.5 \times 6}{4.5} = \frac{9}{4.5} = 2\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

طول القطعة هو:

MN = 2\text{ cm}

3) إثبات أن $(AC) // (EF)$ :

في المثلث $ABC$ :

لدينا النقطة

E \in [AB]

حيث

BE = 4\text{ cm}

AB = 6\text{ cm}

لدينا النقطة

F \in [BC]

حيث

BF = 3\text{ cm}

BC = 4.5\text{ cm}

نحسب ونقارن النسبتين $\frac{BE}{BA}$ و $\frac{BF}{BC}$ :

1. الكسر الأول:

\frac{BE}{BA} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

2. الكسر الثاني:

\frac{BF}{BC} = \frac{3}{4.5} = \frac{30}{45} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{2}{3}

نلاحظ أن:

\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{2}{3}

وبما أن النقط $B, E, A$ والنقط $B, F, C$ مرتبة بنفس الترتيب على الضلعين $[AB]$ و $[BC]$ ، فإنه بحسب الخاصية العكسية لخاصية طالس:

(EF) // (AC)

✅الإجابة النموذجية:

المستطيلان $(AC)$ و $(EF)$ متوازيان.

📌

الوضعية الإدماجية: تطبيق الحساب المثلثي وخاصية طالس وحساب PGCD

الجزء الأول:

1) إثبات أن $BE = 6\text{ m}$ :

من الشكل، المثلث $ABE$ قائم في $E$ .

طبقاً لـ خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $ABE$ :

AB^2 = AE^2 + BE^2

نعوض بالأطوال المعلومة ( $AB = 7.5\text{ m}$ ، $AE = 4.5\text{ m}$ ):

(7.5)^2 = (4.5)^2 + BE^2

56.25 = 20.25 + BE^2

BE^2 = 56.25 - 20.25 = 36

BE = \sqrt{36} = 6\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

الارتفاع هو:

BE = 6\text{ m}

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{EAB}$ (بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة):

في المثلث القائم $ABE$ :

\cos(\widehat{EAB}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AE}{AB}

\cos(\widehat{EAB}) = \frac{4.5}{7.5} = 0.6

باستخدام الحاسبة ( $\text{shift} + \cos$ أو $\cos^{-1}$ ):

\widehat{EAB} \approx 53.13^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

✅الإجابة النموذجية:

\widehat{EAB} \approx 53^\circ

الجزء الثاني: حساب طول الارتفاع $ML$ :

تحديد موضع النقطة $M$ :

قطع الراجلون مسافة قدرها $32\text{ m}$ انطلاقاً من النقطة $A$ عبر الجسر.

مسار الجسر يتكون من 3 أجزاء:

1. الصعود $AB = 7.5\text{ m}$ .

2. المستوى الأفقي $BC = 20\text{ m}$ .

3. النزول $CD = 7.5\text{ m}$ .

المسافة المقطوعة حتى الوصول للنقطة $C$ :

AB + BC = 7.5 + 20 = 27.5\text{ m}

بما أن المسافة الكلية المقطوعة هي $32\text{ m}$ ، فإن النقطة $M$ تقع على الممر المنحدر الثاني $[CD]$ .

المسافة المقطوعة على الممر $[CD]$ من النقطة $C$ إلى $M$ :

CM = 32 - 27.5 = 4.5\text{ m}

وبالتالي فإن المسافة المتبقية للنقطة $D$ هي:

MD = CD - CM = 7.5 - 4.5 = 3\text{ m}

حساب الارتفاع $ML$ :

في المثلث $CDF$ القائم في $F$ :

لدينا الارتفاع $CF = BE = 6\text{ m}$ ، و $CD = 7.5\text{ m}$ .

بما أن السقوط شاقولي فإن $(ML) \perp (FD)$ وبما أن $(CF) \perp (FD)$ فإن $(ML) // (CF)$ .

بتطبيق خاصية طالس في المثلث $CDF$ حيث $M \in [CD]$ و $L \in [FD]$ :

\frac{DM}{DC} = \frac{DL}{DF} = \frac{ML}{CF}

ناخذ النسبتين المعلومتين:

\frac{DM}{DC} = \frac{ML}{CF}

نعوض بالأطوال:

\frac{3}{7.5} = \frac{ML}{6}

ML = \frac{3 \times 6}{7.5} = \frac{18}{7.5} = 2.4\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

طول الارتفاع هو:

ML = 2.4\text{ m}

الجزء الثالث: تنظيم الأطفال في مجموعات (تطبيق القاسم المشترك الأكبر)

معطيات المسألة:

عدد أطفال الروضة الإجمالي = 105 طفلاً.

عدد الإناث = 56 تلميذة.

عدد الذكور =

105 - 56 = 49

تلميذاً.

1) تحديد أكبر عدد من المجموعات المتماثلة التي يمكن تشكيلها:

أكبر عدد من المجموعات يمثل القاسم المشترك الأكبر لعدد الإناث وعدد الذكور: $PGCD(56, 49)$ .

نحسب $PGCD(56, 49)$ باستخدام خوارزمية قسمات إقليدس:

56 = 49 \times 1 + 7

49 = 7 \times 7 + 0

الباقي غير المعدوم الأخير هو 7.

✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد من المجموعات التي يمكن تشكيلها هو: 7 مجموعات.

2) استنتاج عدد الإناث وعدد الذكور في كل مجموعة:

عدد الإناث في كل مجموعة:

\frac{56}{7} = 8 \text{ إناث}

عدد الذكور في كل مجموعة:

\frac{49}{7} = 7 \text{ ذكور}

✅الإجابة النموذجية:

تحتوي كل مجموعة على 8 إناث و 7 ذكور.

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

Afficher

Télécharger le sujet PDF405 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2021)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 80 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 80 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: الحساب على الأعداد الناطقة والحساب الصمّام

1) إيجاد العددين الطبيعيين aaa و bbb حيث ab\frac{a}{b}ba​ كسر غير قابل للاختزال:

2) حساب العبارة PPP بأبسط طريقة ممكنة:

التمرين الثاني: الحساب على الجذور التربيعية

1) كتابة كل من العددين MMM و NNN على الشكل a7+ba\sqrt{7} + ba7​+b:

2) جعل مقام النسبة 7−57\frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}}7​7​−5​ عدداً ناطقاً:

التمرين الثالث: الحساب الحرفي والمعادلات

1) إثبات بالنشر أن E=2x2+x−1E = 2x^2 + x - 1E=2x2+x−1:

2) تحلیل العبارة (6x2−3x)(6x^2 - 3x)(6x2−3x) ثم استنتاج تحليل للعبارة EEE:

3) حل المعادلة (2x−1)(x+1)=0(2x - 1)(x + 1) = 0(2x−1)(x+1)=0:

التمرين الرابع: الهندسة والخاصيّات (خاصية طالس وعكسها)

1) إنشـاء الشكل بدقة:

2) حساب الطول MNMNMN:

3) إثبات أن (AC)//(EF)(AC) // (EF)(AC)//(EF):

الوضعية الإدماجية: تطبيق الحساب المثلثي وخاصية طالس وحساب PGCD

الجزء الأول:

1) إثبات أن BE=6 mBE = 6\text{ m}BE=6 m:

2) حساب قيس الزاوية EAB^\widehat{EAB}EAB (بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة):

الجزء الثاني: حساب طول الارتفاع MLMLML:

الجزء الثالث: تنظيم الأطفال في مجموعات (تطبيق القاسم المشترك الأكبر)

1) تحديد أكبر عدد من المجموعات المتماثلة التي يمكن تشكيلها:

2) استنتاج عدد الإناث وعدد الذكور في كل مجموعة:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1) إيجاد العددين الطبيعيين $a$ و $b$ حيث $\frac{a}{b}$ كسر غير قابل للاختزال:

2) حساب العبارة $P$ بأبسط طريقة ممكنة:

1) كتابة كل من العددين $M$ و $N$ على الشكل $a\sqrt{7} + b$ :

2) جعل مقام النسبة $\frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}}$ عدداً ناطقاً:

1) إثبات بالنشر أن $E = 2x^2 + x - 1$ :

2) تحلیل العبارة $(6x^2 - 3x)$ ثم استنتاج تحليل للعبارة $E$ :

3) حل المعادلة $(2x - 1)(x + 1) = 0$ :

2) حساب الطول $MN$ :

3) إثبات أن $(AC) // (EF)$ :

1) إثبات أن $BE = 6\text{ m}$ :

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{EAB}$ (بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة):

الجزء الثاني: حساب طول الارتفاع $ML$ :