📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 80 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول: الحساب على الأعداد الناطقة والحساب الصمّام

1) إيجاد العددين الطبيعيين aa و bb حيث ab\frac{a}{b} كسر غير قابل للاختزال:

لدينا المجموع التالية:

1220+640\frac{12}{20} + \frac{6}{40}

نوحد المقامات بتوسيع الكسر الأول (ضرب البسط والمقام في 2):

12×220×2+640=2440+640=24+640=3040\frac{12 \times 2}{20 \times 2} + \frac{6}{40} = \frac{24}{40} + \frac{6}{40} = \frac{24 + 6}{40} = \frac{30}{40}

نختزل الكسر 3040\frac{30}{40} بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر 1010:

30÷1040÷10=34\frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4}
💡إضاءة وتنبيه:

اختزال الكسر إلى أقصى حد يعني قسمة كل من البسط والمقام على قاسمهم المشترك الأكبر PGCD(30,40)=10PGCD(30, 40) = 10.

✅الإجابة النموذجية:

العددين هما: a=3a = 3 و b=4b = 4، وعليه:

ab=34\frac{a}{b} = \frac{3}{4}

2) حساب العبارة PP بأبسط طريقة ممكنة:

لدينا العبارة:

P=7681080−23÷34P = \frac{768}{1080} - \frac{2}{3} \div \frac{3}{4}

الخطوة الأولى: تبسيط الكسر 7681080\frac{768}{1080} بحساب PGCD(1080,768)PGCD(1080, 768) باستخدام خوارزمية إقليدس:

1080=768×1+3121080 = 768 \times 1 + 312
768=312×2+144768 = 312 \times 2 + 144
312=144×2+24312 = 144 \times 2 + 24
144=24×6+0144 = 24 \times 6 + 0

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقٍ غير معدوم: PGCD(1080,768)=24PGCD(1080, 768) = 24.

نختزل الكسر:

768÷241080÷24=3245\frac{768 \div 24}{1080 \div 24} = \frac{32}{45}

الخطوة الثانية: حساب عملية القسمة 23÷34\frac{2}{3} \div \frac{3}{4}:

23÷34=23×43=2×43×3=89\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9}

الخطوة الثالثة: إنجاز الطرح بناتج الكسرين:

P=3245−89P = \frac{32}{45} - \frac{8}{9}

نوحد المقامات بضرب الكسر الثاني في 5:

P=3245−8×59×5=3245−4045=32−4045=−845P = \frac{32}{45} - \frac{8 \times 5}{9 \times 5} = \frac{32}{45} - \frac{40}{45} = \frac{32 - 40}{45} = \frac{-8}{45}
✅الإجابة النموذجية:
P=−845P = -\frac{8}{45}
📌

التمرين الثاني: الحساب على الجذور التربيعية

1) كتابة كل من العددين MM و NN على الشكل a7+ba\sqrt{7} + b:

كتابة العبارة MM:
M=112−328+37−25M = \sqrt{112} - 3\sqrt{28} + 3\sqrt{7} - \sqrt{25}

نحلل الأعداد تحت الجذور بدلالة العدد 7:

112=16×7=16×7=47\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = \sqrt{16} \times \sqrt{7} = 4\sqrt{7}
28=4×7=4×7=27  ⟹  328=3×27=67\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7} \implies 3\sqrt{28} = 3 \times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}
25=5\sqrt{25} = 5

بالتعويض في العبارة MM:

M=47−67+37−5M = 4\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 5
M=(4−6+3)7−5M = (4 - 6 + 3)\sqrt{7} - 5
M=17−5=7−5M = 1\sqrt{7} - 5 = \sqrt{7} - 5
كتابة العبارة NN:
N=(7+3)(4−7)N = (\sqrt{7} + 3)(4 - \sqrt{7})

بإجراء عملية النشر:

N=7×4−(7)2+3×4−37N = \sqrt{7} \times 4 - (\sqrt{7})^2 + 3 \times 4 - 3\sqrt{7}
N=47−7+12−37N = 4\sqrt{7} - 7 + 12 - 3\sqrt{7}
N=(4−3)7+(−7+12)N = (4 - 3)\sqrt{7} + (-7 + 12)
N=7+5N = \sqrt{7} + 5
✅الإجابة النموذجية:
M=7−5وN=7+5M = \sqrt{7} - 5 \quad \text{و} \quad N = \sqrt{7} + 5

2) جعل مقام النسبة 7−57\frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}} عدداً ناطقاً:

نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي للمقام وهو 7\sqrt{7}:

7−57=(7−5)×77×7=7×7−5×77=7−577\frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7}-5) \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{7} - 5 \times \sqrt{7}}{7} = \frac{7 - 5\sqrt{7}}{7}
💡إضاءة وتنبيه:

لا تنسَ وضع الأقواس حول البسط عند ضربه في الجذر حتى تتوزع عملية الضرب على جميع حدود البسط بشكل صحيح.

✅الإجابة النموذجية:
7−577\frac{7 - 5\sqrt{7}}{7}
📌

التمرين الثالث: الحساب الحرفي والمعادلات

لدينا العبارة الحبرية:

E=6x2−3x−(2x−1)2E = 6x^2 - 3x - (2x - 1)^2

1) إثبات بالنشر أن E=2x2+x−1E = 2x^2 + x - 1:

ننشر المتطابقة الشهيرة الثانية (2x−1)2(2x - 1)^2:

(2x−1)2=(2x)2−2(2x)(1)+12=4x2−4x+1(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1

نعوض في العبارة EE:

E=6x2−3x−(4x2−4x+1)E = 6x^2 - 3x - (4x^2 - 4x + 1)

نحذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود الداخلية لأن القوس مسبوق بإشارة سالب (−)(-):

E=6x2−3x−4x2+4x−1E = 6x^2 - 3x - 4x^2 + 4x - 1

نجمع الحدود المتشابهة:

E=(6x2−4x2)+(−3x+4x)−1=2x2+x−1E = (6x^2 - 4x^2) + (-3x + 4x) - 1 = 2x^2 + x - 1
✅الإجابة النموذجية:
وهو المطلوب إثباته.

2) تحلیل العبارة (6x2−3x)(6x^2 - 3x) ثم استنتاج تحليل للعبارة EE:

تحليل العبارة (6x2−3x)(6x^2 - 3x):

نستخرج عامل مشترك وهو 3x3x:

6x2−3x=3x(2x−1)6x^2 - 3x = 3x(2x - 1)
استنتاج تحليل العبارة EE:

نعوض (6x2−3x)(6x^2 - 3x) بصيغتها المحللة في العبارة الأصليّة EE:

E=(6x2−3x)−(2x−1)2E = (6x^2 - 3x) - (2x - 1)^2
E=3x(2x−1)−(2x−1)(2x−1)E = 3x(2x - 1) - (2x - 1)(2x - 1)

نلاحظ العامل المشترك الواضح (2x−1)(2x - 1):

E=(2x−1)[3x−(2x−1)]E = (2x - 1) \big[ 3x - (2x - 1) \big]
E=(2x−1)(3x−2x+1)E = (2x - 1) (3x - 2x + 1)
E=(2x−1)(x+1)E = (2x - 1)(x + 1)
✅الإجابة النموذجية:

الشكل المحلل للعبارة EE هو:

E=(2x−1)(x+1)E = (2x - 1)(x + 1)

3) حل المعادلة (2x−1)(x+1)=0(2x - 1)(x + 1) = 0:

المعادلة من الشكل الجداء المعدوم، وهذا يعني أن أحداً العاملين أو كلاهما يساوي الصفر:

إما:
2x−1=0  ⟹  2x=1  ⟹  x=122x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
أو:
x+1=0  ⟹  x=−1x + 1 = 0 \implies x = -1
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: x=12x = \frac{1}{2} و x=−1x = -1.

📌

التمرين الرابع: الهندسة والخاصيّات (خاصية طالس وعكسها)

1) إنشـاء الشكل بدقة:

نرسم متوازي الأضلاع ABCDABCD حيث: AB=DC=6 cmAB = DC = 6\text{ cm} و BC=AD=4.5 cmBC = AD = 4.5\text{ cm}.
نعين النقطة MM على القطعة [AD][AD] حيث AM=1.5 cmAM = 1.5\text{ cm}.
نرسم مستقيماً يمر من MM ويوازي (DC)(DC)، يقطع القطعة [AC][AC] في النقطة NN.

2) حساب الطول MNMN:

في المثلث ADCADC:

لدينا النقطة M∈[AD]M \in [AD] والنقطة N∈[AC]N \in [AC].
لدينا المستطيل أو المستقيمان متوازيان: (MN)//(DC)(MN) // (DC).

بحسب خاصية طالس، نكتب النسب المتساوية:

AMAD=ANAC=MNDC\frac{AM}{AD} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{DC}

نعوض بالأطوال المعلومة (AM=1.5 cmAM = 1.5\text{ cm}، AD=4.5 cmAD = 4.5\text{ cm}، DC=AB=6 cmDC = AB = 6\text{ cm}):

1.54.5=MN6\frac{1.5}{4.5} = \frac{MN}{6}

باستخدام الرابعة المتناسبة:

MN=1.5×64.5=94.5=2 cmMN = \frac{1.5 \times 6}{4.5} = \frac{9}{4.5} = 2\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

طول القطعة هو:

MN=2 cmMN = 2\text{ cm}

3) إثبات أن (AC)//(EF)(AC) // (EF):

في المثلث ABCABC:

لدينا النقطة E∈[AB]E \in [AB] حيث BE=4 cmBE = 4\text{ cm} و AB=6 cmAB = 6\text{ cm}.
لدينا النقطة F∈[BC]F \in [BC] حيث BF=3 cmBF = 3\text{ cm} و BC=4.5 cmBC = 4.5\text{ cm}.

نحسب ونقارن النسبتين BEBA\frac{BE}{BA} و BFBC\frac{BF}{BC}:

1. الكسر الأول:

BEBA=46=23\frac{BE}{BA} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

2. الكسر الثاني:

BFBC=34.5=3045=2×153×15=23\frac{BF}{BC} = \frac{3}{4.5} = \frac{30}{45} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{2}{3}

نلاحظ أن:

BEBA=BFBC=23\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{2}{3}

وبما أن النقط B,E,AB, E, A والنقط B,F,CB, F, C مرتبة بنفس الترتيب على الضلعين [AB][AB] و [BC][BC]، فإنه بحسب الخاصية العكسية لخاصية طالس:

(EF)//(AC)(EF) // (AC)
✅الإجابة النموذجية:

المستطيلان (AC)(AC) و (EF)(EF) متوازيان.

📌

الوضعية الإدماجية: تطبيق الحساب المثلثي وخاصية طالس وحساب PGCD

الجزء الأول:

1) إثبات أن BE=6 mBE = 6\text{ m}:

من الشكل، المثلث ABEABE قائم في EE.

طبقاً لـ خاصية فيثاغورس في المثلث القائم ABEABE:

AB2=AE2+BE2AB^2 = AE^2 + BE^2

نعوض بالأطوال المعلومة (AB=7.5 mAB = 7.5\text{ m}، AE=4.5 mAE = 4.5\text{ m}):

(7.5)2=(4.5)2+BE2(7.5)^2 = (4.5)^2 + BE^2
56.25=20.25+BE256.25 = 20.25 + BE^2
BE2=56.25−20.25=36BE^2 = 56.25 - 20.25 = 36
BE=36=6 mBE = \sqrt{36} = 6\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

الارتفاع هو:

BE=6 mBE = 6\text{ m}

2) حساب قيس الزاوية EAB^\widehat{EAB} (بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة):

في المثلث القائم ABEABE:

cos⁡(EAB^)=المجاورالوتر=AEAB\cos(\widehat{EAB}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AE}{AB}
cos⁡(EAB^)=4.57.5=0.6\cos(\widehat{EAB}) = \frac{4.5}{7.5} = 0.6

باستخدام الحاسبة (shift+cos⁡\text{shift} + \cos أو cos⁡−1\cos^{-1}):

EAB^≈53.13∘\widehat{EAB} \approx 53.13^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

✅الإجابة النموذجية:
EAB^≈53∘\widehat{EAB} \approx 53^\circ

الجزء الثاني: حساب طول الارتفاع MLML:

تحديد موضع النقطة MM:

قطع الراجلون مسافة قدرها 32 m32\text{ m} انطلاقاً من النقطة AA عبر الجسر.

مسار الجسر يتكون من 3 أجزاء:

1. الصعود AB=7.5 mAB = 7.5\text{ m}.

2. المستوى الأفقي BC=20 mBC = 20\text{ m}.

3. النزول CD=7.5 mCD = 7.5\text{ m}.

المسافة المقطوعة حتى الوصول للنقطة CC:

AB+BC=7.5+20=27.5 mAB + BC = 7.5 + 20 = 27.5\text{ m}

بما أن المسافة الكلية المقطوعة هي 32 m32\text{ m}، فإن النقطة MM تقع على الممر المنحدر الثاني [CD][CD].

المسافة المقطوعة على الممر [CD][CD] من النقطة CC إلى MM:

CM=32−27.5=4.5 mCM = 32 - 27.5 = 4.5\text{ m}

وبالتالي فإن المسافة المتبقية للنقطة DD هي:

MD=CD−CM=7.5−4.5=3 mMD = CD - CM = 7.5 - 4.5 = 3\text{ m}
حساب الارتفاع MLML:

في المثلث CDFCDF القائم في FF:

لدينا الارتفاع CF=BE=6 mCF = BE = 6\text{ m}، و CD=7.5 mCD = 7.5\text{ m}.

بما أن السقوط شاقولي فإن (ML)⊥(FD)(ML) \perp (FD) وبما أن (CF)⊥(FD)(CF) \perp (FD) فإن (ML)//(CF)(ML) // (CF).

بتطبيق خاصية طالس في المثلث CDFCDF حيث M∈[CD]M \in [CD] و L∈[FD]L \in [FD]:

DMDC=DLDF=MLCF\frac{DM}{DC} = \frac{DL}{DF} = \frac{ML}{CF}

ناخذ النسبتين المعلومتين:

DMDC=MLCF\frac{DM}{DC} = \frac{ML}{CF}

نعوض بالأطوال:

37.5=ML6\frac{3}{7.5} = \frac{ML}{6}
ML=3×67.5=187.5=2.4 mML = \frac{3 \times 6}{7.5} = \frac{18}{7.5} = 2.4\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

طول الارتفاع هو:

ML=2.4 mML = 2.4\text{ m}

الجزء الثالث: تنظيم الأطفال في مجموعات (تطبيق القاسم المشترك الأكبر)

معطيات المسألة:

عدد أطفال الروضة الإجمالي = 105 طفلاً.
عدد الإناث = 56 تلميذة.
عدد الذكور = 105−56=49105 - 56 = 49 تلميذاً.

1) تحديد أكبر عدد من المجموعات المتماثلة التي يمكن تشكيلها:

أكبر عدد من المجموعات يمثل القاسم المشترك الأكبر لعدد الإناث وعدد الذكور: PGCD(56,49)PGCD(56, 49).

نحسب PGCD(56,49)PGCD(56, 49) باستخدام خوارزمية قسمات إقليدس:

56=49×1+756 = 49 \times 1 + 7
49=7×7+049 = 7 \times 7 + 0

الباقي غير المعدوم الأخير هو 7.

✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد من المجموعات التي يمكن تشكيلها هو: 7 مجموعات.

2) استنتاج عدد الإناث وعدد الذكور في كل مجموعة:

عدد الإناث في كل مجموعة:
567=8 إناث\frac{56}{7} = 8 \text{ إناث}
عدد الذكور في كل مجموعة:
497=7 ذكور\frac{49}{7} = 7 \text{ ذكور}
✅الإجابة النموذجية:

تحتوي كل مجموعة على 8 إناث و 7 ذكور.