📚
الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 81 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الحل النموذجي المعتمد والشامل
المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
1) كتابة العبارة B B B a b a\sqrt{b} a b لدينا العبارة:
B = 500 − 4 20 + 80 B = \sqrt{500} - 4\sqrt{20} + \sqrt{80} B = 500 − 4 20 + 80
نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام:
500 = 100 × 5 = 100 × 5 = 10 5 \sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} = 10\sqrt{5} 500 = 100 × 5 = 100 × 5 = 10 5 4 20 = 4 4 × 5 = 4 × 4 × 5 = 4 × 2 5 = 8 5 4\sqrt{20} = 4\sqrt{4 \times 5} = 4 \times \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 4 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5} 4 20 = 4 4 × 5 = 4 × 4 × 5 = 4 × 2 5 = 8 5 80 = 16 × 5 = 16 × 5 = 4 5 \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5} 80 = 16 × 5 = 16 × 5 = 4 5
بالتعويض في العبارة B B B
B = 10 5 − 8 5 + 4 5 B = 10\sqrt{5} - 8\sqrt{5} + 4\sqrt{5} B = 10 5 − 8 5 + 4 5
B = ( 10 − 8 + 4 ) 5 B = (10 - 8 + 4)\sqrt{5} B = ( 10 − 8 + 4 ) 5
2) حساب ( 2 + 5 ) 2 (2 + \sqrt{5})^2 ( 2 + 5 ) 2 ( 2 − 5 ) 2 (2 - \sqrt{5})^2 ( 2 − 5 ) 2
حساب ( 2 + 5 ) 2 (2 + \sqrt{5})^2 ( 2 + 5 ) 2 باستعمال المتطابقة الشهيرة الأولى ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( 2 + 5 ) 2 = 2 2 + 2 ( 2 ) ( 5 ) + ( 5 ) 2 (2 + \sqrt{5})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 ( 2 + 5 ) 2 = 2 2 + 2 ( 2 ) ( 5 ) + ( 5 ) 2
( 2 + 5 ) 2 = 4 + 4 5 + 5 (2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 ( 2 + 5 ) 2 = 4 + 4 5 + 5
( 2 + 5 ) 2 = 9 + 4 5 (2 + \sqrt{5})^2 = 9 + 4\sqrt{5} ( 2 + 5 ) 2 = 9 + 4 5
حساب ( 2 − 5 ) 2 (2 - \sqrt{5})^2 ( 2 − 5 ) 2 باستعمال المتطابقة الشهيرة الثانية ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2
( 2 − 5 ) 2 = 2 2 − 2 ( 2 ) ( 5 ) + ( 5 ) 2 (2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 ( 2 − 5 ) 2 = 2 2 − 2 ( 2 ) ( 5 ) + ( 5 ) 2
( 2 − 5 ) 2 = 4 − 4 5 + 5 (2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 ( 2 − 5 ) 2 = 4 − 4 5 + 5
( 2 − 5 ) 2 = 9 − 4 5 (2 - \sqrt{5})^2 = 9 - 4\sqrt{5} ( 2 − 5 ) 2 = 9 − 4 5
3) إثبات أن الجذر التربيعي للعدد A A A 2 2 2 لدينا العبارة:
A = 9 + 4 5 − 9 − 4 5 A = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} A = 9 + 4 5 − 9 − 4 5
من السؤال السابق، نعلم أن:
9 + 4 5 = ( 2 + 5 ) 2 9 + 4\sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2 9 + 4 5 = ( 2 + 5 ) 2 9 − 4 5 = ( 2 − 5 ) 2 = ( 5 − 2 ) 2 9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 9 − 4 5 = ( 2 − 5 ) 2 = ( 5 − 2 ) 2 بما أن 5 ≈ 2.236 > 2 \sqrt{5} \approx 2.236 > 2 5 ≈ 2.236 > 2 ( 2 − 5 ) (2 - \sqrt{5}) ( 2 − 5 ) ( 5 − 2 ) (\sqrt{5} - 2) ( 5 − 2 )
بالتعويض داخل العبارة A A A
A = ( 2 + 5 ) 2 − ( 5 − 2 ) 2 A = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} - \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} A = ( 2 + 5 ) 2 − ( 5 − 2 ) 2
A = ( 2 + 5 ) − ( 5 − 2 ) A = (2 + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} - 2) A = ( 2 + 5 ) − ( 5 − 2 )
A = 2 + 5 − 5 + 2 A = 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 A = 2 + 5 − 5 + 2
الآن نحسب الجذر التربيعي للعدد A A A
A = 4 = 2 \sqrt{A} = \sqrt{4} = 2 A = 4 = 2 تم الإثبات أن الجذر التربيعي للعدد A A A 2 2 2
4) جعل مقام النسبة C C C لدينا:
C = 5 5 + 2 C = \frac{5}{\sqrt{5} + 2} C = 5 + 2 5
لنطق المقام، نضرب كلا من البسط والمقام في مرافق المقام وهو ( 5 − 2 ) (\sqrt{5} - 2) ( 5 − 2 )
C = 5 ( 5 − 2 ) ( 5 + 2 ) ( 5 − 2 ) C = \frac{5(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} C = ( 5 + 2 ) ( 5 − 2 ) 5 ( 5 − 2 )
باستعمال المتطابقة الشهيرة الثالثة ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2
C = 5 5 − 10 ( 5 ) 2 − 2 2 C = \frac{5\sqrt{5} - 10}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} C = ( 5 ) 2 − 2 2 5 5 − 10
C = 5 5 − 10 5 − 4 C = \frac{5\sqrt{5} - 10}{5 - 4} C = 5 − 4 5 5 − 10
C = 5 5 − 10 1 C = \frac{5\sqrt{5} - 10}{1} C = 1 5 5 − 10
C = 5 5 − 10 C = 5\sqrt{5} - 10 C = 5 5 − 10
لدينا العبارة الجبرية:
F = ( 2 x − 1 ) 2 − 9 F = (2x - 1)^2 - 9 F = ( 2 x − 1 ) 2 − 9
1) كتابة F F F نلاحظ أن العبارة على شكل فرق مربعين a 2 − b 2 a^2 - b^2 a 2 − b 2 a = ( 2 x − 1 ) a = (2x - 1) a = ( 2 x − 1 ) b = 3 b = 3 b = 3 3 2 = 9 3^2 = 9 3 2 = 9
F = ( 2 x − 1 ) 2 − 3 2 F = (2x - 1)^2 - 3^2 F = ( 2 x − 1 ) 2 − 3 2
F = [ ( 2 x − 1 ) − 3 ] [ ( 2 x − 1 ) + 3 ] F = [(2x - 1) - 3][(2x - 1) + 3] F = [( 2 x − 1 ) − 3 ] [( 2 x − 1 ) + 3 ]
F = ( 2 x − 1 − 3 ) ( 2 x − 1 + 3 ) F = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3) F = ( 2 x − 1 − 3 ) ( 2 x − 1 + 3 )
F = ( 2 x − 4 ) ( 2 x + 2 ) F = (2x - 4)(2x + 2) F = ( 2 x − 4 ) ( 2 x + 2 )
2) حل المعادلة F = 0 F = 0 F = 0
( 2 x − 4 ) ( 2 x + 2 ) = 0 (2x - 4)(2x + 2) = 0 ( 2 x − 4 ) ( 2 x + 2 ) = 0
معادلة الجداء المعدوم تعني إما:
2 x − 4 = 0 ⟹ 2 x = 4 ⟹ x = 4 2 = 2 2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = \frac{4}{2} = 2 2 x − 4 = 0 ⟹ 2 x = 4 ⟹ x = 2 4 = 2 أَوْ
2 x + 2 = 0 ⟹ 2 x = − 2 ⟹ x = − 2 2 = − 1 2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = \frac{-2}{2} = -1 2 x + 2 = 0 ⟹ 2 x = − 2 ⟹ x = 2 − 2 = − 1 للمعادلة حلان هما: x = 2 x = 2 x = 2 x = − 1 x = -1 x = − 1
3) نشر وتبسيط العبارة F F F
F = ( 2 x − 1 ) 2 − 9 F = (2x - 1)^2 - 9 F = ( 2 x − 1 ) 2 − 9
نَنشر المتطابقة الشهيرة ( 2 x − 1 ) 2 (2x - 1)^2 ( 2 x − 1 ) 2
F = [ ( 2 x ) 2 − 2 ( 2 x ) ( 1 ) + 1 2 ] − 9 F = [(2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2] - 9 F = [( 2 x ) 2 − 2 ( 2 x ) ( 1 ) + 1 2 ] − 9
F = 4 x 2 − 4 x + 1 − 9 F = 4x^2 - 4x + 1 - 9 F = 4 x 2 − 4 x + 1 − 9
F = 4 x 2 − 4 x − 8 F = 4x^2 - 4x - 8 F = 4 x 2 − 4 x − 8
4) العبارة A = 3 x − 5 A = 3x - 5 A = 3 x − 5
أ) حساب القيمة المقربة إلى 10 − 2 10^{-2} 1 0 − 2 A A A x = 2 x = \sqrt{2} x = 2 نعوض x = 2 x = \sqrt{2} x = 2 A A A
A = 3 2 − 5 A = 3\sqrt{2} - 5 A = 3 2 − 5
نعلم أن 2 ≈ 1.4142 \sqrt{2} \approx 1.4142 2 ≈ 1.4142
A ≈ 3 ( 1.4142 ) − 5 = 4.2426 − 5 = − 0.7574 A \approx 3(1.4142) - 5 = 4.2426 - 5 = -0.7574 A ≈ 3 ( 1.4142 ) − 5 = 4.2426 − 5 = − 0.7574
القيمة المقربة إلى 10 − 2 10^{-2} 1 0 − 2 − 0.7574... -0.7574... − 0.7574... − 0.76 -0.76 − 0.76
القيمة المقربة بالنقصان إلى 10 − 2 10^{-2} 1 0 − 2 A A A − 0.76 -0.76 − 0.76
ب) حل المتراجحة A ≥ 0 A \ge 0 A ≥ 0
x ≥ 5 3 x \ge \frac{5}{3} x ≥ 3 5 حلول المتراجحة هي كل قيم x x x 5 3 \frac{5}{3} 3 5
نتمثل قيم x x x
نحدد القيمة
5 3 ≈ 1.67 \frac{5}{3} \approx 1.67 3 5 ≈ 1.67 .
نَشطب الحيز الذي يقع على يسار
5 3 \frac{5}{3} 3 5 (القيم الأصغر تماماً).
توضع العارضة عند
5 3 \frac{5}{3} 3 5 مَوجهةً نحو جهة الحلول المقبولة (اليمين) لأن الإشارة
≥ \ge ≥ .
```text
مرفوضة مقبولة (الحلول)
--------------------------------------[--------------------------
5/3
```
الإنشاء: إنشاء مثلث A B C ABC A B C A A A A B = A C = 4 cm AB = AC = 4\text{ cm} A B = A C = 4 cm
1) تعيين النقطة D D D A D ⃗ = C B ⃗ \vec{AD} = \vec{CB} A D = C B التساوي الشعاعي
A D ⃗ = C B ⃗ \vec{AD} = \vec{CB} A D = C B يعني أن الرباعي
C A D B CADB C A D B هو متوازي أضلاع.
لإنشاء
D D D ، نرسم من
A A A شعاعاً يوازي
( C B ) (CB) ( C B ) ، وله نفس اتجاه
C B ⃗ \vec{CB} C B ونفس طوله.
2) تعيين النقطة E E E B B B [ E C ] [EC] [ E C ] معنى أن
B B B منتصف
[ E C ] [EC] [ E C ] هو أن الشعاعين
E B ⃗ \vec{EB} E B و
B C ⃗ \vec{BC} B C متساويان:
E B ⃗ = B C ⃗ \vec{EB} = \vec{BC} E B = B C .
نوع الرباعي A B E D ABED A B E D الرباعي A B E D ABED A B E D متوازي أضلاع .
1. لدينا من المعطيات الأولية: A D ⃗ = C B ⃗ \vec{AD} = \vec{CB} A D = C B A D ⃗ = − B C ⃗ \vec{AD} = -\vec{BC} A D = − B C
2. ولدينا B B B [ E C ] [EC] [ E C ] C B ⃗ = B E ⃗ \vec{CB} = \vec{BE} C B = B E
3. بالتعويض نجد أن:
A D ⃗ = B E ⃗ \vec{AD} = \vec{BE} A D = B E
بما أن الشعاعين A D ⃗ \vec{AD} A D B E ⃗ \vec{BE} B E A B E D ABED A B E D
3) إكمال المساواة الشعاعية: المطلوب حساب وتبسيط المجموعة الشعاعية: C A ⃗ + B E ⃗ \vec{CA} + \vec{BE} C A + B E
نعلم من السؤال السابق أن: B E ⃗ = A D ⃗ \vec{BE} = \vec{AD} B E = A D
بالتعويض في العبارة:
C A ⃗ + B E ⃗ = C A ⃗ + A D ⃗ \vec{CA} + \vec{BE} = \vec{CA} + \vec{AD} C A + B E = C A + A D
باستعمال علاقة شال (Chasles' Relation):
C A ⃗ + A D ⃗ = C D ⃗ \vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CD} C A + A D = C D
C A ⃗ + B E ⃗ = C D ⃗ \vec{CA} + \vec{BE} = \vec{CD} C A + B E = C D
معطيات الطول: A B = 6.9 cm AB = 6.9\text{ cm} A B = 6.9 cm B C = 9.2 cm BC = 9.2\text{ cm} B C = 9.2 cm A C = 11.5 cm AC = 11.5\text{ cm} A C = 11.5 cm
1) إثبات أن المثلث A B C ABC A B C أطول ضلع في المثلث هو A C = 11.5 cm AC = 11.5\text{ cm} A C = 11.5 cm
نحسب مربع أطول الضلع:
A C 2 = ( 11.5 ) 2 = 132.25 AC^2 = (11.5)^2 = 132.25 A C 2 = ( 11.5 ) 2 = 132.25
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
A B 2 + B C 2 = ( 6.9 ) 2 + ( 9.2 ) 2 AB^2 + BC^2 = (6.9)^2 + (9.2)^2 A B 2 + B C 2 = ( 6.9 ) 2 + ( 9.2 ) 2
A B 2 + B C 2 = 47.61 + 84.64 = 132.25 AB^2 + BC^2 = 47.61 + 84.64 = 132.25 A B 2 + B C 2 = 47.61 + 84.64 = 132.25
نلاحظ أن:
A C 2 = A B 2 + B C 2 AC^2 = AB^2 + BC^2 A C 2 = A B 2 + B C 2 حسب الخاصية العكسية لفيثاغورس ، فإن المثلث A B C ABC A B C B B B
2) حساب قيس الزاوية A C B ^ \widehat{ACB} A C B B A C ^ \widehat{BAC} B A C
حساب قيس الزاوية A C B ^ \widehat{ACB} A C B باستعمال جيب تمام الزاوية (جتا):
cos ( A C B ^ ) = الضلع المجاور الوتر = B C A C \cos(\widehat{ACB}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AC} cos ( A C B ) = الوتر الضلع المجاور = A C B C
cos ( A C B ^ ) = 9.2 11.5 = 0.8 \cos(\widehat{ACB}) = \frac{9.2}{11.5} = 0.8 cos ( A C B ) = 11.5 9.2 = 0.8
باستعمال الآلة الحاسبة (cos − 1 ( 0.8 ) \cos^{-1}(0.8) cos − 1 ( 0.8 )
A C B ^ ≈ 36.87 ∘ ≈ 37 ∘ \widehat{ACB} \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ A C B ≈ 36.8 7 ∘ ≈ 3 7 ∘
استنتاج قيس الزاوية B A C ^ \widehat{BAC} B A C بما أن المثلث قائمة في B B B 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
B A C ^ = 90 ∘ − A C B ^ \widehat{BAC} = 90^\circ - \widehat{ACB} B A C = 9 0 ∘ − A C B
B A C ^ = 90 ∘ − 36.87 ∘ = 53.13 ∘ \widehat{BAC} = 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ B A C = 9 0 ∘ − 36.8 7 ∘ = 53.1 3 ∘
B A C ^ ≈ 53.13 ∘ ≈ 53 ∘ \widehat{BAC} \approx 53.13^\circ \approx 53^\circ B A C ≈ 53.1 3 ∘ ≈ 5 3 ∘
الجزء الأول:
المزرعة مستطيلة الشكل طولها L L L w w w L = 2 w L = 2w L = 2 w S = 12800 m 2 S = 12800\text{ m}^2 S = 12800 m 2
حساب بعدي المزرعة (الطول والعرض):
قانون مساحة المستطيل:
بالتعويض بـ L = 2 w L = 2w L = 2 w
S = ( 2 w ) × w = 2 w 2 S = (2w) \times w = 2w^2 S = ( 2 w ) × w = 2 w 2
2 w 2 = 12800 2w^2 = 12800 2 w 2 = 12800
w 2 = 12800 2 = 6400 w^2 = \frac{12800}{2} = 6400 w 2 = 2 12800 = 6400
w = 6400 = 80 m w = \sqrt{6400} = 80\text{ m} w = 6400 = 80 m
حساب الطول L L L
L = 2 × 80 = 160 m L = 2 \times 80 = 160\text{ m} L = 2 × 80 = 160 m عرض المزرعة هو:
80 m 80\text{ m} 80 m طول المزرعة هو:
160 m 160\text{ m} 160 m
الجزء الثاني:
يريد الحاج أحمد بيع 90 بقرة و 285 رأس غنم على دفعات متماثلة من حيث النوع والعدد بأكبر عدد ممكن من الأفواج.
1) مساعدة عمي أحمد في تقسيمها إلى أكبر عدد ممكن من الأفواج: أكبر عدد ممكن من الأفواج المتماثلة يمثل القاسم المشترك الأكبر للعددين 285 و 90:
N = PGCD ( 285 , 90 ) N = \text{PGCD}(285, 90) N = PGCD ( 285 , 90 )
باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):
285 = 90 × 3 + 15 285 = 90 \times 3 + 15 285 = 90 × 3 + 15
90 = 15 × 6 + 0 90 = 15 \times 6 + 0 90 = 15 × 6 + 0
آخر باقي غير معدوم هو 15.
أكبر عدد ممكن من الأفواج هو 15 فوجاً .
يحتوي كل فوج من الأفواج الـ 15 على:
عدد الأبقار في كل فوج:
90 ÷ 15 = 6 90 \div 15 = 6 90 ÷ 15 = 6 أبقار.
عدد أغنام في كل فوج:
285 ÷ 15 = 19 285 \div 15 = 19 285 ÷ 15 = 19 رأس غنم.
(ملاحظة: السؤال الثاني المكرر خطأً في نص ورقة الامتحان بنفس الصيغة يخص التشكيل التفصيلي لكل فوج كما هو موضح أعلاه).
الجزء الثالث:
السند:A B = 2 m AB = 2\text{ m} A B = 2 m A C = 1.6 m AC = 1.6\text{ m} A C = 1.6 m B C = 1.2 m BC = 1.2\text{ m} B C = 1.2 m D E = 1.8 m DE = 1.8\text{ m} D E = 1.8 m
1) معرفة ما إذا كانت الدعامة ( B C ) (BC) ( B C ) ( A C ) (AC) ( A C ) نختبر ما إذا كان المثلث A B C ABC A B C C C C
أطول ضلع هو
A B = 2 m AB = 2\text{ m} A B = 2 m :
A B 2 = 2 2 = 4 AB^2 = 2^2 = 4 A B 2 = 2 2 = 4
مجموع مربعي الضلعين الأقصر:
A C 2 + B C 2 = ( 1.6 ) 2 + ( 1.2 ) 2 = 2.56 + 1.44 = 4.00 AC^2 + BC^2 = (1.6)^2 + (1.2)^2 = 2.56 + 1.44 = 4.00 A C 2 + B C 2 = ( 1.6 ) 2 + ( 1.2 ) 2 = 2.56 + 1.44 = 4.00
بما أن A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2 = AC^2 + BC^2 A B 2 = A C 2 + B C 2 الخاصية العكسية لفيثاغورس ، فإن المثلث A B C ABC A B C C C C
نعم، الدعامة ( B C ) (BC) ( B C ) ( A C ) (AC) ( A C ) C C C
2) حساب طول اللوحة الخشبية (الطول A D AD A D بما أن الدعامة ( B C ) (BC) ( B C ) ( A C ) (AC) ( A C ) ( D E ) (DE) ( D E ) ( A E ) (AE) ( A E )
( B C ) / / ( D E ) (BC) // (DE) ( B C ) // ( D E )
وحيث أن النقاط A , C , E A, C, E A , C , E A , B , D A, B, D A , B , D خاصية طاليس :
A B A D = A C A E = B C D E \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} A D A B = A E A C = D E B C
ناخذ النسبتين المعلومتين لحساب A D AD A D
A B A D = B C D E \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} A D A B = D E B C
2 A D = 1.2 1.8 \frac{2}{AD} = \frac{1.2}{1.8} A D 2 = 1.8 1.2
باستعمال الرابع التناسبي:
A D = 2 × 1.8 1.2 = 3.6 1.2 = 3 m AD = \frac{2 \times 1.8}{1.2} = \frac{3.6}{1.2} = 3\text{ m} A D = 1.2 2 × 1.8 = 1.2 3.6 = 3 m طول اللوحة الخشبية هو:
A D = 3 m AD = 3\text{ m} A D = 3 m