Sujet n° 81 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2021Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques (4ème Année Moyenne) au format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Sujet n° 81

Solution IA2021

Download

Source Préférée Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 81 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) كتابة العبارة $B$ على الشكل $a\sqrt{b}$ :

لدينا العبارة:

B = \sqrt{500} - 4\sqrt{20} + \sqrt{80}

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام:

\sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} = 10\sqrt{5}

4\sqrt{20} = 4\sqrt{4 \times 5} = 4 \times \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 4 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}

\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}

بالتعويض في العبارة $B$ :

B = 10\sqrt{5} - 8\sqrt{5} + 4\sqrt{5}

B = (10 - 8 + 4)\sqrt{5}

✅الإجابة النموذجية:

B = 6\sqrt{5}

2) حساب $(2 + \sqrt{5})^2$ و $(2 - \sqrt{5})^2$ :

حساب $(2 + \sqrt{5})^2$ :

باستعمال المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

(2 + \sqrt{5})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2

(2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5

✅الإجابة النموذجية:

(2 + \sqrt{5})^2 = 9 + 4\sqrt{5}

حساب $(2 - \sqrt{5})^2$ :

باستعمال المتطابقة الشهيرة الثانية $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :

(2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2

(2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5

✅الإجابة النموذجية:

(2 - \sqrt{5})^2 = 9 - 4\sqrt{5}

3) إثبات أن الجذر التربيعي للعدد $A$ هو $2$ :

لدينا العبارة:

A = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}

من السؤال السابق، نعلم أن:

9 + 4\sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2

9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{5} - 2)^2

💡إضاءة وتنبيه:

بما أن $\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$ ، فإن المقدار $(2 - \sqrt{5})$ سالب، بينما المقدار $(\sqrt{5} - 2)$ موجب. والجذر التربيعي لأي عدد موجب يُخرج القيمة الموجبة دائماً.

بالتعويض داخل العبارة $A$ :

A = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} - \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}

A = (2 + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} - 2)

A = 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2

A = 4

الآن نحسب الجذر التربيعي للعدد $A$ :

\sqrt{A} = \sqrt{4} = 2

✅الإجابة النموذجية:

تم الإثبات أن الجذر التربيعي للعدد $A$ هو بالفعل $2$ .

4) جعل مقام النسبة $C$ عدداً ناطقاً:

لدينا:

C = \frac{5}{\sqrt{5} + 2}

لنطق المقام، نضرب كلا من البسط والمقام في مرافق المقام وهو $(\sqrt{5} - 2)$ :

C = \frac{5(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}

باستعمال المتطابقة الشهيرة الثالثة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ في المقام:

C = \frac{5\sqrt{5} - 10}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}

C = \frac{5\sqrt{5} - 10}{5 - 4}

C = \frac{5\sqrt{5} - 10}{1}

✅الإجابة النموذجية:

C = 5\sqrt{5} - 10

📌

التمرين الثاني: (04.5 نقطة)

لدينا العبارة الجبرية:

F = (2x - 1)^2 - 9

1) كتابة $F$ على شكل جداء عاملين من الدرجة الأولى:

نلاحظ أن العبارة على شكل فرق مربعين $a^2 - b^2$ حيث $a = (2x - 1)$ و $b = 3$ (لأن $3^2 = 9$ ):

F = (2x - 1)^2 - 3^2

F = [(2x - 1) - 3][(2x - 1) + 3]

F = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3)

✅الإجابة النموذجية:

F = (2x - 4)(2x + 2)

2) حل المعادلة $F = 0$ :

(2x - 4)(2x + 2) = 0

معادلة الجداء المعدوم تعني إما:

2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = \frac{4}{2} = 2

أَوْ

2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = \frac{-2}{2} = -1

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: $x = 2$ و $x = -1$ .

3) نشر وتبسيط العبارة $F$ :

F = (2x - 1)^2 - 9

نَنشر المتطابقة الشهيرة $(2x - 1)^2$ :

F = [(2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2] - 9

F = 4x^2 - 4x + 1 - 9

✅الإجابة النموذجية:

F = 4x^2 - 4x - 8

4) العبارة $A = 3x - 5$ :

أ) حساب القيمة المقربة إلى $10^{-2}$ بالنقصان للعدد $A$ من أجل $x = \sqrt{2}$ :

نعوض $x = \sqrt{2}$ في العبارة $A$ :

A = 3\sqrt{2} - 5

نعلم أن $\sqrt{2} \approx 1.4142$ :

A \approx 3(1.4142) - 5 = 4.2426 - 5 = -0.7574

القيمة المقربة إلى $10^{-2}$ (رقمان بعد الفاصلة) بالنقصان للعدد السالِب $-0.7574...$ هي $-0.76$ .

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المقربة بالنقصان إلى $10^{-2}$ للعدد $A$ هي: $-0.76$

ب) حل المتراجحة $A \ge 0$ وتمثيل مجموعة حلولها بيانياً:

3x - 5 \ge 0

3x \ge 5

x \ge \frac{5}{3}

✅الإجابة النموذجية:

حلول المتراجحة هي كل قيم $x$ الأكبر من أو تساوي $\frac{5}{3}$ .

التمثيل البياني:

نتمثل قيم $x$ على خط أعداد موجه:

نحدد القيمة

\frac{5}{3} \approx 1.67

نَشطب الحيز الذي يقع على يسار

\frac{5}{3}

(القيم الأصغر تماماً).

توضع العارضة عند

\frac{5}{3}

مَوجهةً نحو جهة الحلول المقبولة (اليمين) لأن الإشارة

\ge

```text

مرفوضة مقبولة (الحلول)

--------------------------------------[--------------------------

5/3

```

📌

التمرين الثالث: (03.5 نقطة)

الإنشاء: إنشاء مثلث $ABC$ متساوي الساقين رأسه الأساسي $A$ بحيث $AB = AC = 4\text{ cm}$ .

1) تعيين النقطة $D$ بحيث $\vec{AD} = \vec{CB}$ :

التساوي الشعاعي

\vec{AD} = \vec{CB}

يعني أن الرباعي

CADB

هو متوازي أضلاع.

لإنشاء

D

، نرسم من

A

شعاعاً يوازي

(CB)

، وله نفس اتجاه

\vec{CB}

ونفس طوله.

2) تعيين النقطة $E$ بحيث تكون $B$ منتصف قطعة المستقيم $[EC]$ :

معنى أن

B

منتصف

[EC]

هو أن الشعاعين

\vec{EB}

\vec{BC}

متساويان:

\vec{EB} = \vec{BC}

نوع الرباعي $ABED$ مع التعليل:

✅الإجابة النموذجية:

الرباعي $ABED$ هو متوازي أضلاع.

التعليل:

1. لدينا من المعطيات الأولية: $\vec{AD} = \vec{CB}$ أي أن $\vec{AD} = -\vec{BC}$ .

2. ولدينا $B$ منتصف $[EC]$ ، إذن: $\vec{CB} = \vec{BE}$ .

3. بالتعويض نجد أن:

\vec{AD} = \vec{BE}

بما أن الشعاعين $\vec{AD}$ و $\vec{BE}$ متساويان، فإن الرباعي $ABED$ هو متوازي أضلاع.

3) إكمال المساواة الشعاعية:

المطلوب حساب وتبسيط المجموعة الشعاعية: $\vec{CA} + \vec{BE}$

نعلم من السؤال السابق أن: $\vec{BE} = \vec{AD}$

بالتعويض في العبارة:

\vec{CA} + \vec{BE} = \vec{CA} + \vec{AD}

باستعمال علاقة شال (Chasles' Relation):

\vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CD}

✅الإجابة النموذجية:

\vec{CA} + \vec{BE} = \vec{CD}

📌

التمرين الرابع: (03 نقاط)

معطيات الطول: $AB = 6.9\text{ cm}$ ، $BC = 9.2\text{ cm}$ ، $AC = 11.5\text{ cm}$ .

1) إثبات أن المثلث $ABC$ قائم:

أطول ضلع في المثلث هو $AC = 11.5\text{ cm}$ .

نحسب مربع أطول الضلع:

AC^2 = (11.5)^2 = 132.25

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

AB^2 + BC^2 = (6.9)^2 + (9.2)^2

AB^2 + BC^2 = 47.61 + 84.64 = 132.25

نلاحظ أن:

AC^2 = AB^2 + BC^2

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في النقطة $B$ .

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{BAC}$ :

حساب قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ :

باستعمال جيب تمام الزاوية (جتا):

\cos(\widehat{ACB}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AC}

\cos(\widehat{ACB}) = \frac{9.2}{11.5} = 0.8

باستعمال الآلة الحاسبة ( $\cos^{-1}(0.8)$ ):

✅الإجابة النموذجية:

\widehat{ACB} \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{BAC}$ :

بما أن المثلث قائمة في $B$ ، فإن الزاويتين الحادتين متكاملتان ( $90^\circ$ ):

\widehat{BAC} = 90^\circ - \widehat{ACB}

\widehat{BAC} = 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ

✅الإجابة النموذجية:

\widehat{BAC} \approx 53.13^\circ \approx 53^\circ

📌

الوضعية الإدماجية: (05 نقاط)

الجزء الأول:

المزرعة مستطيلة الشكل طولها $L$ ضعف عرضها $w$ ( $L = 2w$ ) ومساحتها $S = 12800\text{ m}^2$ .

حساب بعدي المزرعة (الطول والعرض):

قانون مساحة المستطيل:

S = L \times w

بالتعويض بـ $L = 2w$ :

S = (2w) \times w = 2w^2

2w^2 = 12800

w^2 = \frac{12800}{2} = 6400

w = \sqrt{6400} = 80\text{ m}

حساب الطول $L$ :

L = 2 \times 80 = 160\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

عرض المزرعة هو:

80\text{ m}

طول المزرعة هو:

160\text{ m}

الجزء الثاني:

يريد الحاج أحمد بيع 90 بقرة و 285 رأس غنم على دفعات متماثلة من حيث النوع والعدد بأكبر عدد ممكن من الأفواج.

1) مساعدة عمي أحمد في تقسيمها إلى أكبر عدد ممكن من الأفواج:

أكبر عدد ممكن من الأفواج المتماثلة يمثل القاسم المشترك الأكبر للعددين 285 و 90:

N = \text{PGCD}(285, 90)

باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

285 = 90 \times 3 + 15

90 = 15 \times 6 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 15.

✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد ممكن من الأفواج هو 15 فوجاً.

💡إضاءة وتنبيه:

يحتوي كل فوج من الأفواج الـ 15 على:

عدد الأبقار في كل فوج:

90 \div 15 = 6

أبقار.

عدد أغنام في كل فوج:

285 \div 15 = 19

رأس غنم.

(ملاحظة: السؤال الثاني المكرر خطأً في نص ورقة الامتحان بنفس الصيغة يخص التشكيل التفصيلي لكل فوج كما هو موضح أعلاه).

الجزء الثالث:

السند:

$AB = 2\text{ m}$

$AC = 1.6\text{ m}$

$BC = 1.2\text{ m}$

$DE = 1.8\text{ m}$

1) معرفة ما إذا كانت الدعامة $(BC)$ عمودية على سطح الأرض $(AC)$ :

نختبر ما إذا كان المثلث $ABC$ قائماً في $C$ :

أطول ضلع هو $AB = 2\text{ m}$ :

$AB^2 = 2^2 = 4$

مجموع مربعي الضلعين الأقصر:

$AC^2 + BC^2 = (1.6)^2 + (1.2)^2 = 2.56 + 1.44 = 4.00$

بما أن $AB^2 = AC^2 + BC^2$ ، فبحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في $C$ .

✅الإجابة النموذجية:

نعم، الدعامة $(BC)$ عمودية على سطح الأرض $(AC)$ عند النقطة $C$ .

2) حساب طول اللوحة الخشبية (الطول $AD$ ):

بما أن الدعامة $(BC)$ عمودية على الأرض $(AC)$ ، وارتفاع باب الشاحنة $(DE)$ عمودي أيضاً على الأرض $(AE)$ ، فإن المستقيمين متوازيان:

$(BC) // (DE)$

وحيث أن النقاط $A, C, E$ على استقامية واحدة والنقاط $A, B, D$ على استقامية واحدة بنفس الترتيب، نطبق خاصية طاليس:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

ناخذ النسبتين المعلومتين لحساب $AD$ :

$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$

$\frac{2}{AD} = \frac{1.2}{1.8}$

باستعمال الرابع التناسبي:

$AD = \frac{2 \times 1.8}{1.2} = \frac{3.6}{1.2} = 3\text{ m}$

✅الإجابة النموذجية:

طول اللوحة الخشبية هو:

$AD = 3\text{ m}$

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

AfficherMasquer

Télécharger le sujet PDF546 Ko

Niveau4ème Année Moyenne

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2021)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Sujet n° 81 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 81 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) كتابة العبارة BBB على الشكل aba\sqrt{b}ab​:

2) حساب (2+5)2(2 + \sqrt{5})^2(2+5​)2 و (2−5)2(2 - \sqrt{5})^2(2−5​)2:

3) إثبات أن الجذر التربيعي للعدد AAA هو 222:

4) جعل مقام النسبة CCC عدداً ناطقاً:

التمرين الثاني: (04.5 نقطة)

1) كتابة FFF على شكل جداء عاملين من الدرجة الأولى:

2) حل المعادلة F=0F = 0F=0:

3) نشر وتبسيط العبارة FFF:

4) العبارة A=3x−5A = 3x - 5A=3x−5:

أ) حساب القيمة المقربة إلى 10−210^{-2}10−2 بالنقصان للعدد AAA من أجل x=2x = \sqrt{2}x=2​:

ب) حل المتراجحة A≥0A \ge 0A≥0 وتمثيل مجموعة حلولها بيانياً:

التمرين الثالث: (03.5 نقطة)

1) تعيين النقطة DDD بحيث AD⃗=CB⃗\vec{AD} = \vec{CB}AD=CB:

2) تعيين النقطة EEE بحيث تكون BBB منتصف قطعة المستقيم [EC][EC][EC]:

3) إكمال المساواة الشعاعية:

التمرين الرابع: (03 نقاط)

1) إثبات أن المثلث ABCABCABC قائم:

2) حساب قيس الزاوية ACB^\widehat{ACB}ACB ثم استنتاج قيس الزاوية BAC^\widehat{BAC}BAC:

الوضعية الإدماجية: (05 نقاط)

الجزء الأول:

الجزء الثاني:

1) مساعدة عمي أحمد في تقسيمها إلى أكبر عدد ممكن من الأفواج:

الجزء الثالث:

1) معرفة ما إذا كانت الدعامة (BC)(BC)(BC) عمودية على سطح الأرض (AC)(AC)(AC):

2) حساب طول اللوحة الخشبية (الطول ADADAD):

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Fiche pédagogique du document

1) كتابة العبارة $B$ على الشكل $a\sqrt{b}$ :

2) حساب $(2 + \sqrt{5})^2$ و $(2 - \sqrt{5})^2$ :

3) إثبات أن الجذر التربيعي للعدد $A$ هو $2$ :

4) جعل مقام النسبة $C$ عدداً ناطقاً:

1) كتابة $F$ على شكل جداء عاملين من الدرجة الأولى:

2) حل المعادلة $F = 0$ :

3) نشر وتبسيط العبارة $F$ :

4) العبارة $A = 3x - 5$ :

أ) حساب القيمة المقربة إلى $10^{-2}$ بالنقصان للعدد $A$ من أجل $x = \sqrt{2}$ :

ب) حل المتراجحة $A \ge 0$ وتمثيل مجموعة حلولها بيانياً:

1) تعيين النقطة $D$ بحيث $\vec{AD} = \vec{CB}$ :

2) تعيين النقطة $E$ بحيث تكون $B$ منتصف قطعة المستقيم $[EC]$ :

1) إثبات أن المثلث $ABC$ قائم:

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{BAC}$ :

1) معرفة ما إذا كانت الدعامة $(BC)$ عمودية على سطح الأرض $(AC)$ :

2) حساب طول اللوحة الخشبية (الطول $AD$ ):