📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 60 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول (06 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 411 و 685: PGCD(411,685)\text{PGCD}(411, 685)

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأكثر فعالية واختصاراً للوقت مقارنة بطريقة الفروق المتتالية. نتوقف عند الحصول على باقٍ معدوم، ويكون آخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر PGCD\text{PGCD}.
✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس) على العددين 685685 و 411411:

685=411×1+274685 = 411 \times 1 + 274
411=274×1+137411 = 274 \times 1 + 137
274=137×2+0274 = 137 \times 2 + 0

بما أن الباقي الأخير هو 00، فإن آخر باقٍ غير معدوم في هذه السلسلة هو 137137.

إذن:

PGCD(411,685)=137\text{PGCD}(411, 685) = 137

2. كتابة الكسر 411685\frac{411}{685} على شكل كسر غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:
لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال في خطوة واحدة، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD\text{PGCD}.
✅الإجابة النموذجية:

نقسم بسط ومقام الكسر على PGCD(411,685)=137\text{PGCD}(411, 685) = 137:

411685=411÷137685÷137=35\frac{411}{685} = \frac{411 \div 137}{685 \div 137} = \frac{3}{5}

الكسر 35\frac{3}{5} هو كسر غير قابل للاختزال لأن العددين 33 و 55 أوليان فيما بينهما (أي PGCD(3,5)=1\text{PGCD}(3, 5) = 1).

3. مسألة الحلواني (تحضير كعك الفاكهة)

أكبر عدد ممكن من الكعك الذي يمكن تحضيره:
💡إضاءة وتنبيه:
بما أن الحلواني يريد توزيع كل حبات التوت (411 حبة) وكل حبات الفراولة (685 حبة) بالتساوي على الكعك دون ترك أي فضلة، فإن عدد الكعك يجب أن يكون قاسماً مشتركاً لـ 411 و 685. وللحصول على أكبر عدد ممكن من الكعك، يجب أن يكون هذا العدد هو القاسم المشترك الأكبر للعددين.
✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد ممكن من الكعك الذي يمكن تحضيره هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 411411 و 685685:

أكبر عدد من الكعك=PGCD(411,685)=137 كعكة\text{أكبر عدد من الكعك} = \text{PGCD}(411, 685) = 137 \text{ كعكة}
عدد حبات التوت وعدد حبات الفراولة في كل كعكة:
✅الإجابة النموذجية:
عدد حبات التوت في كل كعكة: نقسم العدد الإجمالي لحبات التوت على عدد الكعك:
411÷137=3 حبات411 \div 137 = 3 \text{ حبات}
عدد حبات الفراولة في كل كعكة: نقسم العدد الإجمالي لحبات الفراولة على عدد الكعك:
685÷137=5 حبات685 \div 137 = 5 \text{ حبات}
📌

التمرين الثاني (06 نقاط)

العددان AA و BB حيث:

A=532−22−272A = 5\sqrt{32} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{72}
B=2(2+3)B = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 3)

1. كتابة العدد AA على الشكل aba\sqrt{b}

حيث aa عدد طبيعي و bb عدد طبيعي أصغر ما يمكن.

💡إضاءة وتنبيه:
لتبسيط العبارة الجبرية التي تحتوي على جذور تربيعية، نقوم بتحليل الأعداد الموجودة تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام (مثل 4,9,16,25,36,64...4, 9, 16, 25, 36, 64...) والآخر هو أصغر عدد طبيعي ممكن bb. نلاحظ هنا وجود الحد 222\sqrt{2}، مما يدل على أن b=2b = 2.
✅الإجابة النموذجية:

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور بدلالة العدد 22:

32=16×232 = 16 \times 2
72=36×272 = 36 \times 2

نعوض هذه القيم في العبارة AA:

A=516×2−22−236×2A = 5\sqrt{16 \times 2} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{36 \times 2}

نطبق الخاصية x×y=x×y\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}:

A=5×16×2−22−2×36×2A = 5 \times \sqrt{16} \times \sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 \times \sqrt{36} \times \sqrt{2}
A=5×42−22−2×62A = 5 \times 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 \times 6\sqrt{2}
A=202−22−122A = 20\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 12\sqrt{2}

نستخرج 2\sqrt{2} كعامل مشترك:

A=(20−2−12)2A = (20 - 2 - 12)\sqrt{2}
A=62A = 6\sqrt{2}

حيث a=6a = 6 (عدد طبيعي) و b=2b = 2 (عدد طبيعي أصغر ما يمكن).

2. كتابة العدد BB على الشكل c+abc + a\sqrt{b}

حيث aa و cc عددان طبيعيان.

💡إضاءة وتنبيه:
لنشر وتبسيط العبارة BB، نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع: x(y+z)=xy+xzx(y + z) = xy + xz، مع تذكر القاعدة الأساسية للجذور: x×x=x\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x (من أجل x≥0x \ge 0).
✅الإجابة النموذجية:

نقوم بنشر العبارة BB:

B=2(2+3)B = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 3)
B=2×2+2×3B = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times 3
B=2+32B = 2 + 3\sqrt{2}

وهي مكتوبة على الشكل المطلوب c+abc + a\sqrt{b} حيث:

c=2c = 2 (عدد طبيعي)
a=3a = 3 (عدد طبيعي)
b=2b = 2 (عدد طبيعي)

3. جعل مقام النسبة 5+13\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{3}} عدداً ناطقاً

💡إضاءة وتنبيه:
لتنطيق مقام نسبة (أي تحويل المقام من عدد غير ناطق إلى عدد ناطق)، نضرب كلاً من البسط والمقام في جذر المقام نفسه وهو 3\sqrt{3}. يجب وضع البسط بين قوسين للمحافظة على صحة النشر وتوزيع الضرب.
✅الإجابة النموذجية:

نضرب بسط ومقام النسبة في 3\sqrt{3}:

5+13=(5+1)×33×3\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+1) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}

نقوم بتوزيع الضرب في البسط:

(5+1)×3=5×3+1×3=15+3(\sqrt{5}+1) \times \sqrt{3} = \sqrt{5} \times \sqrt{3} + 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{15} + \sqrt{3}

ونبسط المقام:

3×3=3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3

إذن النسبة تصبح:

15+33\frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{3}
📌

التمرين الثالث (08 نقاط)

1. إنشاء المثلث ABCABC وإثبات أنه قائم

الإنشاء:

نقوم برسم المثلث ABCABC بأطوال أضلاعه المعطاة:

AB=4 cmAB = 4\text{ cm}
AC=3 cmAC = 3\text{ cm}
BC=5 cmBC = 5\text{ cm}

(طريقة الرسم: نرسم قطعة مستقيمة ABAB بطول 4 cm4\text{ cm}. باستخدام المدور، نفتح فتحة بطول 3 cm3\text{ cm} ونرسم قوساً دائرياً مركزها AA. ثم نفتح المدور بفتحة طولها 5 cm5\text{ cm} ونرسم قوساً دائرياً مركزها BB. نقطة تقاطع القوسين هي النقطة CC. نصل بين النقط للحصول على المثلث).

إثبات أن المثلث ABCABC قائم في AA:
💡إضاءة وتنبيه:
لإثبات أن مثلثاً علمنا أطوال أضلاعه الثلاثة هو مثلث قائم، نطبق الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس. نقارن مربع طول الضلع الأطول بمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.
✅الإجابة النموذجية:

الضلع الأطول في المثلث هو BC=5 cmBC = 5\text{ cm}.

نحسب مربع طول الضلع الأطول:
BC2=52=25BC^2 = 5^2 = 25
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
AB2+AC2=42+32=16+9=25AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

نلاحظ أن:

BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2

وبما أن هذه المساواة محققة، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث ABCABC قائم في الرأس AA.

2. دراسة النقطتين EE و FF والتوازي

لدينا EE نقطة من [AC][AC] حيث AE=1.8 cmAE = 1.8\text{ cm}، و FF نقطة من [AB][AB] حيث AF=2.4 cmAF = 2.4\text{ cm}.

إثبات أن (EF)//(BC)(EF) // (BC):
💡إضاءة وتنبيه:
لإثبات توازي مستقيمين يقطعان ضلعين في مثلث، نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس. نقوم بحساب النسبتين المقابلتين ومقارنتهما، مع التأكيد على استقامية وترتيب النقط.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا النقطتان EE و FF تنتميان إلى القطعتين [AC][AC] و [AB][AB] على الترتيب.

نحسب النسبة الأولى:
AEAC=1.83=0.6\frac{AE}{AC} = \frac{1.8}{3} = 0.6
نحسب النسبة الثانية:
AFAB=2.44=0.6\frac{AF}{AB} = \frac{2.4}{4} = 0.6

نلاحظ أن:

AEAC=AFAB=0.6\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} = 0.6

وبما أن النقط A,E,CA, E, C والنقط A,F,BA, F, B مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين (AC)(AC) و (AB)(AB)، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين (EF)(EF) و (BC)(BC) متوازيان، أي:

(EF)//(BC)(EF) // (BC)
حساب الطول EFEF:
💡إضاءة وتنبيه:
بما أن المستقيمين متوازيان، يمكننا تطبيق خاصية طاليس المباشرة لكتابة تساوي النسب الثلاث واستخراج الطول المجهول.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن (EF)//(BC)(EF) // (BC)، فإنه بتطبيق خاصية طاليس في المثلث ABCABC نجد:

AEAC=AFAB=EFBC\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} = \frac{EF}{BC}

بالتعويض بالقيم المعلومة لدينا:

0.6=EF50.6 = \frac{EF}{5}

ومنه:

EF=5×0.6=3 cmEF = 5 \times 0.6 = 3\text{ cm}

3. حساب قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC} بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة

💡إضاءة وتنبيه:
في المثلث القائم، يمكننا حساب قيس أي زاوية حادة باستخدام النسب المثلثية (جيب التمام cos⁡\cos، الجيب sin⁡\sin، أو الظل tan⁡\tan). سنستخدم هنا جيب تمام الزاوية cos⁡\cos لأنه يعتمد على الأطوال الأصلية المعطاة في نص التمرين لتفادي أي خطأ تراكمي.
✅الإجابة النموذجية:

في المثلث ABCABC القائم في AA، لدينا:

cos⁡(ABC^)=المجاورالوتر=ABBC\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AB}{BC}

بالتعويض العددي:

cos⁡(ABC^)=45=0.8\cos(\widehat{ABC}) = \frac{4}{5} = 0.8

باستعمال الحاسبة العلمية (باستخدام اللمسات: 2ndF\text{2ndF} أو Shift\text{Shift} ثم cos⁡−1\cos^{-1} للعدد 0.80.8):

ABC^≈36.869∘\widehat{ABC} \approx 36.869^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (بما أن الرقم الأول بعد الفاصلة هو 8 وهو أكبر من أو يساوي 5، فإننا نقرب إلى العدد الطبيعي الموالي):

ABC^≈37∘\widehat{ABC} \approx 37^\circ