العبارة المعطاة:

تبسيط كل جذر على حدة:

بالتعويض في العبارة $B$:

باستعمال المتطابقات الشهيرة:

العبارة المعطاة:

من السؤال السابق، نعلم أن:

$9 + 4\sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$

$9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2$

بالتعويض داخل الجذور:

بما أن $2 + \sqrt{5} > 0$، فإن:

وبما أن $\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$، فإن $2 - \sqrt{5} < 0$، وبالتالي:

بالتعويض وتبسيط العبارة $A$:

لحساب الجذر التربيعي للعدد $A$:

بما أن $A = 4$، فإن الجذر التربيعي للعدد $A$ هو $\sqrt{A} = 2$، وهو المطلوب إثباته.

العبارة المعطاة:

للتخلص من الجذر في المقام، نضرب البسط والمقام في المرافق $(\sqrt{5} - 2)$:

باستعمال المتطابقة الشهيرة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

العبارة الجبرية المعطاة:

نلاحظ أن العبارة تكتب على شكل فرق مربعين $a^2 - b^2$، حيث $a = 2x - 1$ و $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$:

يعني أن:

إما $2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{2} = 2$

أو $2x + 2 = 0 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = \frac{-2}{2} = -1$

للمعادلة حلان هما: $x = 2$ و $x = -1$.

نعوض $x = \sqrt{2}$ في العبارة $A$:

نعلم أن $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$

القيمة المقربة إلى $10^{-2}$ بالنقصان للعدد $A$ هي $-0.76$.

حلول المتراجحة هي كل أعداد $x$ الأكبر من أو تساوي $\frac{5}{3}$.

التمثيل البياني:

نرسم مستقيماً مدرجاً، ونعين عليه القيمة $\frac{5}{3} \approx 1.67$:

نوع الرباعي $ABED$ هو متوازي أضلاع.

التعليل:

لدينا من المعطيات: $\vec{AD} = \vec{CB}$ ... (1)

ولدينا $B$ منتصف $[EC]$، وهذا يعني أن: $\vec{CB} = \vec{BE}$ ... (2)

من العلاقتين (1) و (2) نستنتج أن:

بما أن الشعاعين $\vec{AD}$ و $\vec{BE}$ متساويان، فإن الرباعي $ABED$ متوازي أضلاع.

المطلوب إكمال: $\vec{CA} + \vec{BE} = \dots$

من الخاصية سابقة الذكر، نعلم أن $\vec{BE} = \vec{AD}$، بالتعويض:

باستعمال علاقة شال (بداية الشعاع الثاني هي نهاية الشعاع الأول):

لدينا أطوال أضلاع المثلث $ABC$:

$AB = 6.9\text{ cm}$، $BC = 9.2\text{ cm}$، $AC = 11.5\text{ cm}$.

نحسب مربع أطول ضلع (الوتر المترشح $AC$):

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

حسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في النقطة $B$.

في المثلث القائم $ABC$ في $B$:

باستعمال الآلة الحاسبة ($\text{2ndF} + \cos$ أو $\cos^{-1}(0.8)$):

بالتدوير إلى الوحدة (أو بالدقائق حسب الطلب): $\widehat{ACB} \approx 37^\circ$.

بما أن المثلث قائم في $B$، فإن الزاويتين الحادتين متتامتان:

بالتدوير إلى الوحدة: $\widehat{BAC} \approx 53^\circ$.

المعطيات:

صياغة المعادلة:

مساحة المستطيل = الطول × العرض

بما أن العرض مقدار موجب:

حساب الطول:

لحساب أكبر عدد من الأفواج المتماثلة من حيث النوع والعدد، نحسب القاسم المشترك الأكبر لعدد البقر ($90$) وعدد الغنم ($285$)، أي $\text{PGCD}(285, 90)$.

باستعمال خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $15$.

أكبر عدد ممكن من الأفواج التي يمكن تشكيلها هو 15 فوجاً.

يحتوي كل فوج على 6 بقرات و 19 رأس غنم.

الدعامة ممثلة بالقطعة $[BC]$، وسطح الأرض يمثله المستقيم $(AC)$.

نختبر ما إذا كان المثلث $ABC$ قائمًا في $C$:

المعطيات:

$AB = 2\text{ m}$، $AC = 1.6\text{ m}$، $BC = 1.2\text{ m}$.

نحسب مربع أطول ضلع $AB$:

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

بما أن $AB^2 = AC^2 + BC^2$، فحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في $C$.

نعم، الدعامة $(BC)$ عمودية تماماً على سطح الأرض $(AC)$ عند النقطة $C$.

البرهان على التوازي:

تطبيق خاصية طالس:

في المثلث $ADE$، لدينا النقاط $A, B, D$ على استقامة واحدة و$A, C, E$ على استقامة واحدة بنفس الترتيب، و$(BC) \parallel (DE)$، إذن حسب خاصية طالس:

نعوض بالأطوال المعلومة ($AB = 2\text{ m}$، $BC = 1.2\text{ m}$، $DE = 1.8\text{ m}$):

باستعمال الرابع المتناسب:

طول اللوحة الخشبية هو $AD = 3\text{ m}$.