📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 95 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول

📌

التمرين الأول: (3.5 نقطة)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 260 و 273:

نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

273=260×1+13273 = 260 \times 1 + 13
260=13×20+0260 = 13 \times 20 + 0
💡إضاءة وتنبيه:
القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية.
✅الإجابة النموذجية:
PGCD(273,260)=13\text{PGCD}(273, 260) = 13

2. كتابة العدد A=273260A = \frac{273}{260} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

نقسم كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما PGCD(273,260)=13\text{PGCD}(273, 260) = 13:

A=273÷13260÷13=2120A = \frac{273 \div 13}{260 \div 13} = \frac{21}{20}
✅الإجابة النموذجية:
A=2120A = \frac{21}{20}

3. حساب العدد BB واختزاله إلى أبسط شكل ممكن:

لدينا العبارة:

B=A+165×34B = A + \frac{16}{5} \times \frac{3}{4}

نعوض قيمة الكسر المختزل A=2120A = \frac{21}{20}:

B=2120+(16×35×4)B = \frac{21}{20} + \left( \frac{16 \times 3}{5 \times 4} \right)
B=2120+4820B = \frac{21}{20} + \frac{48}{20}
B=21+4820=6920B = \frac{21 + 48}{20} = \frac{69}{20}
✅الإجابة النموذجية:
B=6920B = \frac{69}{20}
📌

التمرين الثاني: (4.5 نقطة)

1. كتابة العدد FF على شكل a7a\sqrt{7} حيث aa عدد طبيعي:

لدينا:

F=343−363+5112F = \sqrt{343} - 3\sqrt{63} + 5\sqrt{112}

نقوم بتفكيك ما تحت الجذور بدلالة العدد 7:

343=49×7=72×7343 = 49 \times 7 = 7^2 \times 7
63=9×7=32×763 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7
112=16×7=42×7112 = 16 \times 7 = 4^2 \times 7

بالتعويض والتبسيط:

F=49×7−39×7+516×7F = \sqrt{49 \times 7} - 3\sqrt{9 \times 7} + 5\sqrt{16 \times 7}
F=77−3×37+5×47F = 7\sqrt{7} - 3 \times 3\sqrt{7} + 5 \times 4\sqrt{7}
F=77−97+207F = 7\sqrt{7} - 9\sqrt{7} + 20\sqrt{7}
F=(7−9+20)7=187F = (7 - 9 + 20)\sqrt{7} = 18\sqrt{7}
✅الإجابة النموذجية:
F=187F = 18\sqrt{7}

2. كتابة العدد LL على شكل ab+ca\sqrt{b} + c حيث a,b,ca, b, c أعداد صحيحة نسبية:

لدينا:

L=228+175+7−1L = 2\sqrt{28} + \sqrt{175} + \sqrt{7} - 1

نقوم بتفكيك الجذور:

28=4×7=22×728 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7
175=25×7=52×7175 = 25 \times 7 = 5^2 \times 7

بالتعويض:

L=24×7+25×7+17−1L = 2\sqrt{4 \times 7} + \sqrt{25 \times 7} + 1\sqrt{7} - 1
L=2×27+57+17−1L = 2 \times 2\sqrt{7} + 5\sqrt{7} + 1\sqrt{7} - 1
L=47+57+17−1L = 4\sqrt{7} + 5\sqrt{7} + 1\sqrt{7} - 1
L=(4+5+1)7−1=107−1L = (4 + 5 + 1)\sqrt{7} - 1 = 10\sqrt{7} - 1
✅الإجابة النموذجية:
L=107−1L = 10\sqrt{7} - 1

(حيث a=10a = 10، b=7b = 7، c=−1c = -1)

3. كتابة النسبة L7\frac{L}{\sqrt{7}} على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

L7=107−17\frac{L}{\sqrt{7}} = \frac{10\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7}}

نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي 7\sqrt{7}:

L7=(107−1)×77×7\frac{L}{\sqrt{7}} = \frac{(10\sqrt{7} - 1) \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}
L7=10(7)2−1×77\frac{L}{\sqrt{7}} = \frac{10(\sqrt{7})^2 - 1 \times \sqrt{7}}{7}
L7=10×7−77=70−77\frac{L}{\sqrt{7}} = \frac{10 \times 7 - \sqrt{7}}{7} = \frac{70 - \sqrt{7}}{7}
✅الإجابة النموذجية:
L7=70−77\frac{L}{\sqrt{7}} = \frac{70 - \sqrt{7}}{7}

4. تبيان أن F2F^2 هو عدد طبيعي:

نعلم أن F=187F = 18\sqrt{7}:

F2=(187)2=182×(7)2F^2 = (18\sqrt{7})^2 = 18^2 \times (\sqrt{7})^2
F2=324×7=2268F^2 = 324 \times 7 = 2268
✅الإجابة النموذجية:

بما أن 22682268 عدد صحيح موجب، فإن F2=2268F^2 = 2268 وهو عدد طبيعي.

📌

التمرين الثالث: (3 نقاط)

حل المعادلتين:

1. حل المعادلة الأولية: 2x2+1=02x^2 + 1 = 0

2x2=−1  ⟹  x2=−122x^2 = -1 \implies x^2 = -\frac{1}{2}
💡إضاءة وتنبيه:
مربع أي عدد حقيقي هو دائماً عدد موجب أو معدوم (x2≥0x^2 \ge 0). لا يمكن لمربع عدد حقيقي أن يساوي عدداً سالباً.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن −12<0-\frac{1}{2} < 0، فإن هذه المعادلة ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

2. حل المعادلة الثانية: 64x2−3=064x^2 - 3 = 0

64x2=3  ⟹  x2=36464x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{64}

بما أن 364>0\frac{3}{64} > 0، فإن للمعادلة حلين مختلفين هما:

x=364=364=38x = \sqrt{\frac{3}{64}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{3}}{8}

أو

x=−364=−38x = -\sqrt{\frac{3}{64}} = -\frac{\sqrt{3}}{8}
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما:

x1=38وx2=−38x_1 = \frac{\sqrt{3}}{8} \quad \text{و} \quad x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{8}
📌

التمرين الرابع: (3 نقاط)

دراسة توازي المستقيمين (HG)(HG) و (LE)(LE):

من معطيات الشكل والشروط:

النقاط H,O,EH, O, E في استقامية.
النقاط G,O,LG, O, L في استقامية وبالترتيب نفسه.
الأطوال: OH=1.5 cmOH = 1.5\text{ cm}، OE=4.5 cmOE = 4.5\text{ cm}، OG=2 cmOG = 2\text{ cm}، OL=4 cmOL = 4\text{ cm}.

نحسب النسبة الأولى:

OHOE=1.54.5=13≈0.33\frac{OH}{OE} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3} \approx 0.33

نحسب النسبة الثانية:

OGOL=24=12=0.5\frac{OG}{OL} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5

نلاحظ أن:

OHOE≠OGOL\frac{OH}{OE} \neq \frac{OG}{OL}
💡إضاءة وتنبيه:
لتوازي مستقيمين باستعمال الخاصية العكسية لطاليس، يجب أن تتساوى النسبتان المتناظرتان. وبما أن النسبتين هنا غير متساويتين، فنستنتج عدم التوازي.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن النسبتين غير متساويتين (13≠12\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2})، فإن المستقيمين (HG)(HG) و (LE)(LE) غير متوازيين.

📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (8 نقاط)

1. تبيان أن MAMD=MNMC=710\frac{MA}{MD} = \frac{MN}{MC} = \frac{7}{10}:

في المثلث MDCMDC:

النقاط M,A,DM, A, D على استقامة واحدة.
النقاط M,N,CM, N, C على استقامة واحدة.
المستقيمان (AN)(AN) و (DC)(DC) متوازيان (كلاهما خط أفقي عمودي على الارتفاع الشاقولي MDMD).

حسب خاصية طاليس:

MAMD=MNMC=ANDC\frac{MA}{MD} = \frac{MN}{MC} = \frac{AN}{DC}

بالتعويض بالأطوال المعلومة AN=42 mAN = 42\text{ m} و DC=60 mDC = 60\text{ m}:

ANDC=4260\frac{AN}{DC} = \frac{42}{60}

بإختزال الكسر بقسمة البسط والمقام على 66:

42÷660÷6=710\frac{42 \div 6}{60 \div 6} = \frac{7}{10}
✅الإجابة النموذجية:
MAMD=MNMC=710\frac{MA}{MD} = \frac{MN}{MC} = \frac{7}{10}

2. حساب الطول MDMD واستنتاج الطول ADAD:

حساب الطول MDMD:

نعلم من السؤال السابق أن MAMD=710\frac{MA}{MD} = \frac{7}{10}، ولدينا MA=45.5 mMA = 45.5\text{ m}:

45.5MD=710\frac{45.5}{MD} = \frac{7}{10}
MD=45.5×107=4557=65 mMD = \frac{45.5 \times 10}{7} = \frac{455}{7} = 65\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

ارتفاع الكشاف الضوئي عن الأرض هو MD=65 mMD = 65\text{ m}.

استنتاج الطول ADAD:

بما أن النقطة AA تنتمي إلى القطعة المستقيمية [MD][MD]:

AD=MD−MAAD = MD - MA
AD=65−45.5=19.5 mAD = 65 - 45.5 = 19.5\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

ارتفاع المنزل هو AD=19.5 mAD = 19.5\text{ m}.

3. حساب الطول NCNC الذي يمثل السلم المستعمل للوصول إلى سطح المنزل:

أولاً: حساب الطول الكلي MCMC:

المثلث MDCMDC قائم في DD (لأن الارتفاع MDMD عمودي على الأرض DCDC).

تطبيق خاصية فيثاغورس:

MC2=MD2+DC2MC^2 = MD^2 + DC^2
MC2=(65)2+(60)2=4225+3600=7825MC^2 = (65)^2 + (60)^2 = 4225 + 3600 = 7825
MC=7825≈88.46 mMC = \sqrt{7825} \approx 88.46\text{ m}

ثانياً: حساب الطول NCNC:

نعلم أن النقطة NN تنتمي للقطعة [MC][MC] وأن MNMC=710\frac{MN}{MC} = \frac{7}{10}، وبالتالي فإن نسبة الجزء المتبقي NCNC هي:

NCMC=1−MNMC=1−710=310=0.3\frac{NC}{MC} = 1 - \frac{MN}{MC} = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10} = 0.3
NC=0.3×MC=0.3×7825≈0.3×88.46=26.538 mNC = 0.3 \times MC = 0.3 \times \sqrt{7825} \approx 0.3 \times 88.46 = 26.538\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

طول السلم المستعمل هو NC≈26.54 mNC \approx 26.54\text{ m}.

4. مساعدة معاذ في اختيار الكشاف الضوئي المناسب لمزرعته مع التبرير:

لتغطية أقصى نقطة من المزرعة (النقطة RR)، يجب حساب المدى الأدنى المطلوب للكشاف، وهو الطول MRMR.

في المثلث MDRMDR القائم في DD:

MD=65 mMD = 65\text{ m}
RD=76 mRD = 76\text{ m}

تطبيق خاصية فيثاغورس:

MR2=MD2+RD2MR^2 = MD^2 + RD^2
MR2=652+762=4225+5776=10001MR^2 = 65^2 + 76^2 = 4225 + 5776 = 10001
MR=10001≈100.005 mMR = \sqrt{10001} \approx 100.005\text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة:

MR≈100 mMR \approx 100\text{ m}

التبرير واختيار الكشاف المناسب:

الكشاف الأول (المدى 50m): غير كافٍ لأن 50 m<100 m50\text{ m} < 100\text{ m}.
الكشاف الثاني (المدى 75m): غير كافٍ لأن 75 m<100 m75\text{ m} < 100\text{ m}.
الكشاف الثالث (المدى 100m): يغطي بالضبط أقصى نقطة من المزرعة لأندا نسجل MR≈100 mMR \approx 100\text{ m}.
✅الإجابة النموذجية:

الكشاف المناسب الذي يجب على معاذ اختياره هو الكشاف الثالث (مدى 100m).