📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 53 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (7 نقاط)

1. حساب العبارة EE وكتابة الناتج على شكل كسر غير قابل للاختزال

لدينا العبارة:

E=137−27×1512E = \frac{13}{7} - \frac{2}{7} \times \frac{15}{12}
💡إضاءة وتنبيه:

في الحساب على الكسور، يجب دائماً مراعاة أولويات العمليات الحسابية. الضرب والقسمة لهما الأولوية قبل الجمع والطرح. لذلك نقوم بحساب عملية الضرب أولاً ثم ننتقل لعملية الطرح.

خطوة 1: حساب عملية الضرب

قبل إجراء الضرب، يمكننا تبسيط الكسر 1512\frac{15}{12} لتسهيل الحسابات:

1512=15÷312÷3=54\frac{15}{12} = \frac{15 \div 3}{12 \div 3} = \frac{5}{4}

الآن نضرب الكسرين:

27×54=2×57×4=1028\frac{2}{7} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{7 \times 4} = \frac{10}{28}

ويمكن اختزال هذا الناتج بقسمة البسط والمقام على 2:

10÷228÷2=514\frac{10 \div 2}{28 \div 2} = \frac{5}{14}
خطوة 2: إجراء عملية الطرح

نعوض الناتج في العبارة EE:

E=137−514E = \frac{13}{7} - \frac{5}{14}

لتوحيد المقامات، نلاحظ أن 14 مضاعف للعدد 7 (7×2=147 \times 2 = 14):

E=13×27×2−514E = \frac{13 \times 2}{7 \times 2} - \frac{5}{14}
E=2614−514E = \frac{26}{14} - \frac{5}{14}
E=26−514E = \frac{26 - 5}{14}
E=2114E = \frac{21}{14}
خطوة 3: اختزال الكسر الناتج

نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 21 و 14 وهو العدد 7:

E=21÷714÷7=32E = \frac{21 \div 7}{14 \div 7} = \frac{3}{2}
✅الإجابة النموذجية:

قيمة العبارة EE على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

E=32E = \frac{3}{2}

2. تبيين أن FF عدد طبيعي

لدينا العبارة:

F=125+45−420+7F = \sqrt{125} + \sqrt{45} - 4\sqrt{20} + 7
💡إضاءة وتنبيه:

لتبسيط الجذور التربيعية، نكتب الأعداد الموجودة تحت الجذر على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام (مثل: 4، 9، 16، 25، ...). نلاحظ هنا أن الأعداد 125، 45، 20 كلها تقبل القسمة على 5.

تبسيط الجذور:
125=25×5=25×5=55\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}
45=9×5=9×5=35\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}
420=44×5=4×4×5=4×25=854\sqrt{20} = 4\sqrt{4 \times 5} = 4 \times \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 4 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}
التعويض في العبارة FF:
F=55+35−85+7F = 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 8\sqrt{5} + 7

نأخذ 5\sqrt{5} كعامل مشترك للحدود المتشابهة:

F=(5+3−8)5+7F = (5 + 3 - 8)\sqrt{5} + 7
F=(8−8)5+7F = (8 - 8)\sqrt{5} + 7
F=0×5+7F = 0\times\sqrt{5} + 7
F=7F = 7

وبما أن العدد 7 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية (N\mathbb{N})، فإن FF عدد طبيعي.

✅الإجابة النموذجية:

بعد التبسيط والحساب، وجدنا أن:

F=7F = 7

وهو عدد طبيعي.

3. حل المعادلة ذات المجهول xx

المعادلة هي:

4x2−8=124x^2 - 8 = 12
خطوات الحل:

ننقل الثابت −8-8 إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارته:

4x2=12+84x^2 = 12 + 8
4x2=204x^2 = 20

نقسم الطرفين على معامل x2x^2 وهو 4:

x2=204x^2 = \frac{20}{4}
x2=5x^2 = 5

بما أن العدد 5 أكبر تماماً من الصفر (5>05 > 0)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x=5أوx=−5x = \sqrt{5} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:

حلول المعادلة 4x2−8=124x^2 - 8 = 12 هي:

x=5وx=−5x = \sqrt{5} \quad \text{و} \quad x = -\sqrt{5}
📌

التمرين الثاني: (6 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 132 و 77

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

132=77×1+55132 = 77 \times 1 + 55
77=55×1+2277 = 55 \times 1 + 22
55=22×2+1155 = 22 \times 2 + 11
22=11×2+022 = 11 \times 2 + 0

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 11، فإن:

PGCD(132,77)=11\text{PGCD}(132, 77) = 11
✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 132 و 77 هو:

PGCD(132,77)=11\text{PGCD}(132, 77) = 11

2. تقسيم الصفيحة المستطيلة إلى مربعات متساوية بأكبر ضلع دون ضياع

أبعاد الصفيحة هي: 1.32 m1.32 \text{ m} و 0.77 m0.77 \text{ m}.

تحويل الأبعاد إلى السنتيمتر (\text{cm}) لتسهيل الحساب:
الطول: 1.32 m=132 cm1.32 \text{ m} = 132 \text{ cm}
العرض: 0.77 m=77 cm0.77 \text{ m} = 77 \text{ cm}

أ) حساب طول ضلع كل مربع:

بما أن الصفيحة ستُجزأ إلى مربعات متساوية وبأكبر ضلع ممكن دون ضياع، فإن طول ضلع المربع الواحد يجب أن يكون القاسم المشترك الأكبر لبعدي الصفيحة بالسنتمتر.

أي أن طول الضلع هو:

PGCD(132,77)=11 cm\text{PGCD}(132, 77) = 11 \text{ cm}

بالأمتار:

11 cm=0.11 m11 \text{ cm} = 0.11 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

طول ضلع كل مربع هو 11 cm11 \text{ cm} (أو 0.11 m0.11 \text{ m}).

ب) حساب عدد المربعات الناتجة:

هناك طريقتان لحساب عدد المربعات:

الطريقة الأولى (باستخدام عدد المربعات على طول وعرض الصفيحة):
عدد المربعات على طول الصفيحة:
132÷11=12 مربعاً132 \div 11 = 12 \text{ مربعاً}
عدد المربعات على عرض الصفيحة:
77÷11=7 مربعات77 \div 11 = 7 \text{ مربعات}
العدد الإجمالي للمربعات:
12×7=84 مربعاً12 \times 7 = 84 \text{ مربعاً}
الطريقة الثانية (باستخدام المساحات):
مساحة الصفيحة المستطيلة:
Sصفيحة=132×77=10164 cm2S_{\text{صفيحة}} = 132 \times 77 = 10164 \text{ cm}^2
مساحة المربع الواحد:
Sمربع=11×11=121 cm2S_{\text{مربع}} = 11 \times 11 = 121 \text{ cm}^2
عدد المربعات:
N=10164121=84 مربعاًN = \frac{10164}{121} = 84 \text{ مربعاً}
✅الإجابة النموذجية:

عدد المربعات الناتجة هو 84 مربعاً.

📌

التمرين الثالث: (7 نقاط)

لدينا الأعداد:

A=3+4A = \sqrt{3} + 4
B=3−23B = 3 - 2\sqrt{3}
C=22C = 2\sqrt{2}

1. حساب كل من A+BA + B و A×BA \times B

حساب A+BA + B:
A+B=(3+4)+(3−23)A + B = (\sqrt{3} + 4) + (3 - 2\sqrt{3})

نجمع الحدود المتشابهة (الأعداد الطبيعية معاً والجذور معاً):

A+B=(4+3)+(3−23)A + B = (4 + 3) + (\sqrt{3} - 2\sqrt{3})
A+B=7+(1−2)3A + B = 7 + (1 - 2)\sqrt{3}
A+B=7−3A + B = 7 - \sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
A+B=7−3A + B = 7 - \sqrt{3}
حساب A×BA \times B:
A×B=(3+4)(3−23)A \times B = (\sqrt{3} + 4)(3 - 2\sqrt{3})

ننشر العبارة بتوزيع الضرب على الجمع والطرح:

A×B=3×3+3×(−23)+4×3+4×(−23)A \times B = \sqrt{3} \times 3 + \sqrt{3} \times (-2\sqrt{3}) + 4 \times 3 + 4 \times (-2\sqrt{3})
A×B=33−2(3)2+12−83A \times B = 3\sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2 + 12 - 8\sqrt{3}

نعلم أن (3)2=3(\sqrt{3})^2 = 3:

A×B=33−2(3)+12−83A \times B = 3\sqrt{3} - 2(3) + 12 - 8\sqrt{3}
A×B=33−6+12−83A \times B = 3\sqrt{3} - 6 + 12 - 8\sqrt{3}

نجمع الحدود المتشابهة:

A×B=(−6+12)+(33−83)A \times B = (-6 + 12) + (3\sqrt{3} - 8\sqrt{3})
A×B=6−53A \times B = 6 - 5\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
A×B=6−53A \times B = 6 - 5\sqrt{3}

2. جعل مقام النسبة A+BC\frac{A+B}{C} على شكل مقام ناطق

لدينا النسبة:

A+BC=7−322\frac{A+B}{C} = \frac{7 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
💡إضاءة وتنبيه:

لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر التربيعي الموجود في المقام (وهو هنا 2\sqrt{2}). يجب وضع البسط بين قوسين لضمان توزيع الضرب بشكل صحيح.

خطوات الحساب:
A+BC=(7−3)×222×2\frac{A+B}{C} = \frac{(7 - \sqrt{3}) \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}

نوزع 2\sqrt{2} في البسط:

البسط=72−3×2=72−6\text{البسط} = 7\sqrt{2} - \sqrt{3} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2} - \sqrt{6}

نحسب المقام:

المقام=2×(2)2=2×2=4\text{المقام} = 2 \times (\sqrt{2})^2 = 2 \times 2 = 4

إذن النسبة تصبح:

A+BC=72−64\frac{A+B}{C} = \frac{7\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة النسبة بمقام ناطق هي:

A+BC=72−64\frac{A+B}{C} = \frac{7\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}