أولاً، نقوم بتبسيط قيمتي العددين $A$ و $B$ للتخلص من القوى:

الآن، نحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين $1674$ و $3162$ باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو $186$، فإن:

نعوض قيمتي $A$ و $B$ في الكسر:

لاختزال الكسر، نقسم كلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما. يمكننا الاستعانة بالتبسيط التالي:

بقسمة حدّي الكسر $\frac{1674}{3162}$ على $\text{PGCD}(1674, 3162) = 186$:

إذن:

العبارة المعطاة هي:

نعلم أن:

بالتعويض في العبارة $P$:

العبارة المعطاة:

نقوم بتبسيط كل حد من حدود العبارة على حدة:

1. الحد الأول:

2. الحد الثاني (باستعمال المتطابقات الشهيرة الأولى):

3. الحد الثالث (تنطيق مقام الكسر):

4. الحدود العددية الأخرى:

نعوض هذه النتائج المبسطة في العبارة الإجمالية لـ $Z$:

نجمع الحدود المتشابهة معاً:

إذن، العبارة المبسطة لـ $Z$ هي:

ويمكن كتابتها باستخراج العامل المشترك:

بقسمة طرفي المعادلة على $-5$:

بما أن $20 > 0$، فإن للمعادلة حلين حقيقيين هما:

باستعمال الجداء المتصالب (الضرب التبادلي):

بما أن $30 > 0$، فإن للمعادلة حلين حقيقيين هما:

ندرس إشارة الطرف الأيمن للمعادلة:

نعلم أن $\sqrt{5} \approx 2.24$، وبالتالي:

بما أن الطرف الأيمن سالب تماماً، فإن هذه المعادلة ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

نقوم بتبسيط ما بداخل الحاضنتين أولاً:

نعوض في المجموع داخل الحاضنتين:

تصبح المعادلة:

وبما أن العدد $1$ مرفوعاً لأي قوة يساوي $1$:

بما أن $1 > 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

النقطة $F$ تنتمي إلى القطعة $[BM]$ بحيث تحقق الطول المعطى:

نستخدم خاصية طاليس العكسية في المثلث $MBH$:

1. النسبة الأولى:

2. النسبة الثانية:

نعلم أن الطول $MH$ هو:

إذن النسبة هي:

وبما أن النسبتين متساويتان والنقاط مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتشكلين، فإنه وحسب خاصية طاليس العكسية، فإن المستقيمين $(TF)$ و $(BH)$ متوازيان تماماً.