في القسمة الإقليدية لعدد طبيعي $D$ على عدد طبيعي غير معدوم $d$، نكتب:

حيث $q$ هو حاصل القسمة و $r$ هو الباقي، مع الشرط الأساسي: $0 \le r < d$.

هذا يعني أن المقسوم مطروحاً منه الباقي يقبل القسمة تماماً على القاسم، أي أن القاسم هو أحد قواسم العدد $(D - r)$.

ترجمة معطيات التمرين إلى عبارات رياضية:

1. عند قسمة العدد $402$ على العدد $x$ نجد الباقي $12$:

هذا يعني وجود عدد طبيعي $q_1$ بحيث:

ومنه:

إذن: العدد $x$ هو قاسم للعدد $390$.

2. عند قسمة العدد $488$ على نفس العدد $x$ نجد الباقي $8$:

هذا يعني وجود عدد طبيعي $q_2$ بحيث:

ومنه:

إذن: العدد $x$ هو قاسم للعدد $480$.

من (1) و (2) نستنتج أن العدد $x$ هو قاسم مشترك للعددين $390$ و $480$، مع الشرط $x > 12$.

🔹 الخطوة 1: حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $480$ و $390$

نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $30$، فإن:

🔹 الخطوة 2: إيجاد القواسم المشتركة للعددين $480$ و $390$

القواسم المشتركة لعددين هي نفسها قواسم قاسمهما المشترك الأكبر $30$.

قواسم العدد $30$ هي:

🔹 الخطوة 3: تعيين قيم $x$ المناسبة

لدينا الشرط $x > 12$.

بالنظر إلى مجموعة قواسم العدد $30$، القيم التي تحقق هذا الشرط هي:

إذن، القيم الممكنة للعدد $x$ هي $15$ أو $30$.

نفترض أن العددين الطبيعيين المطلوبين هما $a$ و $b$ حيث:

إذا كان القاسم المشترك الأكبر لعددين $a$ و $b$ هو $d$، فإنه يوجد عددان طبيعيان $a'$ و $b'$ أوليان فيما بينهما ($\text{PGCD}(a', b') = 1$) بحيث:

بما أن $\text{PGCD}(a, b) = 27$، يمكننا كتابة:

حيث $a'$ و $b'$ عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما ($\text{PGCD}(a', b') = 1$).

بالتعويض في معادلة المجموع:

نأخذ $27$ كعامل مشترك:

نقسم الطرفين على $27$:

الآن، نبحث عن الثنائيات الطبيعية $(a', b')$ التي مجموعها يساوي $3$ وتكون أولية فيما بينها:

نقوم بحساب قيم $a$ و $b$ المقابلة:

إذن، العددان الطبيعيان هما $27$ و $54$.

لملء صندوق متوازي المستطيلات تماماً بمكعبات متماثلة طول ضلعها $x$ (دون ترك أي فراغ ودون تجزئة أي مكعب)، يجب أن يكون طول الضلع $x$ قاسماً مشتركاً لأبعاد الصندوق الثلاثة وهي: $36 \text{ cm}$، $48 \text{ cm}$، و $60 \text{ cm}$.

ولكي يكون عدد المكعبات المستعملة أصغر ما يمكن، يجب أن يكون حجم كل مكعب أكبر ما يمكن، أي أن طول ضلعه $x$ يجب أن يكون أكبر ما يمكن. وبالتالي، فإن $x$ هو القاسم المشترك الأكبر للأبعاد الثلاثة.

حساب القاسم المشترك الأكبر للأعداد الثلاثة: $36$، $48$، $60$.

🔹 الخطوة 1: حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $48$ و $36$

نستخدم خوارزمية إقليدس:

إذن:

🔹 الخطوة 2: حساب القاسم المشترك الأكبر للناتج $12$ والعدد الثالث $60$

نلاحظ أن:

بما أن الباقي معدوم، فإن:

ومنه نستنتج أن:

إذن، قيمة $x$ حتى يكون عدد المكعبات أصغر ما يمكن هي:

لتبسيط عبارة تتضمن جذوراً تربيعية، نكتب الأعداد تحت الجذور على الشكل $a^2 \times b$ حيث $a^2$ هو أكبر مربع تام ممكن، ثم نطبق الخاصية: $\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$.

تبسيط العبارة $A$:

نلاحظ أن الأعداد تحت الجذور تقبل القسمة على $2$:

بالتعويض في العبارة:

باستخراج $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

تبسيط العبارة $B$:

نلاحظ أيضاً أن الأعداد تحت الجذور تقبل القسمة على $2$:

بالتعويض في العبارة:

باستخراج $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

نعوض بالقيمتين المبسطتين: $A = 9\sqrt{2}$ و $B = 6\sqrt{2}$.

أولاً: حساب العدد $\frac{2AB}{A+B}$

نحسب أولاً البسط والمقام على حدة لتسهيل الحساب وتفادي الأخطاء:

ثانياً: حساب العدد $\frac{B+A}{2}$

ثالثاً: حساب العدد $\sqrt{A \times B}$

نحسب أولاً الجداء داخل الجذر:

إذن:

نبسط الجذر التربيعي للعدد $108$: