📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 49 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول:

1) تبسيط العبارتين AA و BB:

تبسيط العبارة AA:
💡إضاءة وتنبيه:
لتبسيط عبارة تتضمن جذوراً تربيعية، نقوم بكتابة الأعداد الموجودة تحت الجذور على الشكل a2×ba^2 \times b حيث bb هو أصغر طبيعي ممكن (في هذه الحالة سنقسم الأعداد على 3).
A=212−375+48A = 2\sqrt{12} - 3\sqrt{75} + \sqrt{48}

نعلم أن:

12=4×3=22×312 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3
75=25×3=52×375 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3
48=16×3=42×348 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3

بتعويض هذه القيم في العبارة AA:

A=24×3−325×3+16×3A = 2\sqrt{4 \times 3} - 3\sqrt{25 \times 3} + \sqrt{16 \times 3}
A=2×23−3×53+43A = 2 \times 2\sqrt{3} - 3 \times 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3}
A=43−153+43A = 4\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 4\sqrt{3}

الآن نأخذ 3\sqrt{3} كعامل مشترك:

A=(4−15+4)3A = (4 - 15 + 4)\sqrt{3}
A=−73A = -7\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:

الشكل المبسط للعبارة AA هو:

A=−73A = -7\sqrt{3}
تبسيط العبارة BB:
B=3(3−1)+27+1B = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} + 1

نقوم بنشر وتبسيط العبارة:

3(3−1)=(3)2−3=3−3\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}
27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}

نعوض في العبارة BB:

B=(3−3)+33+1B = (3 - \sqrt{3}) + 3\sqrt{3} + 1
B=3+1−3+33B = 3 + 1 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}
B=4+23B = 4 + 2\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:

الشكل المبسط للعبارة BB هو:

B=4+23B = 4 + 2\sqrt{3}

2) جعل مقام النسبة 4−323\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} عدداً ناطقاً:

💡إضاءة وتنبيه:
لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر التربيعي الموجود في المقام (وهو 3\sqrt{3}) مع مراعاة وضع البسط بين قوسين لتوزيع الضرب.
4−323=(4−3)×323×3\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{(4-\sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}}
=43−(3)22×3= \frac{4\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{2 \times 3}
=43−36= \frac{4\sqrt{3} - 3}{6}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة النسبة بمقام ناطق هي:

43−36\frac{4\sqrt{3} - 3}{6}
📌

التمرين الثاني:

1) حساب الطولين OPOP و PRPR ثم sin⁡P^\sin \widehat{P}:

حساب الطول OPOP:

بما أن المثلث OPROPR قائم في OO، فإننا نستخدم تعريف ظل الزاوية الحادة tan⁡R^\tan \widehat{R}:

tan⁡R^=الضلع المقابلالضلع المجاور=OPOR\tan \widehat{R} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{OP}{OR}

لدينا: OR=6 cmOR = 6\text{ cm} و tan⁡R^=53\tan \widehat{R} = \frac{5}{3}.

نعوض في القانون:

53=OP6\frac{5}{3} = \frac{OP}{6}

باستعمال الجداء المتصالب:

OP=5×63=303=10 cmOP = \frac{5 \times 6}{3} = \frac{30}{3} = 10\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول OPOP هو:

OP=10 cmOP = 10\text{ cm}
حساب الطول PRPR:

بما أن المثلث OPROPR قائم في OO، فبتطبيق نظرية فيثاغورس نجد:

PR2=OP2+OR2PR^2 = OP^2 + OR^2
PR2=102+62PR^2 = 10^2 + 6^2
PR2=100+36=136PR^2 = 100 + 36 = 136
PR=136=4×34=234 cm≈11.66 cmPR = \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34}\text{ cm} \approx 11.66\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول PRPR هو:

PR=234 cm(أو بالقيمة التقريبية 11.66 cm)PR = 2\sqrt{34}\text{ cm} \quad (\text{أو بالقيمة التقريبية } 11.66\text{ cm})
حساب sin⁡P^\sin \widehat{P}:

في المثلث القائم OPROPR:

sin⁡P^=الضلع المقابلالوتر=ORPR\sin \widehat{P} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{OR}{PR}
sin⁡P^=6136=6234=334\sin \widehat{P} = \frac{6}{\sqrt{136}} = \frac{6}{2\sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{34}}

لجعل المقام ناطقاً:

sin⁡P^=33434≈0.514\sin \widehat{P} = \frac{3\sqrt{34}}{34} \approx 0.514
✅الإجابة النموذجية:

جيب تمام الزاوية P^\widehat{P} هو:

sin⁡P^=33434≈0.51\sin \widehat{P} = \frac{3\sqrt{34}}{34} \approx 0.51

2) رسم الارتفاع [OH][OH] وحساب OHOH ثم PHPH:

وصف الرسم:

نرسم المثلث القائم OPROPR في OO حيث OR=6 cmOR = 6\text{ cm} و OP=10 cmOP = 10\text{ cm}. ثم نسقط العمود من الرأس القائم OO على الوتر [PR][PR] فيقطعها في النقطة HH، فيكون القطعة المستقيمة [OH][OH] هي الارتفاع المتعلق بالضلع [PR][PR].

حساب الطول OHOH:
💡إضاءة وتنبيه:
يمكن حساب الارتفاع المتعلق بالوتر في مثلث قائم باستخدام علاقة المساحة: (المساحة = نصف قاعدة × الارتفاع)، مما يعني أن: OP×OR=OH×PROP \times OR = OH \times PR.
OH=OP×ORPROH = \frac{OP \times OR}{PR}
OH=10×6136=60136OH = \frac{10 \times 6}{\sqrt{136}} = \frac{60}{\sqrt{136}}
OH=60234=3034=303434=153417 cm≈5.14 cmOH = \frac{60}{2\sqrt{34}} = \frac{30}{\sqrt{34}} = \frac{30\sqrt{34}}{34} = \frac{15\sqrt{34}}{17}\text{ cm} \approx 5.14\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول OHOH هو:

OH=153417 cm≈5.14 cmOH = \frac{15\sqrt{34}}{17}\text{ cm} \approx 5.14\text{ cm}
حساب الطول PHPH:

في المثلث OPHOPH القائم في HH، بتطبيق نظرية فيثاغورس:

OP2=OH2+PH2  ⟹  PH2=OP2−OH2OP^2 = OH^2 + PH^2 \implies PH^2 = OP^2 - OH^2
PH2=102−(60136)2PH^2 = 10^2 - \left(\frac{60}{\sqrt{136}}\right)^2
PH2=100−3600136PH^2 = 100 - \frac{3600}{136}
PH2=13600−3600136=10000136PH^2 = \frac{13600 - 3600}{136} = \frac{10000}{136}
PH=10000136=100136=100234=5034=503434=253417 cm≈8.57 cmPH = \sqrt{\frac{10000}{136}} = \frac{100}{\sqrt{136}} = \frac{100}{2\sqrt{34}} = \frac{50}{\sqrt{34}} = \frac{50\sqrt{34}}{34} = \frac{25\sqrt{34}}{17}\text{ cm} \approx 8.57\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول PHPH هو:

PH=253417 cm≈8.57 cmPH = \frac{25\sqrt{34}}{17}\text{ cm} \approx 8.57\text{ cm}
📌

التمرين الثالث:

1) رسم الشكل بدقة:

نرسم زاوية قائمة في AA.
نحدد النقطة CC على الضلع الأول بحيث AC=2.4 cmAC = 2.4\text{ cm}.
نحدد النقطة BB على الضلع الثاني بحيث AB=3.2 cmAB = 3.2\text{ cm}.
نمدد الضلع [CA][CA] من جهة AA لنحصل على نصف المستقيم [CA)[CA).
نحدد النقطة MM على التمديد بحيث AM=1.5 cmAM = 1.5\text{ cm} (مع العلم أن M∉[CA]M \notin [CA]، أي أن الترتيب هو C−A−MC - A - M).
نرسم مستقيماً يشمل MM ويوازي (BC)(BC)، يقطع المستقيم (AB)(AB) في النقطة NN.

2) حساب الطولين BCBC و ANAN:

حساب الطول BCBC:

بما أن المثلث ABCABC قائم في AA، فبتطبيق نظرية فيثاغورس نجد:

BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2
BC2=(3.2)2+(2.4)2BC^2 = (3.2)^2 + (2.4)^2
BC2=10.24+5.76=16BC^2 = 10.24 + 5.76 = 16
BC=16=4 cmBC = \sqrt{16} = 4\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول BCBC هو:

BC=4 cmBC = 4\text{ cm}
حساب الطول ANAN:

بما أن المستقيمين (MN)(MN) و (BC)(BC) متوازيان، والمستقيمان (CM)(CM) و (BN)(BN) يتقاطعان في النقطة AA، فبتطبيق نظرية طاليس نجد:

AMAC=ANAB=MNBC\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB} = \frac{MN}{BC}

نعوض بالأطوال المعلومة لحساب ANAN:

1.52.4=AN3.2\frac{1.5}{2.4} = \frac{AN}{3.2}
AN=1.5×3.22.4AN = \frac{1.5 \times 3.2}{2.4}
AN=4.82.4=2 cmAN = \frac{4.8}{2.4} = 2\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول ANAN هو:

AN=2 cmAN = 2\text{ cm}

3) تبيان أن (MK)//(AB)(MK) // (AB):

لدينا:

النقطة MM تنتمي إلى نصف المستقيم [CA)[CA) و M∉[CA]M \notin [CA]، إذن النقاط C,A,MC, A, M في استقامية بهذا الترتيب، وطول القطعة [CM][CM] هو:
CM=CA+AM=2.4+1.5=3.9 cmCM = CA + AM = 2.4 + 1.5 = 3.9\text{ cm}
النقطة KK تنتمي إلى نصف المستقيم [CB)[CB) و K∉[CB]K \notin [CB]، إذن النقاط C,B,KC, B, K في استقامية بهذا الترتيب، وطول القطعة [CK][CK] هو:
CK=CB+BK=4+2.5=6.5 cmCK = CB + BK = 4 + 2.5 = 6.5\text{ cm}

نقارن الآن النسبتين CACM\frac{CA}{CM} و CBCK\frac{CB}{CK}:

النسبة الأولى:
CACM=2.43.9=2439=813≈0.615\frac{CA}{CM} = \frac{2.4}{3.9} = \frac{24}{39} = \frac{8}{13} \approx 0.615
النسبة الثانية:
CBCK=46.5=4065=813≈0.615\frac{CB}{CK} = \frac{4}{6.5} = \frac{40}{65} = \frac{8}{13} \approx 0.615

نلاحظ أن:

CACM=CBCK\frac{CA}{CM} = \frac{CB}{CK}

وبما أن النقط C,A,MC, A, M والنقاط C,B,KC, B, K مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين (CM)(CM) و (CK)(CK)، فإنه وحسب الخاصية العكسية لنظرية طاليس نستنتج أن:

(MK)//(AB)(MK) // (AB)