📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 50 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول

1) حساب العدد AA كتابةً وتبسيطاً

لدينا العبارة:

A=35−75÷78A = \frac{3}{5} - \frac{7}{5} \div \frac{7}{8}
💡إضاءة وتنبيه:
في ترتيب العمليات الحسابية، تُعطى الأولوية لعمليتي الضرب والقسمة قبل الجمع والطرح. لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.
A=35−(75×87)A = \frac{3}{5} - \left( \frac{7}{5} \times \frac{8}{7} \right)

نلاحظ وجود العامل المشترك 77 في البسط والمقام عند إجراء عملية الضرب، لذا يمكننا الاختزال مباشرة:

7×85×7=85\frac{7 \times 8}{5 \times 7} = \frac{8}{5}

نعوض الآن في العبارة AA:

A=35−85A = \frac{3}{5} - \frac{8}{5}

بما أن المقامين موحدان، نطرح البسطين مباشرة:

A=3−85A = \frac{3 - 8}{5}
A=−55A = \frac{-5}{5}
A=−1A = -1
✅الإجابة النموذجية:

قيمة العدد AA هي:

A=−1A = -1

2) كتابة العدد BB على الشكل aba\sqrt{b}

لدينا العبارة:

B=294−2150+726B = \sqrt{294} - 2\sqrt{150} + \sqrt{726}

المطلوب هو كتابة BB على الشكل aba\sqrt{b} حيث bb أصغر عدد طبيعي ممكن.

نبحث عن القواسم المشتركة التي تكون مربعات تامة للأعداد تحت الجذور. نلاحظ أن الأعداد تقبل القسمة على 66:

294=49×6294 = 49 \times 6 (علماً أن 49=7249 = 7^2)
150=25×6150 = 25 \times 6 (علماً أن 25=5225 = 5^2)
726=121×6726 = 121 \times 6 (علماً أن 121=112121 = 11^2)

نعوض هذه القيم في العبارة BB:

B=49×6−225×6+121×6B = \sqrt{49 \times 6} - 2\sqrt{25 \times 6} + \sqrt{121 \times 6}

نطبق الخاصية x×y=x×y\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}:

B=76−2(56)+116B = 7\sqrt{6} - 2(5\sqrt{6}) + 11\sqrt{6}
B=76−106+116B = 7\sqrt{6} - 10\sqrt{6} + 11\sqrt{6}

نستخرج 6\sqrt{6} كعامل مشترك:

B=(7−10+11)6B = (7 - 10 + 11)\sqrt{6}
B=86B = 8\sqrt{6}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العدد BB على الشكل aba\sqrt{b} هي:

B=86B = 8\sqrt{6}

حيث a=8a = 8 (عدد نسبي) و b=6b = 6 (أصغر عدد طبيعي ممكن غير معدوم).

3) كتابة النسبة CC على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

لدينا النسبة:

C=3−22+3C = \frac{3 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}

لتنطيق مقام هذه النسبة، نضرب كلاً من البسط والمقام في مرافق المقام. مرافق المقدار (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) هو (3−2)(\sqrt{3} - \sqrt{2}) لتسهيل الحساب وتفادي الإشارات السالبة في المقام:

C=(3−2)(3−2)(3+2)(3−2)C = \frac{(3 - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}
تبسيط المقام: نطبق المتطابقة الشهيرة الثالثة (x+y)(x−y)=x2−y2(x+y)(x-y) = x^2 - y^2:
(3+2)(3−2)=(3)2−(2)2=3−2=1(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1
تبسيط البسط: نقوم بنشر وتوزيع الحدود:
(3−2)(3−2)=33−32−23+(2)2(3 - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{2})^2
=33−32−6+2= 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2

إذن تصبح النسبة:

C=33−32−6+21C = \frac{3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2}{1}
C=33−32−6+2C = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2
✅الإجابة النموذجية:

كتابة النسبة CC بمقام ناطق هي:

C=33−32−6+2C = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2

4) إعطاء الكتابة العلمية للعدد الناطق DD

لدينا العبارة:

D=3.14×10−2×7×10628×10−3D = \frac{3.14 \times 10^{-2} \times 7 \times 10^6}{28 \times 10^{-3}}

نقوم بفصل الأعداد العشرية عن قوى العدد 10 لتسهيل الحساب:

D=(3.14×728)×(10−2×10610−3)D = \left( \frac{3.14 \times 7}{28} \right) \times \left( \frac{10^{-2} \times 10^6}{10^{-3}} \right)
حساب الجزء العددي:
3.14×7=21.983.14 \times 7 = 21.98
21.9828=0.785\frac{21.98}{28} = 0.785
حساب جزء قوى العدد 10:
10−2×10610−3=10−2+610−3=10410−3=104−(−3)=104+3=107\frac{10^{-2} \times 10^6}{10^{-3}} = \frac{10^{-2+6}}{10^{-3}} = \frac{10^4}{10^{-3}} = 10^{4 - (-3)} = 10^{4+3} = 10^7

إذن:

D=0.785×107D = 0.785 \times 10^7

لإيجاد الكتابة العلمية، يجب كتابة العدد على الشكل α×10n\alpha \times 10^n حيث 1≤α<101 \le \alpha < 10:

0.785=7.85×10−10.785 = 7.85 \times 10^{-1}
D=(7.85×10−1)×107D = (7.85 \times 10^{-1}) \times 10^7
D=7.85×10−1+7D = 7.85 \times 10^{-1+7}
D=7.85×106D = 7.85 \times 10^6
✅الإجابة النموذجية:

الكتابة العلمية للعدد DD هي:

D=7.85×106D = 7.85 \times 10^6
📌

التمرين الثاني

1) حساب الطول CECE

لدينا المثلث CDECDE قائم في DD (حسب التشفير الموجود في الشكل).

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم CDECDE، نجد:

CE2=CD2+DE2CE^2 = CD^2 + DE^2

بالتعويض بالقيم المعطاة (CD=3 cmCD = 3\text{ cm} و DE=4 cmDE = 4\text{ cm}):

CE2=32+42CE^2 = 3^2 + 4^2
CE2=9+16CE^2 = 9 + 16
CE2=25CE^2 = 25
CE=25CE = \sqrt{25}
CE=5 cmCE = 5\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول CECE يساوي:

CE=5 cmCE = 5\text{ cm}

2) حساب الطول BCBC

نعلم من الشكل أن المستقيمين (AD)(AD) و (BE)(BE) يتقاطعان في النقطة CC.

الزاويتان ∠ACB\angle ACB و ∠ECD\angle ECD متقابلتان بالرأس، إذن هما متساويتان:

∠ACB=∠ECD\angle ACB = \angle ECD

بما أن المثلثين ABCABC و CDECDE قائمان في BB و DD على التوالي، فإن جيب تمام (cosinus) هاتين الزاويتين متساوٍ:

cos⁡(∠ACB)=cos⁡(∠ECD)\cos(\angle ACB) = \cos(\angle ECD)
في المثلث القائم CDECDE:
cos⁡(∠ECD)=المجاورالوتر=CDCE=35\cos(\angle ECD) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{CD}{CE} = \frac{3}{5}
في المثلث القائم ABCABC:
cos⁡(∠ACB)=المجاورالوتر=BCAC=BC6\cos(\angle ACB) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{6}

بالتساوي بين النسبتين نجد:

BC6=35\frac{BC}{6} = \frac{3}{5}

ومنه باستعمال الجداء المتصالب:

BC=6×35BC = \frac{6 \times 3}{5}
BC=185BC = \frac{18}{5}
BC=3.6 cmBC = 3.6\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول BCBC يساوي:

BC=3.6 cmBC = 3.6\text{ cm}
📌

التمرين الثالث

لدينا ABCABC مثلث قائم في الرأس AA حيث:

AB=3 cmAB = 3\text{ cm}
∠ABC=40∘\angle ABC = 40^\circ

1) حساب الطول BCBC

في المثلث القائم ABCABC في AA، الضلع ABAB هو الضلع المجاور للزاوية ∠ABC\angle ABC، والضلع BCBC هو الوتر.

باستعمال النسبة المثلثية جيب تمام الزاوية (cos):

cos⁡(∠ABC)=الضلع المجاورالوتر\cos(\angle ABC) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}
cos⁡(40∘)=ABBC\cos(40^\circ) = \frac{AB}{BC}

نعوض بالقيم المعلومة:

cos⁡(40∘)=3BC\cos(40^\circ) = \frac{3}{BC}
BC=3cos⁡(40∘)BC = \frac{3}{\cos(40^\circ)}

باستعمال الآلة الحاسبة نجد:

cos⁡(40∘)≈0.7660\cos(40^\circ) \approx 0.7660
BC≈30.7660≈3.916 cmBC \approx \frac{3}{0.7660} \approx 3.916\text{ cm}

بالتدوير إلى الوحدة:

بما أن الجزء من عشرة هو 99 (وهو أكبر من أو يساوي 5)، فإننا نضيف 1 إلى الآحاد.

BC≈4 cmBC \approx 4\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول BCBC بالتدوير إلى الوحدة هو:

BC≈4 cmBC \approx 4\text{ cm}

2) حساب الطول ACAC

في المثلث القائم ABCABC في AA، الضلع ACAC هو الضلع المقابل للزاوية ∠ABC\angle ABC، والضلع ABAB هو الضلع المجاور لها.

باستعمال النسبة المثلثية ظل الزاوية (tan):

tan⁡(∠ABC)=الضلع المقابلالضلع المجاور\tan(\angle ABC) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}
tan⁡(40∘)=ACAB\tan(40^\circ) = \frac{AC}{AB}

نعوض بالقيم المعلومة:

tan⁡(40∘)=AC3\tan(40^\circ) = \frac{AC}{3}
AC=3×tan⁡(40∘)AC = 3 \times \tan(40^\circ)

باستعمال الآلة الحاسبة نجد:

tan⁡(40∘)≈0.8391\tan(40^\circ) \approx 0.8391
AC≈3×0.8391≈2.517 cmAC \approx 3 \times 0.8391 \approx 2.517\text{ cm}

بالتدوير إلى الوحدة:

بما أن الجزء من عشرة هو 55 (وهو أكبر من أو يساوي 5)، فإننا نضيف 1 إلى الآحاد.

AC≈3 cmAC \approx 3\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول ACAC بالتدوير إلى الوحدة هو:

AC≈3 cmAC \approx 3\text{ cm}