لكتابة عدد كتابة علمية، نقوم بتبسيط العبارة أولاً بفصل الأعداد العشرية عن القوى ذات الأساس 10، ثم نكتب الناتج على الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة ($1 \le a < 10$) و $n$ عدد صحيح نسبي.

نعيد ترتيب البسط والمقام بجمع الأعداد معاً والقوى معاً:

نحسب العمليات في البسط والمقام:

نعوض هذه القيم في العبارة:

نقسم الأعداد ونطرح أسس القوى:

إذن:

نكتب العدد كتابة علمية بإزاحة الفاصلة مرتبة واحدة نحو اليسار:

يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. لإثبات أنهما ليسا أوليين دون حساب $PGCD$، يكفي إيجاد قاسم مشترك واحد لهما يختلف عن الرقم 1 (باستخدام قواعد قابلية القسمة).

العددان 1540 و 968 ليسا أوليين فيما بينهما.

نعلم أن:

ومنه نستنتج النسبة:

لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقوم بحساب القاسم المشترك الأكبر $PGCD$ للبسط والمقام ثم نقسم كلاً منهما عليه.

نبحث عن $PGCD(1540, 968)$ باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقٍ غير معدوم هو 44، إذن:

الآن نقسم بسط ومقام الكسر على 44:

الكسر $\frac{35}{22}$ هو كسر غير قابل للاختزال.

لدينا طول ضلع المربع هو $AB = \sqrt{20} + 1$.

نعلم أن $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$، إذن:

نحسب المحيط $P_1$:

لدينا بعدا المستطيل هما:

$FG = \sqrt{5} + 3$

$EF = \sqrt{45} - 1$

نبسط الطول $EF$:

نحسب المحيط $P_2$:

نجمع الحدود المتشابهة داخل القوسين:

إذن:

بما أن $P_1 = 8\sqrt{5} + 4$ و $P_2 = 8\sqrt{5} + 4$، فإن محيطي المربع $ABCD$ والمستطيل $EFGH$ متساويان تماماً.

العبارة:

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام، وبما أن الأعداد كلها تقبل القسمة على 2، فإن القيمة المستهدفة تحت الجذر هي $b = 2$:

نعوض في العبارة $K$:

حيث $a = 10$ (عدد نسبي صحيح) و $b = 2$ (أصغر عدد طبيعي ممكن).

العبارة:

نعوض قيمة $K$ التي وجدناها سابقاً ($K = 10\sqrt{2}$):

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 5:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{2}$:

ننقل المعاليم إلى طرف والمجاهيل إلى طرف آخر:

بما أن العدد 9 موجب تماماً ($9 > 0$)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

أو

إذن للمعادلة حلان هما: $3$ و $-3$.

لرسم الشكل بدقة:

1. ارسم قطعة المستقيم $[AB]$ بطول $9\text{ cm}$.

2. باستخدام المدور، افتح فتحة بطول $5\text{ cm}$ من النقطة $A$ وارسم قوساً، ثم افتح فتحة بطول $6\text{ cm}$ من النقطة $B$ وارسم قوساً يقطع الأول لتحديد النقطة $C$.

3. حدد النقطة $M$ على القطعة $[AB]$ بحيث تبعد عن $A$ بـ $3\text{ cm}$ (أي تبعد عن $B$ بـ $6\text{ cm}$).

4. حدد النقطة $N$ على القطعة $[BC]$ بحيث تبعد عن $B$ بـ $4\text{ cm}$.

(يمكن للطالب رسم هذا المخطط الهندسي على ورقة الإجابة بالمسطرة والمدور بدقة).

نستخدم النظرية العكسية لنظرية طاليس في المثلث $BAC$ برأس مشترك $B$:

لدينا النقطة $M$ تنتمي إلى $[AB]$، إذن:

نحسب النسبة الأولى:

ونحسب النسبة الثانية:

نلاحظ أن:

النقاط $B$، $M$، $A$ والنقاط $B$، $N$، $C$ في استقامية وبنفس الترتيب.

حسب النظرية العكسية لنظرية طاليس، فإن المستقيمين $(MN)$ و $(AC)$ متوازيان، أي:

بما أن المستقيمين $(MN)$ و $(AC)$ متوازيان، فإنه بتطبيق نظرية طاليس المباشرة في المثلث $BAC$ نجد:

نعوض بالقيم المعلومة لدينا:

باستعمال الرابع المتناسب:

للبرهنة على هذه العلاقة، نبحث عن نسبتين متساويتين في مثلثين مختلفين يربطهما ضلع مشترك أو نسبة مشتركة، وذلك بتطبيق نظرية طاليس مرتين.

نطبق نظرية طاليس في المثلث $BMC$ حيث النقطة $L$ تنتمي إلى $[BM]$ والنقطة $N$ تنتمي إلى $[BC]$:

باستعمال الجداء المتصالب (الوسطين في الطرفين):

وهو المطلوب إثباته بدقة هندسية تامة.