📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 58 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (07 نقاط)

1) كتابة كل من AA و BB كتابة علمية

💡إضاءة وتنبيه:

الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته على الشكل a×10na \times 10^n حيث aa عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة (1≤a<101 \le a < 10) و nn عدد صحيح نسبي.

✅الإجابة النموذجية:
كتابة العدد AA كتابة علمية:
A=0.0074A = 0.0074

نزيح الفاصلة بثلاث مراتب نحو اليمين، إذن الأس يكون سالباً:

A=7.4×10−3A = 7.4 \times 10^{-3}
كتابة العدد BB كتابة علمية:

لدينا العبارة:

B=13×105×10−912.5×10−2×4B = \frac{13 \times 10^5 \times 10^{-9}}{12.5 \times 10^{-2} \times 4}

نقوم بتبسيط البسط والمقام أولاً بفصل الأعداد عن القوى:

B=1312.5×4×105×10−910−2B = \frac{13}{12.5 \times 4} \times \frac{10^5 \times 10^{-9}}{10^{-2}}

نحسب المقام العددي: 12.5×4=5012.5 \times 4 = 50

B=1350×105+(−9)10−2B = \frac{13}{50} \times \frac{10^{5 + (-9)}}{10^{-2}}
B=0.26×10−410−2B = 0.26 \times \frac{10^{-4}}{10^{-2}}

نطبق قواعد القوى 10p10q=10p−q\frac{10^p}{10^q} = 10^{p-q}:

B=0.26×10−4−(−2)B = 0.26 \times 10^{-4 - (-2)}
B=0.26×10−2B = 0.26 \times 10^{-2}

الآن نكتب الناتج كتابة علمية بإزاحة الفاصلة مرتبة واحدة نحو اليمين:

B=2.6×10−1×10−2B = 2.6 \times 10^{-1} \times 10^{-2}
B=2.6×10−3B = 2.6 \times 10^{-3}

2) إعطاء رتبة قدر العدد BB ثم حصره بين قوتين متتاليتين للعدد 10

💡إضاءة وتنبيه:

رتبة قدر عدد مكتوب كتابة علمية a×10na \times 10^n هي a′×10na' \times 10^n حيث a′a' هو مدور العدد aa إلى الوحدة.

✅الإجابة النموذجية:
رتبة قدر العدد BB:

لدينا الكتابة العلمية للعدد BB هي 2.6×10−32.6 \times 10^{-3}.

مدور العدد 2.62.6 إلى الوحدة هو 33 (لأن الجزء من عشرة هو 6 وهو أكبر من أو يساوي 5).

إذن، رتبة قدر العدد BB هي:

3×10−33 \times 10^{-3}
حصر العدد BB بين قوتين متتاليتين للعدد 10:

الحصر يكون على الشكل: 10n≤B<10n+110^n \le B < 10^{n+1}

بما أن n=−3n = -3، فإن:

10−3≤B<10−3+110^{-3} \le B < 10^{-3+1}

أي:

10−3≤B<10−210^{-3} \le B < 10^{-2}

3) تبيين أن: A+B=10−2A + B = 10^{-2}

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

A=7.4×10−3A = 7.4 \times 10^{-3}
B=2.6×10−3B = 2.6 \times 10^{-3}

نقوم بجمع العددين:

A+B=(7.4×10−3)+(2.6×10−3)A + B = (7.4 \times 10^{-3}) + (2.6 \times 10^{-3})

نأخذ القوة 10−310^{-3} كعامل مشترك:

A+B=(7.4+2.6)×10−3A + B = (7.4 + 2.6) \times 10^{-3}
A+B=10×10−3A + B = 10 \times 10^{-3}

بما أن 10=10110 = 10^1، فإن:

A+B=101×10−3=101+(−3)=10−2A + B = 10^1 \times 10^{-3} = 10^{1 + (-3)} = 10^{-2}

وهو المطلوب إثباته.

📌

التمرين الثاني: (07 نقاط)

1) حساب PGCD(525,455)\text{PGCD}(525, 455)

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب القاسم المشترك الأكبر (PGCD) نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الأسرع والأدق.

✅الإجابة النموذجية:

باستعمال خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

525=455×1+70525 = 455 \times 1 + 70
455=70×6+35455 = 70 \times 6 + 35
70=35×2+070 = 35 \times 2 + 0

آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو 3535.

إذن:

PGCD(525,455)=35\text{PGCD}(525, 455) = 35

2) استنتاج القواسم المشتركة للعددين 455 و 525

💡إضاءة وتنبيه:

القواسم المشتركة لعددين هي نفسها قواسم قاسمها المشترك الأكبر (PGCD).

✅الإجابة النموذجية:

بما أن PGCD(525,455)=35\text{PGCD}(525, 455) = 35، فإن القواسم المشتركة للعددين 455 و 525 هي قواسم العدد 35.

البحث عن قواسم العدد 35:

35=1×3535 = 1 \times 35
35=5×735 = 5 \times 7

إذن، مجموعة القواسم المشتركة للعددين هي:

{1,5,7,35}\{1, 5, 7, 35\}

3) كتابة الكسر 455525\frac{455}{525} على شكل كسر غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:

للحصول على كسر غير قابل للاختزال دفعة واحدة، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر.

✅الإجابة النموذجية:

نقسم بسط ومقام الكسر على PGCD(525,455)=35\text{PGCD}(525, 455) = 35:

455525=455÷35525÷35=1315\frac{455}{525} = \frac{455 \div 35}{525 \div 35} = \frac{13}{15}

الكسر 1315\frac{13}{15} غير قابل للاختزال لأن العددين 13 و 15 أوليان فيما بينهما (PGCD(13,15)=1\text{PGCD}(13, 15) = 1).

4) حساب المجموع SS حيث: S=35+455525÷215S = \frac{3}{5} + \frac{455}{525} \div \frac{2}{15}

💡إضاءة وتنبيه:

لتسهيل الحساب، نعوض الكسر الكبير بالكسر المختزل الذي وجدناه في السؤال السابق، مع مراعاة أولويات العمليات (القسمة قبل الجمع).

✅الإجابة النموذجية:

نعوض 455525\frac{455}{525} بـ 1315\frac{13}{15}:

S=35+1315÷215S = \frac{3}{5} + \frac{13}{15} \div \frac{2}{15}

الأولوية لعملية القسمة (لقسمة كسرين نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني):

S=35+(1315×152)S = \frac{3}{5} + \left( \frac{13}{15} \times \frac{15}{2} \right)

نختزل العدد 15 من البسط والمقام في الجداء:

S=35+132S = \frac{3}{5} + \frac{13}{2}

الآن نوحد المقامات (المقام المشترك هو 10):

S=3×25×2+13×52×5S = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} + \frac{13 \times 5}{2 \times 5}
S=610+6510S = \frac{6}{10} + \frac{65}{10}
S=6+6510=7110S = \frac{6 + 65}{10} = \frac{71}{10}

إذن القيمة المضبوطة لـ SS هي:

S=7.1S = 7.1

5) مسألة التبليط

نريد تبليط غرفة مستطيلة الشكل بعداها 4.55 m4.55 \text{ m} و 5.25 m5.25 \text{ m} ببلاطات مربعة الشكل متساوية بأكبر طول ضلع ممكن.

أ - ما هو طول ضلع البلاطة الواحدة؟

💡إضاءة وتنبيه:

لحل هذه المسألة، يجب أولاً تحويل الأبعاد من المتر إلى السنتيمتر لتفادي العمل بالفاصلة، ثم البحث عن القاسم المشترك الأكبر للبعدين ليكون طول ضلع البلاطة أكبر ما يمكن.

✅الإجابة النموذجية:
تحويل الأبعاد إلى السنتيمتر (\text{cm}):
4.55 m=4.55×100=455 cm4.55 \text{ m} = 4.55 \times 100 = 455 \text{ cm}
5.25 m=5.25×100=525 cm5.25 \text{ m} = 5.25 \times 100 = 525 \text{ cm}
بما أن البلاطات مربعة الشكل ومتساوية وبأكبر طول ضلع ممكن، فإن طول ضلع البلاطة بالسنتمتر هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 455 و 525.
طول الضلع=PGCD(525,455)=35 cm\text{طول الضلع} = \text{PGCD}(525, 455) = 35 \text{ cm}

إذن، طول ضلع البلاطة الواحدة هو 35 cm35 \text{ cm} (أو 0.35 m0.35 \text{ m}).

ب - ما هو عدد البلاطات اللازمة؟

✅الإجابة النموذجية:
الطريقة الأولى (باستخدام عدد البلاطات في الطول والعرض):
عدد البلاطات على طول الغرفة:
525÷35=15 بلاطة525 \div 35 = 15 \text{ بلاطة}
عدد البلاطات على عرض الغرفة:
455÷35=13 بلاطة455 \div 35 = 13 \text{ بلاطة}
العدد الإجمالي للبلاطات:
15×13=195 بلاطة15 \times 13 = 195 \text{ بلاطة}
الطريقة الثانية (باستخدام المساحة):
مساحة الغرفة المستطيلة:
Aالغرفة=525×455=238875 cm2\mathcal{A}_{\text{الغرفة}} = 525 \times 455 = 238875 \text{ cm}^2
مساحة البلاطة المربعة الواحدة:
Aالبلاطة=35×35=1225 cm2\mathcal{A}_{\text{البلاطة}} = 35 \times 35 = 1225 \text{ cm}^2
عدد البلاطات الإجمالي:
N=2388751225=195 بلاطةN = \frac{238875}{1225} = 195 \text{ بلاطة}

إذن، عدد البلاطات اللازمة لتبليط الغرفة هو 195 بلاطة.

📌

التمرين الثالث: (06 نقاط)

لدينا الأعداد:

A=57−2112+175A = 5\sqrt{7} - 2\sqrt{112} + \sqrt{175}
B=5−700+45B = \sqrt{5} - \sqrt{700} + \sqrt{45}

1) كتابة AA على الشكل a7a\sqrt{7} حيث aa عدد طبيعي

💡إضاءة وتنبيه:

لكتابة العبارة على الشكل a7a\sqrt{7}، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على 7 لتفكيكها إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام.

✅الإجابة النموذجية:

نحلل الأعداد تحت الجذور:

112÷7=16112 \div 7 = 16 (علماً أن 16=4216 = 4^2)
175÷7=25175 \div 7 = 25 (علماً أن 25=5225 = 5^2)

نعوض في العبارة AA:

A=57−216×7+25×7A = 5\sqrt{7} - 2\sqrt{16 \times 7} + \sqrt{25 \times 7}
A=57−2(47)+57A = 5\sqrt{7} - 2(4\sqrt{7}) + 5\sqrt{7}
A=57−87+57A = 5\sqrt{7} - 8\sqrt{7} + 5\sqrt{7}

نأخذ 7\sqrt{7} كعامل مشترك:

A=(5−8+5)7A = (5 - 8 + 5)\sqrt{7}
A=27A = 2\sqrt{7}

حيث a=2a = 2 وهو عدد طبيعي.

2) تبسيط العدد BB

✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

B=5−700+45B = \sqrt{5} - \sqrt{700} + \sqrt{45}

نقوم بتبسيط الجذور بتفكيكها:

700=100×7=107\sqrt{700} = \sqrt{100 \times 7} = 10\sqrt{7}
45=9×5=35\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}

نعوض في العبارة BB:

B=5−107+35B = \sqrt{5} - 10\sqrt{7} + 3\sqrt{5}

نجمع الحدود المتشابهة التي تحتوي على 5\sqrt{5}:

B=(1+3)5−107B = (1 + 3)\sqrt{5} - 10\sqrt{7}
B=45−107B = 4\sqrt{5} - 10\sqrt{7}

3) حساب كل من A+BA + B و A−BA - B

✅الإجابة النموذجية:

نعوض بالقيم المبسطة: A=27A = 2\sqrt{7} و B=45−107B = 4\sqrt{5} - 10\sqrt{7}.

حساب A+BA + B:
A+B=(27)+(45−107)A + B = (2\sqrt{7}) + (4\sqrt{5} - 10\sqrt{7})
A+B=45+27−107A + B = 4\sqrt{5} + 2\sqrt{7} - 10\sqrt{7}
A+B=45+(2−10)7A + B = 4\sqrt{5} + (2 - 10)\sqrt{7}
A+B=45−87A + B = 4\sqrt{5} - 8\sqrt{7}
حساب A−BA - B:
A−B=(27)−(45−107)A - B = (2\sqrt{7}) - (4\sqrt{5} - 10\sqrt{7})

ننشر الإشارة السالبة داخل القوسين:

A−B=27−45+107A - B = 2\sqrt{7} - 4\sqrt{5} + 10\sqrt{7}
A−B=−45+(2+10)7A - B = -4\sqrt{5} + (2 + 10)\sqrt{7}
A−B=127−45A - B = 12\sqrt{7} - 4\sqrt{5}

4) تبيين أن الجداء H×BH \times B هو عدد صحيح نسبي

نعبر عن العدد HH بـ: H=45+107H = 4\sqrt{5} + 10\sqrt{7}.

💡إضاءة وتنبيه:

نلاحظ أن العبارتين HH و BB هما عبارة عن متطابقة شهيرة من الشكل الثالث: (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2.

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

B=45−107B = 4\sqrt{5} - 10\sqrt{7}
H=45+107H = 4\sqrt{5} + 10\sqrt{7}

نحسب الجداء:

H×B=(45+107)(45−107)H \times B = (4\sqrt{5} + 10\sqrt{7})(4\sqrt{5} - 10\sqrt{7})

بتطبيق المتطابقة الشهيرة الثالثة (x+y)(x−y)=x2−y2(x+y)(x-y) = x^2 - y^2:

H×B=(45)2−(107)2H \times B = (4\sqrt{5})^2 - (10\sqrt{7})^2

نحسب مربعات الحدود:

(45)2=42×(5)2=16×5=80(4\sqrt{5})^2 = 4^2 \times (\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80
(107)2=102×(7)2=100×7=700(10\sqrt{7})^2 = 10^2 \times (\sqrt{7})^2 = 100 \times 7 = 700

نعوض النتائج:

H×B=80−700H \times B = 80 - 700
H×B=−620H \times B = -620

بما أن العدد −620-620 هو عدد صحيح نسبي (ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية Z\mathbb{Z})، فقد تم إثبات المطلوب.