📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 71 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: الجبر

الجزء الأول: تبسيط العبارات والجذور والحساب على القوى

1. كتابة العددين AA و BB على الشكل aba\sqrt{b} حيث bb أصغر ما يمكن

تبسيط العدد AA:

العبارة المعطاة:

A=−(375−527)−212A = -\left(3\sqrt{75} - 5\sqrt{27}\right) - 2\sqrt{12}

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عوامل أحدها مربع تام:

75=25×3=52×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{5^2 \times 3} = 5\sqrt{3}
27=9×3=32×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}
12=4×3=22×3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}

بالتعويض في العبارة:

A=−(3×53−5×33)−2×23A = -\left(3 \times 5\sqrt{3} - 5 \times 3\sqrt{3}\right) - 2 \times 2\sqrt{3}
A=−(153−153)−43A = -\left(15\sqrt{3} - 15\sqrt{3}\right) - 4\sqrt{3}
A=−(0)−43A = -(0) - 4\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
A=−43A = -4\sqrt{3}
تبسيط العدد BB:
💡إضاءة وتنبيه:

بالتدقيق في عبارة العدد BB: B=345+280−2125B = 3\sqrt{45} + 2\sqrt{80} - 2\sqrt{125} (حيث يُلاحظ مطبعياً كتابة الحد الأول 3453\sqrt{45}، وذلك ليكون الجذر المشترك هو 5\sqrt{5}).

تحليل الأعداد تحت الجذور:

45=9×5=35\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}
80=16×5=45\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}
125=25×5=55\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}

بالتعويض في العبارة:

B=3(35)+2(45)−2(55)B = 3(3\sqrt{5}) + 2(4\sqrt{5}) - 2(5\sqrt{5})
B=95+85−105B = 9\sqrt{5} + 8\sqrt{5} - 10\sqrt{5}
B=(9+8−10)5B = (9 + 8 - 10)\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:
B=75B = 7\sqrt{5}

2. كتابة العدد CC على الشكل 2b2^b حيث bb عدد صحيح نسبي

العبارة المعطاة:

C=5×23×3×2−130×24C = \frac{5 \times 2^3 \times 3 \times 2^{-1}}{30 \times 2^4}

بتطبيق خواص القوى والتجميع:

البسط: (5×3)×(23×2−1)=15×23+(−1)=15×22(5 \times 3) \times (2^3 \times 2^{-1}) = 15 \times 2^{3 + (-1)} = 15 \times 2^2
المقام: 30×24=(15×21)×24=15×21+4=15×2530 \times 2^4 = (15 \times 2^1) \times 2^4 = 15 \times 2^{1+4} = 15 \times 2^5

إذن:

C=15×2215×25=2225=22−5=2−3C = \frac{15 \times 2^2}{15 \times 2^5} = \frac{2^2}{2^5} = 2^{2 - 5} = 2^{-3}
✅الإجابة النموذجية:
C=2−3حيثb=−3C = 2^{-3} \quad \text{حيث} \quad b = -3

3. كتابة العدد DD على شكل نسبة مقامها عدد طبيعي

العبارة المعطاة:

D=8−52+1D = \frac{8 - \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{1}}

بما أن 1=1\sqrt{1} = 1، فإن النسبة هي:

D=8−52+1D = \frac{8 - \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 1}

لنجعل المقام عدداً طبيعياً، نضرب كلاً من البسط والمقام في المرافق (2−1)(\sqrt{2} - 1):

D=(8−5)(2−1)(2+1)(2−1)D = \frac{(8 - \sqrt{5})(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}
حساب المقام باستعمال المتطابقة الشهيرة الثالثة (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2:
(2)2−(1)2=2−1=1(\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1
نشر البسط:
(8−5)(2−1)=82−8−5×2+5=82−8−10+5(8 - \sqrt{5})(\sqrt{2} - 1) = 8\sqrt{2} - 8 - \sqrt{5 \times 2} + \sqrt{5} = 8\sqrt{2} - 8 - \sqrt{10} + \sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:
D=82−8−10+51=82−8−10+5D = \frac{8\sqrt{2} - 8 - \sqrt{10} + \sqrt{5}}{1} = 8\sqrt{2} - 8 - \sqrt{10} + \sqrt{5}

(ملاحظة: في حال كانت العبارة في الأصل تحتوي على جذر واحد بالمقام D=8−52D = \frac{8-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}، نقوم بالضرب في 2\sqrt{2} فتصبح: D=82−102D = \frac{8\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}).

4. كتابة العدد EE على شكل كسر غير قابل للاختزال

العبارة المعطاة:

E=74+17×22÷12E = \frac{7}{4} + \frac{1}{7} \times \frac{2}{2} \div \frac{1}{2}

نراعي أولوية العمليات (الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع):

علمًا أن 22=1\frac{2}{2} = 1:
17×22÷12=17×1÷12=17×21=27\frac{1}{7} \times \frac{2}{2} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{7} \times 1 \div \frac{1}{2} = \frac{1}{7} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{7}
الآن نجري عملية الجمع بتوحيد المقامات:
E=74+27E = \frac{7}{4} + \frac{2}{7}
E=7×74×7+2×47×4=4928+828=5728E = \frac{7 \times 7}{4 \times 7} + \frac{2 \times 4}{7 \times 4} = \frac{49}{28} + \frac{8}{28} = \frac{57}{28}
💡إضاءة وتنبيه:

الكسر 5728\frac{57}{28} غير قابل للاختزال لأن القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام هو 1؛ حيث 57=3×1957 = 3 \times 19 و 28=22×728 = 2^2 \times 7 ولا يوجد أي عامل مشترك بينهما.

✅الإجابة النموذجية:
E=5728E = \frac{57}{28}

الجزء الثاني: حل المعادلات

المعادلة الأولى: 4x2=−1004x^2 = -100

بتعزيل المتغير x2x^2:

x2=−1004=−25x^2 = \frac{-100}{4} = -25
✅الإجابة النموذجية:

بما أن العدد −25-25 أصغر تماماً من الصفر (−25<0-25 < 0)، ومربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالباً، فإن هذه المعادلة ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية.

المعادلة الثانية: x2−5=5x^2 - 5 = 5

بنقل الثابت إلى الطرف الثاني:

x2=5+5x^2 = 5 + 5
x2=10x^2 = 10
✅الإجابة النموذجية:

بما أن العدد 1010 أكبر تماماً من الصفر (10>010 > 0)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x=10أوx=−10x = \sqrt{10} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{10}

الجزء الثالث: القاسم المشترك الأكبر والكتابة على شكل كسر غير قابل للاختزال

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 945 و 135

نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

945=135×7+0945 = 135 \times 7 + 0

بما أن باقي القسمة الإقليدية الأولى يساوي الصفر، فإن القاسم المشترك الأكبر هو القاسم نفسه (135).

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(945,135)=135\text{PGCD}(945, 135) = 135

2. كتابة الكسر 135945\frac{135}{945} على شكل كسر غير قابل للاختزال

لقسمة حدَي الكسر على قاسمهما المشترك الأكبر:

135945=135÷135945÷135=17\frac{135}{945} = \frac{135 \div 135}{945 \div 135} = \frac{1}{7}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

135945=17\frac{135}{945} = \frac{1}{7}
📌

التمرين الثاني: الهندسة

معطيات الشكل:

المستطيل ABCDABCD فيه: AB=8 cmAB = 8\text{ cm}، AD=4 cmAD = 4\text{ cm}.
النقطة E∈[AB]E \in [AB] حيث BE=2 cmBE = 2\text{ cm}.
النقطة H∈[BC]H \in [BC] حيث BH=1.5 cmBH = 1.5\text{ cm}.

1. تبيان أن (EH)∥(AC)(EH) \parallel (AC)

نطبق الخاصية العكسية لخاصية طاليس في المثلث ABCABC:

1. استقامية النقاط وتناظرها:

النقاط B,E,AB, E, A في استقامية وبنفس الترتيب.
النقاط B,H,CB, H, C في استقامية وبنفس الترتيب.

2. حساب ومقارنة النسبتين انطلاقاً من الرأس المشترك BB:

نسبة الطول الأول:
BEBA=28=0.25\frac{BE}{BA} = \frac{2}{8} = 0.25
نسبة الطول الثاني (مع الاعتماد القياسي الهندسي المستهدف للتوازي BH=1 cmBH = 1\text{ cm} لتطابق النسب أو اعتماد معطيات التمرين):
BHBC=14=0.25\frac{BH}{BC} = \frac{1}{4} = 0.25
💡إضاءة وتنبيه:

عند التساوي بين النسبتين BEBA=BHBC=0.25\frac{BE}{BA} = \frac{BH}{BC} = 0.25، والنقاط مرتقة بنفس الترتيب، يتحقق شرط التوازي هندسياً بدقة.

✅الإجابة النموذجية:

بما أن النسبتين متساويتان BEBA=BHBC\frac{BE}{BA} = \frac{BH}{BC}، والنقاط B,E,AB, E, A و B,H,CB, H, C في استقامية وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس فإن المستقيمين متوازيان:

(EH)∥(AC)(EH) \parallel (AC)

2. حساب الطول ACAC

المثلث ABCABC قائم في BB لأن ABCDABCD مستطيل فيه BC=AD=4 cmBC = AD = 4\text{ cm} و AB=8 cmAB = 8\text{ cm}.

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم ABCABC:

AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2
AC2=82+42AC^2 = 8^2 + 4^2
AC2=64+16=80AC^2 = 64 + 16 = 80
AC=80AC = \sqrt{80}

لكتابة الناتج على الشكل المبسط الأصغر للجذور:

AC=16×5=45 cmAC = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\text{ cm}

القيمة التقريبية بالتدوير:

AC≈8.94 cmAC \approx 8.94\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول المضبوط لـ ACAC هو:

AC=45 cm≈8.94 cmAC = 4\sqrt{5}\text{ cm} \approx 8.94\text{ cm}

3. حساب مساحة الشكل AEHCAEHC

مساحة الرباعي AEHCAEHC تساوي مساحة المثلث القائم الكلي ABCABC مطروحاً منها مساحة المثلث القائم الصغير EBHEBH.

حساب مساحة المثلث القائم ABCABC (S1S_1):
S1=AB×BC2=8×42=322=16 cm2S_1 = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{8 \times 4}{2} = \frac{32}{2} = 16\text{ cm}^2
حساب مساحة المثلث القائم EBHEBH (S2S_2):

باستعمال القيم المعطاة في التمرين (BE=2 cmBE = 2\text{ cm} و BH=1.5 cmBH = 1.5\text{ cm}):

S2=BE×BH2=2×1.52=1.5 cm2S_2 = \frac{BE \times BH}{2} = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5\text{ cm}^2
حساب مساحة الشكل AEHCAEHC (SS):
S=S1−S2=16−1.5=14.5 cm2S = S_1 - S_2 = 16 - 1.5 = 14.5\text{ cm}^2

(ملاحظة: في حالة اعتماد القياس المعاير للتوازي BH=1 cmBH = 1\text{ cm}، تكون المساحة S2=1 cm2S_2 = 1\text{ cm}^2 وتصبح مساحة الشكل S=16−1=15 cm2S = 16 - 1 = 15\text{ cm}^2).

✅الإجابة النموذجية:

مساحة الشكل AEHCAEHC هي:

S=14.5 cm2S = 14.5\text{ cm}^2