لإثبات توازي مستقيمين باستخدام الخاصية العكسية لخاصية طاليس، يجب التحقق من شرطين أساسيين:

1. استقامية النقط وترتيبها بنفس النظام على المستقيمين المتقاطعين.

2. تساوي النسبتين الناتجتين عن أطوال الأضلاع المتناظرة.

لدينا المستقيمان $(AC)$ و $(BD)$ متقاطعان في النقطة $O$.

لنقارن النسبتين $\frac{OC}{OA}$ و $\frac{OD}{OB}$:

لتبسيط الكسر نقوم بضرب البسط والمقام في $10$ للتخلص من الفاصلة:

بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(75, 180) = 15$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $A$، $O$، $C$ والنقط $B$، $O$، $D$ مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتقاطعين، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، نستنتج أن المستقيمين $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان:

بما أن قطري الرباعي $ABCD$ متعامدان في النقطة $O$، فإن المثلث $AOB$ قائم الزاوية في $O$. هذا يسمح لنا بتطبيق خاصية فيثاغورس لحساب طول الوتر $AB$.

لدينا المثلث $AOB$ قائم في $O$ لأن القطريين $[AC]$ و $[BD]$ متعامدان.

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث $AOB$:

بالتعويض بالأعداد:

ومنه:

التدوير إلى الوحدة:

الرقم الأول بعد الفاصلة هو $6$ (وهو أكبر من أو يساوي $5$)، إذن نضيف $1$ إلى الجزء الصحيح.

في المثلث القائم، ظل الزاوية الحادة ($\tan$) يساوي نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور لها.

في المثلث $AOB$ القائم في $O$:

بالتعويض العددي:

باختزال الكسر (القسمة على $6$):

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ABO}$:

باستخدام الحاسبة (الضغط على الزر $2^{\text{nd}}\text{F}$ أو $\text{Shift}$ ثم $\tan^{-1}$ للقيمة $0.6667$):

التدوير إلى الوحدة من الدرجة:

الرقم الأول بعد الفاصلة هو $6$ (أكبر من $5$)، إذن نقرب إلى القيمة الأعلى:

عند حساب عبارة تتضمن طرحاً وضرباً لكسور، تعطى الأولوية دائماً لعملية الضرب قبل عملية الطرح.

العبارة المعطاة:

نقوم أولاً بإجراء عملية الضرب:

نختزل الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما وهو $15$:

الآن نعوض في العبارة $A$:

بما أن المقامين موحدان، نطرح البسطين مباشرة:

الكسر $-\frac{5}{3}$ غير قابل للاختزال لأن $\text{PGCD}(5, 3) = 1$.

الكتابة العلمية لعدد عشري تكتب على الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة ($1 \le a < 10$) و $n$ عدد صحيح نسبي.

العبارة المعطاة:

أولاً، نبسط القوى في البسط باستخدام الخاصية $(10^p)^q = 10^{p \times q}$:

نعيد ترتيب العبارة بفصل الأعداد عن القوى:

نحسب العمليات في البسط:

تصبح العبارة:

نقسم الأعداد على الأعداد والقوى على القوى:

إذن:

نكتب العدد $0.6667$ كتابة علمية:

نعوض في العبارة:

لكتابة عبارة جذورية على الشكل $a\sqrt{7}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على $7$ لكتابتها على شكل جذاء مربع تام في $7$.

العبارة المعطاة:

نحلل الأعداد تحت الجذور:

نعوض في العبارة:

باستخراج $\sqrt{7}$ كعامل مشترك:

حيث $a = -2$ وهو عدد صحيح نسبي.

لحل معادلة من الدرجة الثانية على الشكل $x^2 = k$:

لدينا المعادلة:

ننقل الثابت $-4$ إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته:

نقسم الطرفين على $16$:

بما أن $\frac{49}{16} > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

وبما أن:

إذن للمعادلة حلان هما: