لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}$ لعددين طبيعيين، يُفضل دائماً استخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لسرعتها ودقتها وتفادي الأخطاء الحسابية مقارنة بطريقة الفروق المتتالية.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $696$ و $406$:

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم في هذه السلسلة هو $58$، فإن:

لكتابة كسر على شكله غير القابل للاختزال دفعة واحدة، نقوم بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}$.

نقسم بسط ومقام الكسر على $58$:

وبما أن العددين $12$ و $7$ أوليان فيما بينهما ($\text{PGCD}(12, 7) = 1$)، فإن الكسر الناتج $\frac{12}{7}$ هو كسر غير قابل للاختزال.

عند حساب عبارة تتضمن كسوراً، يجب دائماً:

1. تعويض الكسور الكبيرة بكسورها المختزلة لتسهيل الحساب وتجنب الأعداد الضخمة.

2. احترام أولويات العمليات الحسابية (القسمة والضرب تسبق الجمع والطرح).

3. تذكر أن قسمة كسر على كسر تعني ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.

أولاً، نقوم بتعويض الكسر $\frac{696}{406}$ بقيمته المختزلة $\frac{12}{7}$، ونلاحظ أيضاً أن الكسر $\frac{7}{14}$ يمكن اختزاله بقسمة بسطه ومقامه على $7$ ليصبح $\frac{1}{2}$:

نقوم بإجراء عملية القسمة أولاً (الضرب في المقلوب):

الآن، نعوض النتيجة في العبارة $A$:

لتوحيد المقامات، نختار المقام المشترك الأصغر وهو $7 \times 6 = 42$:

إذن، القيمة المبسطة للعدد $A$ هي: $\frac{37}{42}$.

لتبسيط الجذور التربيعية، نقوم بكتابة العدد تحت الجذر على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام (مثل: $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$).

نعلم أن $63 = 9 \times 7$، وعليه:

نعوض في العبارة $E$:

نضرب الأعداد الناطقة في بعضها والجذور في بعضها:

نعلم أن $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$:

نطبق قواعد القوى والجذور التالية:

1. $(a\sqrt{b})^2 = a^2 \times b$

2. $(\sqrt{a})^2 = a$

نحسب كل حد على حدة:

نعوض النتائج في العبارة $F$:

نطبق خاصية ضرب الجذور التربيعية: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$، ثم نقوم باختزال الكسر الناتج تحت الجذر قبل حساب قيمته النهائية.

نقوم بالاختزال الذكي للبسط والمقام:

نطبق خاصية جذر كسر $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

نطبق خاصية الضرب للجذور التربيعية ثم نحلل العدد الناتج للبحث عن أكبر مربع تام يقسمه.

نبحث عن أكبر مربع تام يقسم العدد $180$، نجد أن $180 = 36 \times 5$ (حيث $36$ مربع تام للعدد $6$):

وهي من الشكل $a\sqrt{b}$ حيث $a = 6$ و $b = 5$.

لتبسيط مجموع جذور تربيعية، نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور إلى جذاءات يكون أحد عواملها مربعاً تاماً وعاملها الآخر مشتركاً بين جميع الحدود (في هذه الحالة نلاحظ أن جميع الأعداد تقبل القسمة على $2$).

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور كالتالي:

نعوض هذه التحليلات في العبارة $N$:

نخرج المربعات التامة من تحت الجذور:

باستعمال الخاصية التوزيعية، نستخرج $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

نحسب ما بين القوسين:

إذن:

وهي من الشكل $a\sqrt{b}$ حيث $a = 11$ و $b = 2$.

لجعل مقام كسر عدداً ناطقاً (تنطيق المقام)، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر التربيعي الموجود في المقام (وهو $\sqrt{5}$ في هذه الحالة).

نضرب بسط ومقام الكسر في $\sqrt{5}$:

نطبق قواعد الحساب على الجذور في البسط والمقام:

تصبح العبارة:

وبذلك تم كتابة الكسر بمقام ناطق وهو العدد $30$.