لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(468, 396)$، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات المتتالية هو $36$، فإن:

لكتابة الكسر على شكله غير القابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر وهو $36$:

الكسر الناتج $\frac{11}{13}$ غير قابل للاختزال لأن العددين $11$ و $13$ أوليان فيما بينهما، أي أن $\text{PGCD}(11, 13) = 1$.

لتكن الأعداد الحقيقية التالية:

نقوم بتبسيط الجذور التربيعية داخل العبارة $B$ بتحليل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام:

نعوض هذه القيم في العبارة $B$:

نأخذ $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

(حيث $a = 1$ و $b = 3$)

العبارة $A$ مكتوبة على شكل جذاء شهير من الشكل $(a-b)(a+b)$ والذي يساوي $a^2 - b^2$:

نحسب المربعات:

إذن:

وبما أن $34$ عدد موجب وبدون فاصلة، فإن $A$ هو بالفعل عدد طبيعي.

لجعل مقام الكسر $C$ عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

ننشر البسط ونبسط المقام:

$ABCD$ مستطيل حيث: $AD = 6.4\text{ cm}$ و $DC = 4.8\text{ cm}$.

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن المثلث $ADC$ قائم في $D$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $ADC$، نجد:

نعوض بالقيم المعطاة:

لدينا $F$ نقطة من $[AD]$ و $E$ نقطة من $[DC]$ حيث:

أولاً، نحسب الطول $DE$:

بما أن $E$ نقطة من القطعة $[DC]$، فإن:

الآن، نقارن النسبتين $\frac{DF}{DA}$ و $\frac{DE}{DC}$ في المثلث $DAC$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $D, F, A$ والنقط $D, E, C$ مرتبة بنفس الترتيب على الاستقامة، فإنه وحسب النظرية العكسية لنظرية طاليس:

بما أن المستقيمين $(EF)$ و $(AC)$ متوازيان، فإنه بتطبيق نظرية طاليس في المثلث $DAC$ نجد:

نعوض بالنسب المعلومة:

في المثلث $ABC$ القائم في $B$ (لأن $ABCD$ مستطيل):

نستخدم جيب تمام الزاوية (Cos):

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة $\cos^{-1}$ أو $\text{2ndF cos}$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (بما أن الرقم الأول بعد الفاصلة هو $8$ وهو أكبر من أو يساوي $5$، نضيف $1$ لآحاد الجزء الصحيح):