📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 66 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: الحساب على الجذور والأعداد الطبيعية والناطقة (10 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر PGCD(243;192)PGCD(243; 192)

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة في الامتحانات الرسمية.
✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين 243243 و 192192:

243=192×1+51243 = 192 \times 1 + 51
192=51×3+39192 = 51 \times 3 + 39
51=39×1+1251 = 39 \times 1 + 12
39=12×3+339 = 12 \times 3 + 3
12=3×4+012 = 3 \times 4 + 0

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو 33، فإن:

PGCD(243;192)=3PGCD(243; 192) = 3

2. كتابة الكسر 243192\frac{243}{192} على شكل كسر غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:
لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCDPGCD.
✅الإجابة النموذجية:

نقسم بسط ومقام الكسر على 33:

243192=243÷3192÷3=8164\frac{243}{192} = \frac{243 \div 3}{192 \div 3} = \frac{81}{64}

بما أن PGCD(81;64)=1PGCD(81; 64) = 1، فإن الكسر الناتج 8164\frac{81}{64} هو كسر غير قابل للاختزال.

3. كتابة AA على شكل a3a\sqrt{3} حيث aa عدد طبيعي

💡إضاءة وتنبيه:
لتبسيط العبارة AA وكتابتها على الشكل المطلوب، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على 33 لتفكيكها إلى جذاء مربع تام والعدد 33.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

A=243+192−2108A = \sqrt{243} + \sqrt{192} - 2\sqrt{108}

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذور:

243=81×3243 = 81 \times 3
192=64×3192 = 64 \times 3
108=36×3108 = 36 \times 3

نعوض في العبارة AA:

A=81×3+64×3−236×3A = \sqrt{81 \times 3} + \sqrt{64 \times 3} - 2\sqrt{36 \times 3}
A=81×3+64×3−2×36×3A = \sqrt{81} \times \sqrt{3} + \sqrt{64} \times \sqrt{3} - 2 \times \sqrt{36} \times \sqrt{3}
A=93+83−2(6)3A = 9\sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 2(6)\sqrt{3}
A=93+83−123A = 9\sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 12\sqrt{3}

نأخذ 3\sqrt{3} كعامل مشترك:

A=(9+8−12)3A = (9 + 8 - 12)\sqrt{3}
A=53A = 5\sqrt{3}

حيث a=5a = 5 وهو عدد طبيعي.

4. كتابة BB على شكل نسبة مقامها عدد ناطق ثم تبسيطها

💡إضاءة وتنبيه:
لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الموجود بالمقام (وهو 3\sqrt{3}).
✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

B=353B = \frac{3}{5\sqrt{3}}

نضرب البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

B=3×353×3B = \frac{3 \times \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \times \sqrt{3}}
B=335×3B = \frac{3\sqrt{3}}{5 \times 3}
B=3315B = \frac{3\sqrt{3}}{15}

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 33:

B=35B = \frac{\sqrt{3}}{5}
📌

التمرين الثاني: الهندسة وحساب المثلثات (10 نقاط)

1. إثبات أن: (MN)//(BC)(MN) // (BC)

💡إضاءة وتنبيه:
لإثبات توازي مستقيمين في وضعية الفراشة (أو وضعية طاليس)، نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس بعد التحقق من استقامية النقط وترتيبها وتساوي النسبتين.
✅الإجابة النموذجية:

لدينا في الشكل:

النقط CC، OO، MM في استقامية وبنفس ترتيب النقط BB، OO، NN.
نحسب ونقارن النسبتين OCOM\frac{OC}{OM} و OBON\frac{OB}{ON}:
OCOM=915=0.6\frac{OC}{OM} = \frac{9}{15} = 0.6
OBON=10.517.5=0.6\frac{OB}{ON} = \frac{10.5}{17.5} = 0.6

بما أن:

OCOM=OBON=0.6\frac{OC}{OM} = \frac{OB}{ON} = 0.6

والنقط مرتبة وبنفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس نستنتج أن:

(MN)//(BC)(MN) // (BC)

2. إثبات أن: BCMN=0.6\frac{BC}{MN} = 0.6

💡إضاءة وتنبيه:
بما أن التوازي محقق، يمكننا تطبيق خاصية طاليس المباشرة لكتابة النسب الثلاث المتساوية.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن المستقيمين (BC)(BC) و (MN)(MN) متوازيان، والنقط C,O,MC, O, M في استقامية والنقط B,O,NB, O, N في استقامية، فإنه بتطبيق خاصية طاليس نجد:

OCOM=OBON=BCMN\frac{OC}{OM} = \frac{OB}{ON} = \frac{BC}{MN}

وبما أننا وجدنا سابقاً أن OCOM=0.6\frac{OC}{OM} = 0.6، فإن:

BCMN=0.6\frac{BC}{MN} = 0.6

3. حساب الطول BCBC إذا علمت أن MN=8 cmMN = 8\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

لدينا من السؤال السابق:

BCMN=0.6\frac{BC}{MN} = 0.6

بالتعويض بقيمة MN=8 cmMN = 8\text{ cm}:

BC8=0.6\frac{BC}{8} = 0.6
BC=0.6×8BC = 0.6 \times 8
BC=4.8 cmBC = 4.8\text{ cm}

4. حساب sin⁡N^\sin \widehat{N} ثم استنتاج قيس الزاوية N^\widehat{N}

💡إضاءة وتنبيه:
في المثلث القائم، جيب تمام زاوية حادة (sin⁡\sin) يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن المثلث OMNOMN قائم في MM (حسب التشفير في الشكل)، فإن:

sin⁡N^=الضلع المقابلالوتر=OMON\sin \widehat{N} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{OM}{ON}

بالتعويض بالأطوال المعطاة:

sin⁡N^=1517.5\sin \widehat{N} = \frac{15}{17.5}

نضرب البسط والمقام في 1010 للتخلص من الفاصلة:

sin⁡N^=150175\sin \widehat{N} = \frac{150}{175}

باختزال الكسر بقسمة الطرفين على 2525:

sin⁡N^=67≈0.857\sin \widehat{N} = \frac{6}{7} \approx 0.857

استنتاج قيس الزاوية N^\widehat{N}:

باستعمال الآلة الحاسبة العلمية (اللمسة 2ndF2^{nd}F أو ShiftShift ثم sin−1sin^{-1}):

N^=arcsin⁡(0.857)≈58.99∘\widehat{N} = \arcsin(0.857) \approx 58.99^{\circ}

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة نجد:

N^≈59∘\widehat{N} \approx 59^{\circ}